5.1 Diskrete stokastiske variablar | Statistikk

Stokastiske variablar, sannsynsfordeling og fordelingstabellar.

45 min

7 oppgaver

Stokastisk variabelSannsynsfordeling

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Stokastiske variablar

Når vi kastar ein terning, veit vi på førehand kva tal som kan kome opp, men ikkje kva for eitt. Resultatet er tilfeldig. Likevel kan vi seie noko heilt presist om det: vi kan seie kor sannsynleg kvart einskilt tal er.

Ein stokastisk variabel (stokastisk = tilfeldig) er talet som kjem ut av eit slikt tilfeldig forsøk. Vi brukar stor bokstav for sjølve variabelen, og liten bokstav for ein verdi han kan ta:

- $X$ = talet på kron når vi kastar tre myntar. Moglege verdiar: $0, 1, 2, 3$
- $X$ = summen av auga på to terningar. Moglege verdiar: $2, 3, \ldots, 12$
- $X$ = talet på av 12 elevar som består oppkøyringa. Moglege verdiar: $0, 1, \ldots, 12$

NB: $X$ er ikkje eit tal før forsøket er gjort. Etterpå er det eit tal. Det er nettopp denne skilnaden ordet uvisse peikar på: vi kjenner moglegheitene og sannsyna, men ikkje utfallet.

Stokastisk variabel

X

Sannsynsfordelinga

Å kjenne ein stokastisk variabel er å kjenne to ting samtidig:

1. kva verdiar han kan ta
2. kor sannsynleg kvar av dei er

Desse to tinga til saman kallar vi sannsynsfordelinga til $X$ . Vi skriv henne vanlegvis opp i ein fordelingstabell: éi rad for verdiane $k$ , éi rad for sannsyna $P(X = k)$ .

Legg merke til korleis vi les notasjonen. Uttrykket $P(X = 2)$ blir lese «sannsynet for at $X$ er lik 2» — og dersom $X$ er talet på kron, tyder det i klartekst: sannsynet for at vi får nøyaktig to kron. Omset alltid uttrykket tilbake til røynda når du har rekna det ut.

📜Krav til ei sannsynsfordeling

For ein diskret stokastisk variabel

X

må to krav alltid vere oppfylte:

$0 \le P(X = k) \le 1 \quad \text{for kvar verdi } k$

$\sum_k P(X = k) = 1$

Det første kravet seier at eit sannsyn aldri kan vere negativt eller større enn 1. Det andre seier at eitt av utfalla må skje.

Summekravet er òg eit reiskap til rekning: er eitt sannsyn ukjent, finn vi det ved å krevje at summen blir 1.

✏️Døme 1: Tre myntar

Vi kastar tre myntar. Lat $X$ vere talet på kron.

a) Set opp fordelingstabellen til $X$ .
b) Kontroller at summen av sannsyna er 1.

Løysing:

a) Først spør vi: Kva veit vi, og kva må vi finne?

Vi veit at kvar mynt gir kron (K) eller mynt (M), og at dei tre myntane er uavhengige av kvarandre. Vi må finne kor sannsynleg kvart tal på kron er.

Talet på moglege utfall er

$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Alle dei 8 utfalla er like sannsynlege. Vi listar dei opp og tel kron i kvart:

Utfall	MMM	KMM	MKM	MMK	KKM	KMK	MKK	KKK
Tal på kron	0	1	1	1	2	2	2	3

No tel vi kor mange utfall som gir kvar verdi av

X

, og deler på 8:

P(X = 0) = \frac{1}{8} \qquad P(X = 1) = \frac{3}{8} \qquad P(X = 2) = \frac{3}{8} \qquad P(X = 3) = \frac{1}{8}

Fordelingstabellen blir:

$k$	0	1	2	3
$P(X = k)$	$\displaystyle \frac{1}{8}$	$\displaystyle \frac{3}{8}$	$\displaystyle \frac{3}{8}$	$\displaystyle \frac{1}{8}$

b) Vi summerer. Legg merke til at vi ikkje forkortar brøkane undervegs — dei skal leggjast saman, og då er felles nemnar det vi vil ha:

$\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1 + 3 + 3 + 1}{8} = \frac{8}{8} = 1$
Summen er 1, slik han skal vere.

Sannsynsfordelinga til $X$ = talet på kron i tre myntkast, teikna som søylediagram. Høgda på kvar søyle er $P(X = k)$ , og dei fire høgdene summerer til 1.

Svar: $\displaystyle P(X = 0) = \frac{1}{8}$ , $\displaystyle P(X = 1) = \frac{3}{8}$ , $\displaystyle P(X = 2) = \frac{3}{8}$ , $\displaystyle P(X = 3) = \frac{1}{8}$ , og summen er 1.

📝Oppgave 1

Vi kastar to myntar. Lat $X$ vere talet på kron. Gjer den same oppgåva som i døme 1.

Kor mange moglege utfall er det?

Finn $P(X = 0)$ .

Finn $P(X = 1)$ .

Finn $P(X = 2)$ .

Kontroller at summen av dei tre sannsyna er 1.

Løs oppgaven

Når vi trekkjer utan tilbakelegging

Mange stokastiske variablar kjem frå eit utval: vi trekkjer nokre einingar frå ei gruppe, utan å leggje dei tilbake. Då tel vi kombinasjonar.

Skrivemåten $\binom{5}{2}$ blir lesen «fem over to» og tyder talet på måtar å velje 2 av 5 på når rekkjefølgja ikkje spelar nokon rolle:

$\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

Sannsynet blir som alltid gunstige delt på moglege — vi tel berre begge delar med kombinasjonar.

✏️Døme 2: Kuler i ein pose

I ein pose ligg det 3 raude og 2 blå kuler. Vi trekkjer 2 kuler tilfeldig, utan å leggje tilbake. Lat $X$ vere talet på raude kuler vi trekkjer.

Set opp fordelingstabellen til $X$ .

Løysing:

Kva veit vi? Posen har 5 kuler til saman, 3 raude og 2 blå. Vi trekkjer 2.

Kva må vi finne? $P(X = 0)$ , $P(X = 1)$ og $P(X = 2)$ .

Talet på moglege utval (nemnaren, han er den same heile vegen):

$\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Ingen raude ( $X = 0$ ) tyder 0 av dei 3 raude og 2 av dei 2 blå:

$P(X = 0) = \frac{\binom{3}{0} \cdot \binom{2}{2}}{\binom{5}{2}} = \frac{1 \cdot 1}{10} = \frac{1}{10}$

Éi raud ( $X = 1$ ) tyder 1 av dei 3 raude og 1 av dei 2 blå:

$P(X = 1) = \frac{\binom{3}{1} \cdot \binom{2}{1}}{\binom{5}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{10} = \frac{6}{10}$

To raude ( $X = 2$ ) tyder 2 av dei 3 raude og 0 av dei 2 blå:

$P(X = 2) = \frac{\binom{3}{2} \cdot \binom{2}{0}}{\binom{5}{2}} = \frac{3 \cdot 1}{10} = \frac{3}{10}$

Vi lèt brøkane stå med nemnar 10 (dei skal summerast) og set opp tabellen:

$k$	0	1	2
$P(X = k)$	$\displaystyle \frac{1}{10}$	$\displaystyle \frac{6}{10}$	$\displaystyle \frac{3}{10}$

Kontroll:

\frac{1}{10} + \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = \frac{10}{10} = 1

Eit søylediagram med tre blå søyler over verdiane 0, 1 og 2 under den vassrette aksen merkt k. Høgdene er 0,1, 0,6 og 0,3, og talet står skrive over kvar søyle. Fordelinga er ikkje symmetrisk: den midtarste søyla er klart høgast, og søyla over 2 er tre gonger så høg som søyla over 0.

Fordelinga til $X$ = talet på raude kuler.

Utan tilbakelegging blir fordelinga skeiv — i motsetnad til den symmetriske myntfordelinga i døme 1.

Søylene summerer til $0{,}1 + 0{,}6 + 0{,}3 = 1$ , slik kravet i teoremet seier.

Svar: $\displaystyle P(X = 0) = \frac{1}{10} = 0{,}1$ , $\displaystyle P(X = 1) = \frac{6}{10} = 0{,}6$ og $\displaystyle P(X = 2) = \frac{3}{10} = 0{,}3$ .

(Først heilt til slutt forkortar vi eller gjer om til desimaltal — når det ikkje skal summerast meir.)

📝Oppgave 2

I ei korg ligg det 4 raude og 3 grøne eple. Vi trekkjer 3 eple tilfeldig utan å leggje tilbake. Lat $X$ vere talet på raude eple. Gjer den same oppgåva som i døme 2. Svar med brøk med nemnar 35, og som desimaltal med tre desimalar.

Kor mange moglege utval av 3 eple finst det?

Finn $P(X = 0)$ .

Finn $P(X = 1)$ .

Finn $P(X = 2)$ .

Finn $P(X = 3)$ , og kontroller at summen av alle fire er 1.

Løs oppgaven

Kumulativt sannsyn

Ofte spør ei oppgåve ikkje om éin einskild verdi, men om eit heilt område: minst, høgst, færre enn. Då summerer vi dei sannsyna som høyrer til området.

Formulering i teksten	Blir skrive	Blir rekna som
høgst $2$	$P(X \le 2)$	$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$
færre enn $2$	$P(X < 2)$	$P(X=0) + P(X=1)$
minst $2$	$P(X \ge 2)$	$1 - P(X \le 1)$
meir enn $2$	$P(X > 2)$	$1 - P(X \le 2)$

Dei to siste linjene brukar komplementet: i staden for å summere mange ledd, tek vi 1 minus det motsette. Det er nesten alltid mindre rekning — og mindre å gjere feil på.

✏️Døme 3: Bilar i hushaldet

Lat $X$ vere talet på bilar eit tilfeldig valt norsk hushald disponerer. Fordelinga er:

$k$	0	1	2	3
$P(X = k)$	0,18	0,49	0,28	0,05

a) Finn

P(X \le 1)

og forklar kva talet tyder.
b) Finn

P(X \ge 2)

c) Finn sannsynet for at hushaldet har minst éin bil.

Løysing:

a) «Høgst éin bil» tyder null bilar eller éin bil, så vi summerer dei to første sannsyna:

$P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0{,}18 + 0{,}49 = 0{,}67$

I klartekst: 67 % av hushalda disponerer høgst éin bil.

b) Her kan vi velje. Vi kan summere direkte:

$P(X \ge 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0{,}28 + 0{,}05 = 0{,}33$

Eller bruke komplementet, som gir same svar med eitt ledd mindre:

$P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - 0{,}67 = 0{,}33$

At dei to vegane gir same tal, er ein god kontroll.

c) «Minst éin bil» er det motsette av «ingen bil». Her er komplementet klart raskast:

$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}18 = 0{,}82$

Svar: a) $0{,}67$ — 67 % har høgst éin bil. b) $0{,}33$ . c) $0{,}82$ .

📝Oppgave 3

Lat $X$ vere kor mange gonger ein tilfeldig valt elev har vore på biblioteket førre veke. Fordelinga er:

$k$	0	1	2	3	4
$P(X = k)$	0,42	0,31	0,16	0,08	0,03

Kontroller at dette er ei gyldig sannsynsfordeling.

Finn $P(X \le 1)$ .

Finn $P(X \ge 2)$ .

Finn $P(X > 0)$ , og forklar kva talet tyder.

Finn $P(1 \le X \le 3)$ .

Løs oppgaven

✏️Døme 4: Eit ukjent sannsyn

Ein stokastisk variabel $X$ har denne fordelinga, der $a$ er eit ukjent tal:

$x$	0	1	2	3
$P(X = x)$	$a$	0,30	$a - 0{,}20$	0,10

a) Bestem

a

.
b) Vis at

P(X > 1) = 0{,}30

Løysing:

a) Vi brukar summekravet. Summen av alle sannsyna skal vere 1:

$a + 0{,}30 + (a - 0{,}20) + 0{,}10 = 1$

Vi samlar like ledd på venstre side:

$2a + 0{,}20 = 1$

Så gjer vi same operasjon på begge sider — trekkjer frå $0{,}20$ :

$2a + 0{,}20 - 0{,}20 = 1 - 0{,}20$

$2a = 0{,}80$

Og deler på 2 på begge sider:

$\frac{2a}{2} = \frac{0{,}80}{2}$

$a = 0{,}40$

Vi set inn og får fordelinga:

$x$	0	1	2	3
$P(X = x)$	0,40	0,30	0,20	0,10

Alle fire tala ligg mellom 0 og 1, og summen er

1{,}00

. Fordelinga er gyldig.
b) «Større enn 1» tyder

X = 2

eller

X = 3

$P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0{,}20 + 0{,}10 = 0{,}30$

Svar: a) $a = 0{,}40$ . b) $P(X > 1) = 0{,}30$ .

NB: Kontrollen i a) er ikkje pynt. Hadde vi fått $a = 0{,}10$ , ville $P(X = 2) = 0{,}10 - 0{,}20 = -0{,}10$ — eit negativt sannsyn, som er umogleg. Då måtte vi leite etter reknefeilen.

📝Oppgave 4

Ein stokastisk variabel $X$ har fordelinga under, der $a$ er ukjent:

$x$	1	2	3	4
$P(X = x)$	0,15	$2a$	$a$	0,25

Bestem $a$ .

Set opp den ferdige fordelingstabellen.

Finn $P(X \ge 3)$ .

Finn $P(X \le 2)$ .

Kva verdi er mest sannsynleg?

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Vi kastar to vanlege terningar og lèt $X$ vere summen av auga. Det finst $6 \cdot 6 = 36$ like sannsynlege utfall. Svar med brøk med nemnar 36 og som desimaltal med tre desimalar.

Kva verdiar kan $X$ ta?

Finn $P(X = 7)$ .

Finn $P(X \le 4)$ .

Finn $P(X = 7 \text{ eller } X = 11)$ .

Finn $P(X \ge 10)$ .

Løs oppgaven

Oppsummering

- Ein stokastisk variabel $X$ er talet eit tilfeldig forsøk gir. Stor bokstav for variabelen, liten bokstav for verdien.
- Ein diskret variabel tel (0, 1, 2, …); ein kontinuerleg variabel måler.
- Sannsynsfordelinga er verdiane saman med sannsyna, oftast sett opp i ein fordelingstabell.
- To krav gjeld alltid: $0 \le P(X = k) \le 1$ og $\sum_k P(X = k) = 1$ . Summekravet blir brukt til å finne eit ukjent sannsyn.
- Kumulative sannsyn ( $\le$ , $\ge$ , $<$ , $>$ ) blir rekna ved å summere — eller raskare med komplementet $1 - P(\text{det motsette})$ .

I dei neste kapitla skal vi presse to tal ut av fordelinga: forventingsverdien (kapittel 5.2), som seier kvar tyngdepunktet ligg, og variansen (kapittel 5.3), som seier kor spreidde verdiane er.

📝Oppgave 6

Del 2 — digitale verktøy. I eit rekneark skal du simulere kast med tre myntar og samanlikne med fordelinga frå døme 1.

Lag 1000 rader. I kvar rad simulerer du tre myntar med formelen =TILFELDIGMELLOM(0;1) i tre kolonnar (1 = kron), og summerer dei i ein fjerde kolonne. Kva er den fjerde kolonnen eit uttrykk for?

Tel opp kor mange av dei 1000 kasta som gav 0, 1, 2 og 3 kron, til dømes med =ANTALL.HVIS(D$1:D$1000;0). Del kvart tal på 1000. Kva kallar vi desse tala?

Samanlikn dei fire relative frekvensane med $\displaystyle \frac{1}{8}$ , $\displaystyle \frac{3}{8}$ , $\displaystyle \frac{3}{8}$ og $\displaystyle \frac{1}{8}$ . Kva ventar du å sjå?

Trykk F9 slik at reknearket reknar på nytt nokre gonger. Kvifor endrar tala seg — og kvifor endrar dei seg ikkje mykje?

Endre simuleringa til 50 rader i staden for 1000. Kva skjer med avviket frå den teoretiske fordelinga?

📝Oppgave 7

Drøfting. Vurder påstandane under. Er dei rette eller gale? Grunngi svaret ditt.

«Tabellen $P(X=0) = 0{,}30$ , $P(X=1) = 0{,}45$ , $P(X=2) = 0{,}30$ er ei gyldig sannsynsfordeling.»

«Dersom $P(X = 3) = 0$ , kan ikkje $X$ ta verdien 3.»

«Terningkast er tilfeldige, så det går ikkje an å rekne på dei.»

Ein elev skriv $P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 2)$ . Kva er feilen, og korleis skal det sjå ut?

«Sidan det er 11 moglege summar når vi kastar to terningar, er sannsynet for kvar av dei $\displaystyle \frac{1}{11}$ .»

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.