4.8 Simulering av tilfeldige forsøk

Modellen. To terningar, kvar med seks like sannsynlege utfall.

Eitt forsøk. I celle A1 og B1 legg vi eitt terningkast kvar:

A1:  =TILFELDIGMELLOM(1;6)
B1:  =TILFELDIGMELLOM(1;6)

I C1 reknar vi summen:

C1:  =A1+B1

Testen. I D1 skriv vi 1 når hendinga inntraff, og 0 elles:

D1:  =HVIS(C1>=10;1;0)

Gjenta og tel. Vi merkjer A1:D1 og dreg nedover til rad 5000. Så tel vi:

F1:  =SUMMER(D1:D5000)

Del og tolk.

F2:  =F1/5000

Ei køyring gir typisk eit tal rundt $0{,}17$. Trykkjer vi F9, blir arket rekna om med nye tilfeldige tal, og vi får eit litt anna tal kvar gong — det er uvissa i sjølve simuleringa.

Den teoretiske verdien. Summen blir minst 10 for para

$$(4,6),\ (5,5),\ (6,4),\ (5,6),\ (6,5),\ (6,6)$$

Det er 6 av dei 36 utfalla:

$$P(\text{minst 10}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$$

Simuleringa treffer altså godt. Merk rekkjefølgja her: vi kunne ha rekna det ut med ein gong, og simuleringa var strengt teke unødvendig. Poenget er at metoden verkar på eit problem vi kan kontrollere — då tør vi bruke han på problem vi ikkje kan kontrollere.

Svar: Simuleringa gir omtrent $0{,}17$; den teoretiske verdien er $\displaystyle \frac{1}{6} \approx 0{,}167$.

a) Vi følgjer dei fem stega.

import random

antall = 100000
treff = 0

for i in range(antall):
    t1 = random.randint(1, 6)
    t2 = random.randint(1, 6)
    if t1 >= 5 or t2 >= 5:
        treff = treff + 1

print(treff / antall)

- random.randint(1, 6) er eitt terningkast — eitt forsøk.
- if t1 >= 5 or t2 >= 5 er testen. or betyr «eller», og det er den inklusive «eller» frå kapittel 4.4: vinn du med begge, tel det òg — testen.
- treff = treff + 1 aukar teljaren. Legg merke til at eitt likskapsteikn tilordnar ein verdi; det er ikkje ei likning — teljaren.
- Siste linja deler på talet på forsøk — del og tolk.

Programmet skriv ut eit tal rundt $0{,}556$.

b) Vi reknar med komplementet, slik kapittel 4.2 lærte oss. Det motsette av «minst éin viser 5 eller 6» er «ingen av dei viser 5 eller 6», altså at begge viser 1, 2, 3 eller 4.

For éin terning:

$$P(\text{høgst 4}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Terningane er uavhengige, så vi gongar:

$$P(\text{ingen 5 eller 6}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$$

$$P(\text{vinn}) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \approx 0{,}556$$

Simuleringa og utrekninga stemmer overeins. Då veit vi to ting: utrekninga er truleg rett, og programmet gjer truleg det det skal.

Svar: a) Eit program som tel treff i 100 000 kast; det gir omtrent $0{,}556$. b) $\displaystyle \frac{5}{9} \approx 0{,}556$.

Komponentane:

- n = 200000 er talet på forsøk, og teller = 0 er teljaren. Begge blir sette før løkka byrjar.
- Den ytre løkka for i in range(n) gjentek heile forsøket 200 000 gonger.
- p = 1 nullstiller — eller rettare, einstiller — produktet framfor kvart forsøk. Det må stå inne i den ytre løkka; stod det utanfor, ville produktet ha vakse gjennom alle forsøka.
- Den indre løkka for k in range(3) køyrer tre gonger. Kvar gong blir p gonga med eit nytt terningkast. Etter tre rundar er p produktet av tre terningkast.
- if p > 100 er testen: er produktet større enn 100?
- teller = teller + 1 aukar teljaren når testen slår til.
- print(teller / n) skriv ut delen — altså anslaget.

Flyten, to gjennomløp:

Første gjennomløp av den ytre løkka. p blir sett til 1. Sei at terningane i den indre løkka gir 4, 6 og 5:

$$1 \cdot 4 = 4 \qquad 4 \cdot 6 = 24 \qquad 24 \cdot 5 = 120$$

Testen $120 > 100$ slår til, og teller blir 1.

Andre gjennomløp. p blir sett til 1 igjen. Sei at terningane gir 2, 3 og 6:

$$1 \cdot 2 = 2 \qquad 2 \cdot 3 = 6 \qquad 6 \cdot 6 = 36$$

Testen $36 > 100$ slår ikkje til, og teller står stille på 1.

Og så vidare, 200 000 gonger. Til slutt blir teljaren delt på 200 000.

Kva sannsyn? Programmet anslår

$$P(\text{produktet av tre terningkast er større enn } 100)$$

Kvifor simulering? Utfallsrommet har $6^3 = 216$ utfall, og det finst ingen enkel formel for kor mange av dei som gir produkt over 100 — vi måtte ha gått gjennom alle 216 og talt. Det let seg gjere, men det er tungvint for hand. Simuleringa gir svaret på eit sekund, og gir dessutan ein metode som framleis verkar om vi går opp til fire eller fem terningar, der opptellinga blir uoverkomeleg.

Svar: Programmet anslår sannsynet for at produktet av tre terningkast blir større enn 100.

a) Fordi summane i midten kan oppnåast på flest måtar. Sum 7 kan kome av 6 av dei 36 talpara, medan sum 2 berre kan kome av eitt — nemleg $(1,1)$.

$$P(\text{sum } 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167 \qquad P(\text{sum } 2) = \frac{1}{36} \approx 0{,}028$$

Dette er det same poenget som i kapittel 4.3: dei 11 summane er ikkje like sannsynlege, sjølv om dei 36 para er det.

b) Det er lite. Avviket ligg ved sum 5, og skal samanliknast med sannsynet der:

$$P(\text{sum } 5) = \frac{4}{36} \approx 0{,}111$$

$$\frac{0{,}0086}{0{,}111} \approx 0{,}08$$

Avviket er omtrent 8 % av verdien.

Ein nyttig målestokk er den grove øvre feilmarginen: med 10 000 forsøk hamnar anslaget nesten alltid innanfor

$$\pm\frac{1}{\sqrt{10\,000}} = \pm\frac{1}{100} = \pm 0{,}01$$

Det største avviket vårt, $0{,}0086$, ligg innanfor.

c) Uvissa søkk som $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}$. Skal ho halverast, må $\sqrt{n}$ doblast, og då må $n$ firedoblast:

$$4 \cdot 10\,000 = 40\,000 \text{ kast}$$

Svar: a) Fordi dei midtre summane kan oppnåast på fleire måtar. b) Lite — det ligg innanfor den grove feilmarginen $\pm 0{,}01$ som 10 000 forsøk gir. c) 40 000 kast.