4.7 Sannsynstre | Statistikk

Fleirstegsforsøk med og utan tilbakelegging, og trediagram som reknereiskap.

45 min

7 oppgaver

SannsynstreUtan tilbakelegging

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Når forsøket har fleire steg

Dei fleste verkelege forsøk består av fleire steg etter kvarandre: du trekkjer to kuler, kastar tre terningar, tek ei prøve og eventuelt ei ny. Då blir utfallsrommet fort stort, og opptelling blir tungvint.

Sannsynstreet er reiskapen for slike forsøk. Det er eigentleg berre produktsetninga frå kapittel 4.5 teikna opp — men det teikna formatet gjer at du ser alle vegane, og at du ikkje gløymer nokon.

Sannsynstre

Eit sannsynstre blir teikna frå venstre mot høgre. Kvart steg i forsøket er ei forgreining, og på kvar grein skriv vi det vilkårsbundne sannsynet for det steget, gitt alt som alt har skjedd. Tre reglar styrer alt: 1. Greinene ut frå same punkt summerer til 1. Eitt av dei moglege utfalla må jo skje. 2. Gong langs ein veg. Sannsynet for ein heil veg er produktet av greinsannsyna på han. 3. Summer mellom vegar. Fører fleire vegar fram til det du spør om, legg du saman vegprodukta. Kontrollen til slutt: alle vegprodukta i heile treet skal summere til 1.

✏️Døme 1

I ein pose ligg 3 raude og 5 blå kuler. Vi trekkjer to kuler etter kvarandre utan å leggje tilbake.

a) Forklar tala på greinene i treet over.
b) Bestem sannsynet for at begge kulene er raude.
c) Bestem sannsynet for at kulene har ulik farge.
d) Bestem sannsynet for at minst éi kule er raud.

Løysing:

a) Første steg. Posen har 8 kuler, 3 av dei raude:

$P(R_1) = \frac{3}{8} \qquad P(B_1) = \frac{5}{8}$

Desse summerer til $\displaystyle \frac{8}{8} = 1$ , som regel 1 krev.

Andre steg, øvre grein. Her har vi alt trekt ei raud. Då ligg det 7 kuler att, og berre 2 av dei er raude:

$P(R_2 \mid R_1) = \frac{2}{7} \qquad P(B_2 \mid R_1) = \frac{5}{7}$

Andre steg, nedre grein. Her har vi trekt ei blå. Det ligg framleis 7 kuler att, men no er 3 raude og 4 blå:

$P(R_2 \mid B_1) = \frac{3}{7} \qquad P(B_2 \mid B_1) = \frac{4}{7}$

Det er dette som er kjernen i «utan tilbakelegging»: både teljaren og nemnaren endrar seg, og dei endrar seg ulikt etter kva som vart trekt først.

b) Vi gongar langs den øvste vegen:

$P(RR) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28} \approx 0{,}107$

c) «Ulik farge» blir nådd av to vegar: først raud så blå, eller først blå så raud. Vi reknar kvar veg for seg:

$P(RB) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}$

$P(BR) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{56}$

Vegane utelukkar kvarandre, så vi legg saman. Vi ventar med å forkorte til summen er ferdig:

$P(\text{ulik farge}) = \frac{15}{56} + \frac{15}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28} \approx 0{,}536$

d) «Minst éi raud» har komplementet «inga raud», altså den nedste vegen $BB$ :

$P(BB) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

$P(\text{minst éi raud}) = 1 - \frac{5}{14} = \frac{14}{14} - \frac{5}{14} = \frac{9}{14} \approx 0{,}643$

Kontroll: alle fire vegprodukta skal summere til 1.

$\frac{6}{56} + \frac{15}{56} + \frac{15}{56} + \frac{20}{56} = \frac{56}{56} = 1$

Svar: b) $\displaystyle \frac{3}{28} \approx 0{,}107$ . c) $\displaystyle \frac{15}{28} \approx 0{,}536$ . d) $\displaystyle \frac{9}{14} \approx 0{,}643$ .

📝Oppgave 1

Gjer det same som i døme 1. I ein pose ligg 4 grøne og 6 gule kuler. Vi trekkjer to kuler utan tilbakelegging. Teikn treet først. Oppgi svara som forkorta brøk.

Bestem sannsynet for at begge er grøne.

Bestem sannsynet for at begge er gule.

Bestem sannsynet for at kulene har ulik farge.

Bestem sannsynet for at minst éi er grøn.

Kontroller treet: kva blir summen av alle fire vegprodukta?

Løs oppgaven

Med eller utan tilbakelegging

Skilnaden mellom dei to er heile skilnaden mellom avhengige og uavhengige steg:

Med tilbakelegging	Utan tilbakelegging
Talet att i posen	uendra	éin mindre for kvart trekk
Greinsannsyna i steg 2	same som i steg 1	avheng av kva som vart trekt
Stega er	uavhengige	avhengige
Treet	same tal på begge greinpara	ulike tal på greinpara

NB: Les oppgåveteksten nøye. «Legg kula tilbake», «noterer og legg tilbake» betyr med tilbakelegging. «Trekkjer to kuler», «trekkjer to kort» utan meir betyr som regel utan tilbakelegging — du kan ikkje trekkje den same kula to gonger i same handgrep.

✏️Døme 2

Vi bruker same pose som i døme 1 — 3 raude og 5 blå kuler — men no legg vi kula tilbake før vi trekkjer den andre.

a) Bestem sannsynet for at begge er raude.
b) Bestem sannsynet for at kulene har ulik farge.
c) Samanlikn med svara i døme 1 og forklar skilnaden.

Løysing:

No er posen den same i begge stega: 8 kuler, 3 raude. Greinsannsyna i steg 2 er difor dei same som i steg 1, uansett kva veg vi kom.

a) $P(RR) = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{64} \approx 0{,}141$

b) To vegar fører fram:

$P(RB) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{15}{64} \qquad P(BR) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$

$P(\text{ulik farge}) = \frac{15}{64} + \frac{15}{64} = \frac{30}{64} = \frac{15}{32} \approx 0{,}469$

c) Vi set svara ved sida av kvarandre:

Utan tilbakelegging	Med tilbakelegging
begge raude	$\displaystyle \frac{3}{28} \approx 0{,}107$	$\displaystyle \frac{9}{64} \approx 0{,}141$
ulik farge	$\displaystyle \frac{15}{28} \approx 0{,}536$	$\displaystyle \frac{15}{32} \approx 0{,}469$

Utan tilbakelegging er «begge raude» mindre sannsynleg.
Når vi først har teke ei av dei tre raude, er det berre 2 raude att av 7. Delen raude har søkke:

\frac{3}{8} = 0{,}375 \qquad \rightarrow \qquad \frac{2}{7} \approx 0{,}286

Å ta ei raud gjer det vanskelegare å ta ei til.

Av same grunn er «ulik farge» meir sannsynleg utan tilbakelegging: å ta ei raud først gjer dei blå relativt fleire.

Svar: a) $\displaystyle \frac{9}{64} \approx 0{,}141$ . b) $\displaystyle \frac{15}{32} \approx 0{,}469$ . c) Utan tilbakelegging dreg trekkinga mot ulike fargar, fordi den fargen du alt har teke, blir sjeldnare i posen.

📝Oppgave 2

Same pose som i oppgåve 1 — 4 grøne og 6 gule kuler — men no med tilbakelegging. Oppgi svara som forkorta brøk.

Bestem sannsynet for at begge er grøne.

Bestem sannsynet for at begge er gule.

Bestem sannsynet for at kulene har ulik farge.

Bestem sannsynet for at minst éi er grøn.

Vart «begge grøne» meir eller mindre sannsynleg enn i oppgåve 1? Svar «meir» eller «mindre».

Løs oppgaven

Fleire enn to steg

Reglane er dei same uansett kor mange steg forsøket har — treet blir berre breiare. Med tre steg og to utfall i kvart får treet $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ vegar.

Det er nettopp her komplementet blir uunnverleg. «Minst éin» over tre eller fire steg krev at du summerer mange vegar, medan «ingen» som regel er éin einaste veg.

✏️Døme 3

Frå posen med 3 raude og 5 blå kuler trekkjer vi no tre kuler utan tilbakelegging.

a) Bestem sannsynet for at alle tre er blå.
b) Bestem sannsynet for at minst éi er raud.
c) Bestem sannsynet for at alle tre er raude.

Løysing:

a) Vi følgjer éin veg gjennom treet og gongar greinsannsyna. Posen minkar for kvart trekk:

Trekk	Blå att	Kuler att	Greinsannsyn
1	5	8	$\displaystyle \frac{5}{8}$
2	4	7	$\displaystyle \frac{4}{7}$
3	3	6	$\displaystyle \frac{3}{6}$

P(BBB) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{60}{336}

Vi forkortar til slutt. Både

60

336

er delelege med

12

\frac{60}{336} = \frac{5}{28} \approx 0{,}179

b) Å summere alle vegane med minst éi raud ville kravd sju vegar. Komplementet er éin veg — nemleg den vi nettopp rekna:

$P(\text{minst éi raud}) = 1 - P(BBB) = \frac{28}{28} - \frac{5}{28} = \frac{23}{28} \approx 0{,}821$

c) No er det dei raude som minkar, og det er berre 3 av dei:

$P(RRR) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6} = \frac{6}{336} = \frac{1}{56} \approx 0{,}018$

Legg merke til det siste leddet: etter to raude er det berre éi raud att av 6 kuler. Hadde vi trekt fire kuler, ville $P(RRRR) = 0$ — posen har jo berre tre raude.

Med tre steg har treet åtte vegar, og sju av dei gir minst éi raud. Då er komplementet $\displaystyle 1 - \frac{5}{28} = \frac{23}{28}$ langt raskare enn å leggje saman dei sju.

Svar: a) $\displaystyle \frac{5}{28} \approx 0{,}179$ . b) $\displaystyle \frac{23}{28} \approx 0{,}821$ . c) $\displaystyle \frac{1}{56} \approx 0{,}018$ .

📝Oppgave 3

Ei eske inneheld 9 lyspærer, og 2 av dei er defekte. Vi trekkjer tre pærer utan tilbakelegging. Oppgi svara som forkorta brøk.

Bestem sannsynet for at ingen av pærene er defekte.

Bestem sannsynet for at minst éi er defekt.

Bestem sannsynet for at begge dei defekte er blant dei tre trekte.

Bestem sannsynet for at nøyaktig éi er defekt.

Kva er sannsynet for at alle tre er defekte?

Løs oppgaven

Tre der greinene stoppar ulikt

Treet treng ikkje vere symmetrisk. I mange verkelege forsøk blir nokre vegar avslutta tidleg, medan andre held fram. Består du prøva i første forsøk, er det ingen andre runde å teikne.

Framgangsmåten er likevel den same: gong langs vegane, summer mellom dei, og kontroller at alle endepunkta summerer til 1.

✏️Døme 4

Ein elev skal ta teoriprøva til førarkortet. Sannsynet for å bestå i første forsøk er $0{,}70$ . Stryk han, les han meir og går opp på nytt; sannsynet for å bestå i andre forsøk er då $0{,}85$ . Han gir seg uansett etter to forsøk.

a) Teikn treet og bestem sannsynet for at han består i løpet av dei to forsøka.
b) Bestem sannsynet for at han stryk begge gongene.
c) Bestem sannsynet for at han trong to forsøk, gitt at han til slutt bestod.

Løysing:

Treet har tre endepunkt, ikkje fire: består han første gongen, stoppar vegen der.

Veg	Reknestykke	Sannsyn
Består i første forsøk	$0{,}70$	$0{,}70$
Stryk, så består	$0{,}30 \cdot 0{,}85$	$0{,}255$
Stryk, så stryk	$0{,}30 \cdot 0{,}15$	$0{,}045$

Kontroll:

0{,}70 + 0{,}255 + 0{,}045 = 1

.
a) To vegar fører til «består». Vi legg dei saman:

P(\text{består}) = 0{,}70 + 0{,}30 \cdot 0{,}85 = 0{,}70 + 0{,}255 = 0{,}955

b) Det er den siste vegen:

$P(\text{stryk begge}) = 0{,}30 \cdot 0{,}15 = 0{,}045$

(Vi kunne òg ha teke $1 - 0{,}955 = 0{,}045$ . Same svar, og ein god kontroll.)

c) No set vi vilkår. Grunnmengda er ikkje lenger alle elevar, men dei som bestod — altså $0{,}955$ . Av dei er det berre vegen «stryk, så består» som trong to forsøk:

$P(\text{to forsøk} \mid \text{bestod}) = \frac{0{,}255}{0{,}955} \approx 0{,}267$

Heile skilnaden på b) og c) ligg igjen i nemnaren: $1$ mot $0{,}955$ .

Treet er asymmetrisk: består han første gongen, stoppar vegen der, og treet får tre endepunkt i staden for fire. Vegprodukta 7/10, 51/200 og 9/200 er 0,70, 0,255 og 0,045 — og dei summerer til 1.

Svar: a) $0{,}955$ , altså 95,5 %. b) $0{,}045$ . c) $\approx 0{,}267$ , altså omtrent 27 % av dei som består, trong to forsøk.

📝Oppgave 4

Gjer det same som i døme 4. Ei bedrift kontrollerer ferdige delar. Sannsynet for at ein del blir godkjend i første kontroll, er $0{,}80$ . Blir han ikkje godkjend, blir han justert og kontrollert på nytt; då blir han godkjend med sannsyn $0{,}60$ . Blir han ikkje godkjend i andre kontroll, blir han kasta. Svar med tre desimalar.

Bestem sannsynet for at ein del blir godkjend etter justering.

Bestem sannsynet for at ein del blir godkjend i det heile.

Bestem sannsynet for at ein del blir kasta.

Bedrifta lagar 12 500 delar. Kor mange må dei rekne med å kaste?

Bestem sannsynet for at ein del måtte justerast, gitt at han vart godkjend.

Løs oppgaven

Oppsummering

- Eit sannsynstre teiknar eit fleirstegsforsøk. På kvar grein står det vilkårsbundne sannsynet gitt alt som har skjedd før.
- Greinene ut frå same punkt summerer til 1. Gjer dei ikkje det, manglar du eit utfall eller har rekna feil.
- Gong langs ein veg, summer mellom vegar. Kontroller til slutt at alle vegprodukta summerer til 1.
- Utan tilbakelegging endrar både teljar og nemnar seg for kvart steg, og stega er avhengige. Med tilbakelegging er kvart steg likt, og stega er uavhengige.
- «Minst éin» blir rekna via komplementet. «Ingen» er som regel éin veg, medan «minst éin» er mange.
- Treet treng ikkje vere symmetrisk: nokre vegar kan stoppe tidleg.
- Skal du setje vilkår om noko som har skjedd, er nemnaren summen av vegane som oppfyller vilkåret.

📝Oppgave 5

Samleoppgåve (Del 1 — utan hjelpemiddel). Ein skuleklasse har 12 jenter og 8 gutar. Tre elevar blir trekte tilfeldig til ein komité, utan at nokon kan bli trekt to gonger. Oppgi svara som forkorta brøk.

Bestem sannsynet for at alle tre er jenter.

Bestem sannsynet for at alle tre er gutar.

Bestem sannsynet for at komiteen har minst éi jente.

Bestem sannsynet for at komiteen har både jenter og gutar.

Forklar kvifor vi ikkje kan rekne $\displaystyle \left(\frac{12}{20}\right)^3$ i a).

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Samleoppgåve (Del 2 — programmering). Programmet under reknar ut sannsynet for å trekkje tre blå kuler etter kvarandre utan tilbakelegging, frå ein pose med

r

raude og

b

blå.

from fractions import Fraction

def alle_blaa(r, b, n):
    p = Fraction(1)
    for k in range(n):
        p = p * Fraction(b - k, r + b - k)
    return p

print(alle_blaa(3, 5, 3))

Kva skriv programmet ut for alle_blaa(3, 5, 3)? Oppgi forkorta brøk.

Forklar kva b - k og r + b - k står for.

Kva blir alle_blaa(3, 5, 6)? Forklar svaret.

Skriv om siste linja slik at ho gir sannsynet for minst éi raud blant tre trekk. Oppgi verdien som forkorta brøk.

Korleis måtte løkka endrast for å gjelde med tilbakelegging? Kva ville alle_blaa(3, 5, 3) gitt då? Oppgi forkorta brøk.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøftingsoppgåve. Eit forsikringsselskap reklamerer: «Vi godkjenner 9 av 10 skademeldingar.» Ein kunde som har fått avslag, klagar, og selskapet opplyser at 4 av 10 klager fører fram.

Teikn treet og bestem sannsynet for at ei tilfeldig skademelding til slutt blir godkjend, dersom alle som får avslag, klagar. Svar med to desimalar.

Bestem sannsynet for at ei skademelding til slutt får avslag.

I røynda klagar berre halvparten av dei som får avslag. Kva blir då sannsynet for endeleg godkjenning?

Selskapet skriv «9 av 10 blir godkjende» i reklamen. Er talet i a) eller det opphavlege talet mest opplysande for ein kunde? Drøft.

At 4 av 10 klager fører fram, kan tolkast på to måtar. Nemn begge, og sei kva som skil dei.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.