4.6 Venndiagram og krysstabellar

a) Vi følgjer dei fem stega.

Midten først: 14 elevar har hatt begge.

Berre tysk: $52 - 14 = 38$

Berre spansk: $40 - 14 = 26$

Verken: $120 - 38 - 14 - 26 = 42$

Kontroll: $38 + 14 + 26 + 42 = 120$. Det stemmer, og figuren under viser nettopp desse fire tala.

120 elevar fordelte etter om dei har hatt tysk ($T$) eller spansk ($E$) som framandspråk. Dei fire tala summerer til 120.

b) Grunnmengda er dei 120 elevane. Vi ventar med å forkorte, sidan brøkane skal brukast vidare.

$$P(T) = \frac{52}{120} \qquad P(E) = \frac{40}{120} \qquad P(T \cap E) = \frac{14}{120}$$

c) «Minst eitt» er unionen. Vi kan anten bruke addisjonssetninga eller lese dei tre felta rett av figuren. Vi gjer begge delar, sidan det eine er kontroll på det andre.

Frå addisjonssetninga:

$$P(T \cup E) = \frac{52}{120} + \frac{40}{120} - \frac{14}{120} = \frac{78}{120}$$

Frå figuren: $38 + 14 + 26 = 78$ elevar. Same tal.

$$\frac{78}{120} = \frac{13}{20} = 0{,}65$$

d) «Tysk, men ikkje spansk» er feltet med 38 elevar:

$$P = \frac{38}{120} = \frac{19}{60} \approx 0{,}317$$

Svar: a) 38, 14, 26 og 42. b) $\displaystyle \frac{13}{30}$, $\displaystyle \frac{1}{3}$ og $\displaystyle \frac{7}{60}$. c) $\displaystyle \frac{13}{20} = 0{,}65$. d) $\displaystyle \frac{19}{60} \approx 0{,}317$.

Vi byggjer tabellen celle for celle, og kvar celle skal kunne grunngivast frå ei opplysning eller frå ein rad- eller kolonnesum.

Cellene vi får rett frå teksten:

- «160 kjøpte kaffi» er radsummen for kaffi: $160$.
- «av dei kjøpte 112 òg noko å ete» er cella kaffi og ete: $112$.
- «av dei som ikkje kjøpte kaffi, kjøpte 18 noko å ete» er cella ikkje kaffi og ete: $18$.

Cellene vi reknar ut:

- Radsummen for «ikkje kaffi»: $250 - 160 = 90$.
- Kaffi, men ikkje ete: radsummen minus cella vi har: $160 - 112 = 48$.
- Ikkje kaffi og ikkje ete: $90 - 18 = 72$.
- Kolonnesummen for ete: $112 + 18 = 130$.
- Kolonnesummen for ikkje ete: $48 + 72 = 120$.

Tabellen blir:

Vi identifiserer nemnaren før vi skriv kvar einaste brøk.

a) Her spør vi om alle kundane. Nemnaren er totalen 250, og teljaren er kolonnesummen for mat:

$$P(M) = \frac{130}{250} = \frac{13}{25} = 0{,}52$$

b) «Både kaffi og mat» er cella $112$. Vi spør framleis om alle kundane, så nemnaren er totalen:

$$P(K \cap M) = \frac{112}{250} = \frac{56}{125} = 0{,}448$$

c) No set vi vilkåret kaffi. Grunnmengda krympar til kafferada, altså 160 kundar. Teljaren er den same cella som i b):

$$P(M \mid K) = \frac{112}{160} = \frac{7}{10} = 0{,}70$$

d) No set vi vilkåret mat i staden. Grunnmengda blir matkolonnen, altså 130 kundar. Teljaren er framleis den same cella:

$$P(K \mid M) = \frac{112}{130} = \frac{56}{65} \approx 0{,}862$$

Her ser vi det tydeleg: $112$ står over brøkstreken i b), c) og d). Det er berre talet under brøkstreken som endrar seg — $250$, $160$, $130$ — og svara blir $0{,}448$, $0{,}70$ og $0{,}862$.

e) $P(M) = 0{,}52$ mot $P(M \mid K) = 0{,}70$.

Blant alle kundane kjøper 52 % mat. Blant kaffikundane kjøper 70 % mat. Opplysninga «ho kjøpte kaffi» gjer det altså klart meir sannsynleg at ho òg kjøpte mat.

Sidan $P(M \mid K) \neq P(M)$, er hendingane avhengige. Kafeen kan bruke dette: den som kjøper kaffi, er ein god kandidat for eit tilbod på noko å ete.

Same celle, tre svar. Teljaren er den same heile vegen — heile skilnaden ligg i kva vi deler på, og det er nettopp det vilkåret bestemmer. Den gule cella er teljaren, den grøne rada er den eine nemnaren, og dei to andre nemnarane står som sum-tal i tabellen: 250 og 130.

Svar: a) $0{,}52$. b) $0{,}448$. c) $0{,}70$. d) $\approx 0{,}862$. e) Kaffikundar kjøper mat oftare enn kundar flest; hendingane er avhengige.

Vi hentar dei fire felta frå venndiagrammet i døme 1 — 38, 14, 26 og 42 — og legg dei i tabellen. Radsummane og kolonnesummane reknar vi ut.

$$P(T \mid E) = \frac{14}{40} = \frac{7}{20} = 0{,}35$$

Same celle over brøkstreken, to ulike nemnarar, to ulike svar.

Kontroll med definisjonen:

$$P(E \mid T) = \frac{P(E \cap T)}{P(T)} = \frac{14/120}{52/120} = \frac{14}{52}$$

Nemnarane 120 går mot kvarandre — det er difor vi kan lese svaret rett ut av tala i tabellen utan å gå vegen om sannsyn.

Svar: a) $\displaystyle \frac{7}{26} \approx 0{,}269$. b) $\displaystyle \frac{7}{20} = 0{,}35$.