4.5 Vilkårsbunde sannsyn og lova om totalt sannsyn

a) Utfallsrommet er $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, og modellen er uniform.

$$P(A) = \frac{1}{6} \qquad P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Vi treng òg snittet. Ein seksar er eit partal, så $A \cap B = \{6\}$:

$$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$$

b) Vi skriv formelen tom først:

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

$$P(A \mid B) = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}$$

Brøk delt på brøk: vi gongar med den omvende av nemnaren.

$$= \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Dette stemmer med opptellinga i innleiinga: av dei tre partala er eitt ein seksar.

c) No set vi vilkåret den andre vegen. Grunnmengda blir $A$, som berre har eitt utfall.

$$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}} = 1$$

d) Teljaren er den same i begge — $\displaystyle \frac{1}{6}$. Det er nemnaren som er ulik, og han seier kva gruppe vi reknar innanfor.

- I b) spør vi: av partala, kor stor del er seksarar? Svar: éin av tre.
- I c) spør vi: av seksarane, kor stor del er partal? Svar: alle. Ein seksar er alltid eit partal, så svaret må bli 1.

$$P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$$

Å byte om på desse to er ei klassisk felle. Vi kjem tilbake til henne i oppgåve 7.

Svar: a) $\displaystyle P(A) = \frac{1}{6}$, $\displaystyle P(B) = \frac{1}{2}$. b) $\displaystyle \frac{1}{3}$. c) $1$. d) Fordi nemnaren — grunnmengda — er ulik.

a) Kva veit vi? Kortstokken har 13 hjarterkort av 52. Kva må vi finne? Sannsynet for at begge trekka gir hjarter.

La $H_1$ = «første kort er hjarter» og $H_2$ = «andre kort er hjarter». Vi bruker produktsetninga, formelen tom først:

$$P(H_1 \cap H_2) = P(H_1) \cdot P(H_2 \mid H_1)$$

Første faktor er lett: 13 av 52 kort er hjarter.

$$P(H_1) = \frac{13}{52}$$

Andre faktor er den vilkårsbundne. Gitt at det første kortet var hjarter, ligg det no 51 kort att, og 12 av dei er hjarter:

$$P(H_2 \mid H_1) = \frac{12}{51}$$

Vi set inn:

$$P(H_1 \cap H_2) = \frac{13}{52} \cdot \frac{12}{51} = \frac{156}{2652}$$

Vi forkortar til slutt. Både $156$ og $2652$ er delelege med $156$:

$$\frac{156}{2652} = \frac{1}{17} \approx 0{,}059$$

b) Same framgangsmåte, men no med 4 ess av 52, og 3 ess av 51 att etterpå:

$$P = \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221} \approx 0{,}0045$$

Svar: a) $\displaystyle \frac{1}{17} \approx 0{,}059$, altså rundt 6 %. b) $\displaystyle \frac{1}{221} \approx 0{,}0045$, altså under ein halv prosent.

Vi bruker testen $P(A \cap X) = P(A) \cdot P(X)$ og reknar begge sidene kvar for seg. Grunnmengda er dei 36 talpara.

$$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

a) Summen 7 kjem av para $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ — 6 stykke.

$$P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

Snittet er dei para som både har seksar først og sum 7. Det er berre $(6,1)$:

$$P(A \cap B) = \frac{1}{36}$$

Vi samanliknar med produktet:

$$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$$

Dei to sidene er like, så $A$ og $B$ er uavhengige.

Dette er verdt å stoppe ved. Summen 7 seier ingenting om den første terningen — uansett kva han viser, finst det nøyaktig éin verdi på den andre som gir sum 7. Difor forsvinn opplysninga.

b) Summen 8 kjem av $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ — 5 stykke.

$$P(C) = \frac{5}{36}$$

Snittet er $(6,2)$, altså eitt par:

$$P(A \cap C) = \frac{1}{36}$$

$$P(A) \cdot P(C) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{36} = \frac{5}{216}$$

Er $\displaystyle \frac{1}{36}$ og $\displaystyle \frac{5}{216}$ like? Vi utvidar den første med 6:

$$\frac{1}{36} = \frac{6}{216} \neq \frac{5}{216}$$

Dei er ikkje like, så $A$ og $C$ er avhengige. Her hjelper det å vite noko: ein einar på den første terningen gjer sum 8 umogleg, medan ein seksar gjer han mogleg.

Svar: a) Uavhengige. b) Avhengige.

Kva veit vi? Vi kjenner kor stor del kvar leverandør står for, og kor ofte kvar av dei leverer defekte delar. Kva må vi finne? Kor ofte ein tilfeldig del er defekt, samla sett.

Vi gjer prosentane om til brøkar først:

$$P(A) = \frac{3}{5} \qquad P(B) = \frac{2}{5} \qquad P(D \mid A) = \frac{1}{50} \qquad P(D \mid B) = \frac{1}{20}$$

Merk at $\displaystyle \frac{1}{50}$ og $\displaystyle \frac{1}{20}$ er vilkårsbundne sannsyn: «2 % av delane frå A». Grunnmengda er dei eigne delane til leverandøren, ikkje alle delane.

a) $A$ og $B$ er disjunkte og dekkjer alle delane, så vi kan bruke lova om totalt sannsyn. Formelen tom først:

$$P(D) = P(A) \cdot P(D \mid A) + P(B) \cdot P(D \mid B)$$

$$P(D) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{50} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{20}$$

Vi reknar kvart produkt for seg — det er dei to raude vegane i treet over:

$$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{50} = \frac{3}{250} \qquad \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{20} = \frac{2}{100} = \frac{1}{50}$$

Før vi legg saman, treng vi felles nemnar. Vi utvidar $\displaystyle \frac{1}{50}$ med 5:

$$\frac{1}{50} = \frac{5}{250}$$

$$P(D) = \frac{3}{250} + \frac{5}{250} = \frac{8}{250} = \frac{4}{125} = 0{,}032$$

Altså er $3{,}2 \%$ av delane defekte.

Legg merke til at svaret ligg mellom $2 \%$ og $5 \%$, og nærare $2 \%$ — slik det skal vere, sidan flest delar kjem frå $A$. Det er ein god kontroll: eit vekta gjennomsnitt må alltid liggje mellom dei verdiane det vektar.

b) Vi gongar sannsynet med talet på delar:

$$0{,}032 \cdot 2500 = 80$$

Svar: a) $\displaystyle P(D) = \frac{4}{125} = 0{,}032$, altså 3,2 %. b) Omtrent 80 defekte delar.