4.4 Addisjonssetninga | Statistikk

Den generelle addisjonssetninga P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B), og disjunkte hendingar.

45 min

7 oppgaver

AddisjonssetningaDisjunkte hendingar

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Når vi ikkje berre kan leggje saman

I ein klasse på 40 elevar har 24 deltidsjobb og 18 driv med organisert idrett. Kor mange gjer minst éin av delane?

Det freistande svaret er $24 + 18 = 42$ . Men klassen har berre 40 elevar — svaret kan ikkje bli 42. Noko har gått gale.

Feilen er at elevane som gjer begge delar, er talde med i begge tala. Dei er talde to gonger. Skal vi rette opp, må vi trekkje dei frå igjen éin gong. Det er heile innhaldet i addisjonssetninga.

📜Den generelle addisjonssetninga

For to hendingar

A

B

gjeld

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Lese i klartekst: sannsynet for at minst éi av hendingane skjer, er summen av dei to sannsyna minus sannsynet for at begge skjer.

✏️Døme 1

I ein klasse på 40 elevar har 24 deltidsjobb og 18 driv med organisert idrett. 11 elevar gjer begge delar. Vi trekkjer éin elev tilfeldig. La $D$ = «har deltidsjobb» og $I$ = «driv med organisert idrett».

a) Bestem $P(D)$ , $P(I)$ og $P(D \cap I)$ .
b) Bestem $P(D \cup I)$ med addisjonssetninga.
c) Bestem sannsynet for at eleven verken har deltidsjobb eller driv med organisert idrett.

Løysing:

a) Alle dei 40 elevane er like sannsynlege å trekkje, så modellen er uniform. Grunnmengda er $40$ , og ho står under brøkstreken kvar gong.

$P(D) = \frac{24}{40} \qquad P(I) = \frac{18}{40} \qquad P(D \cap I) = \frac{11}{40}$

(Vi ventar med å forkorte, sidan brøkane skal summerast i neste deloppgåve.)

b) Vi skriv formelen tom først, og set så inn:

$P(D \cup I) = P(D) + P(I) - P(D \cap I)$

$P(D \cup I) = \frac{24}{40} + \frac{18}{40} - \frac{11}{40}$

Alle brøkane har same nemnar, så vi kan rekne over brøkstreken:

$= \frac{24 + 18 - 11}{40} = \frac{31}{40}$

Vi kontrollerer mot figuren: $13 + 11 + 7 = 31$ elevar gjer minst éin av delane. Det stemmer.

$\frac{31}{40} = 0{,}775$

c) «Verken–eller» er komplementet til «minst éin av delane»:

$P((D \cup I)') = 1 - P(D \cup I) = \frac{40}{40} - \frac{31}{40} = \frac{9}{40} = 0{,}225$

Og ganske rett står talet $9$ utanfor begge sirklane i figuren.

Svar: a) $\displaystyle \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$ , $\displaystyle \frac{18}{40} = \frac{9}{20}$ og $\displaystyle \frac{11}{40}$ . b) $\displaystyle \frac{31}{40} = 0{,}775$ , altså 77,5 % gjer minst éin av delane. c) $\displaystyle \frac{9}{40} = 0{,}225$ .

«Eller» betyr «eller begge»

I daglegtale kan «kaffi eller te» bety at du må velje éin av delane. I matematikken er «eller» alltid inklusivt:

A \cup B

inneheld òg utfalla som er i begge.

Skal du uttrykkje «nøyaktig éin av delane», må du seie det uttrykkjeleg — og då er det ikkje unionen du er ute etter, men unionen minus snittet:

$P(\text{nøyaktig éin}) = P(A \cup B) - P(A \cap B)$

📝Oppgave 1

Bruk addisjonssetninga. Skriv formelen tom først, set så inn.

P(A) = 0{,}4

P(B) = 0{,}3

P(A \cap B) = 0{,}1

. Bestem

P(A \cup B)

P(A) = 0{,}55

P(B) = 0{,}25

P(A \cap B) = 0{,}15

. Bestem

P(A \cup B)

P(A) = 0{,}5

P(B) = 0{,}2

og hendingane er disjunkte. Bestem

P(A \cup B)

\displaystyle P(A) = \frac{1}{2}

\displaystyle P(B) = \frac{1}{3}

\displaystyle P(A \cap B) = \frac{1}{6}

. Bestem

P(A \cup B)

som forkorta brøk.

P(A) = 0{,}7

P(B) = 0{,}6

P(A \cup B) = 0{,}9

. Bestem

P(A \cap B)

Løs oppgaven

Spesialtilfellet: disjunkte hendingar

Kan dei to hendingane ikkje skje samtidig, er $A \cap B = \emptyset$ og dermed $P(A \cap B) = 0$ . Då forsvinn det siste leddet:

📜Addisjonssetninga for disjunkte hendingar

Dersom

A

B

er disjunkte, er

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Dette gjeld òg for fleire hendingar: er $A_1, A_2, \ldots, A_n$ parvis disjunkte, er

$P(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \ldots + P(A_n)$

NB: Sjekk alltid at hendingane verkeleg utelukkar kvarandre før du berre legg saman. Dette er den vanlegaste feilkjelda i heile kapittelet.

✏️Døme 2

Vi trekkjer eitt kort frå ein kortstokk med 52 kort.

a) Bestem sannsynet for at kortet er hjarter eller spar.
b) Bestem sannsynet for at kortet er hjarter eller eit biletkort (knekt, dame eller konge).
c) Forklar kvifor framgangsmåten er ulik i a) og b).

Løysing:

a) La $H$ = «hjarter» og $A$ = «spar». Eit kort kan ikkje vere både hjarter og spar, så hendingane er disjunkte og $P(H \cap A) = 0$ .

$P(H \cup A) = P(H) + P(A) = \frac{13}{52} + \frac{13}{52} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$

b) La $H$ = «hjarter» og $B$ = «biletkort». No kan begge skje samtidig: hjarter knekt, hjarter dame og hjarter konge er både hjarter og biletkort. Snittet har altså 3 kort.

$P(H) = \frac{13}{52} \qquad P(B) = \frac{3 \cdot 4}{52} = \frac{12}{52} \qquad P(H \cap B) = \frac{3}{52}$

Vi bruker den generelle addisjonssetninga:

$P(H \cup B) = P(H) + P(B) - P(H \cap B) = \frac{13}{52} + \frac{12}{52} - \frac{3}{52}$

$= \frac{13 + 12 - 3}{52} = \frac{22}{52} = \frac{11}{26} \approx 0{,}423$

Her forkortar vi først når brøken er ferdig: $22$ og $52$ har begge faktoren $2$ , så $\displaystyle \frac{22}{52} = \frac{11}{26}$ .

c) Skilnaden ligg i om hendingane kan skje samtidig.

Hjarter og spar utelukkar kvarandre, og då er snittet tomt.

Hjarter og biletkort overlappar. Hadde vi lagt saman utan å trekkje frå, ville vi ha talt dei tre biletkorta i hjarter to gonger og fått $\displaystyle \frac{25}{52}$ — for mykje.

Svar: a) $\displaystyle \frac{1}{2}$ . b) $\displaystyle \frac{11}{26} \approx 0{,}423$ . c) I a) er hendingane disjunkte, i b) overlappar dei.

📝Oppgave 2

Gjer det same som i døme 2. Vi kastar éin terning. Avgjer først om hendingane er disjunkte, og rekn så ut. Oppgi svara som forkorta brøk.

Sannsynet for partal eller seksar.

Sannsynet for partal eller oddetal.

Sannsynet for minst 5 eller høgst 2.

Sannsynet for oddetal eller minst 4.

Sannsynet for nøyaktig éi av hendingane i d), altså oddetal eller minst 4, men ikkje begge.

Løs oppgaven

Frå tekst til tal

Dei fleste eksamensoppgåvene gir deg opplysningane i ord, ikkje som ferdige sannsyn. Då løner det seg å omsetje systematisk:

Formulering i teksten	Kva det betyr
«både … og …»	$A \cap B$
«minst éin av …», «… eller …»	$A \cup B$
«verken … eller …»	$(A \cup B)'$
«berre A», «A, men ikkje B»	$A$ minus snittet
«nøyaktig éin av dei»	$A \cup B$ minus snittet

Teikn gjerne venndiagrammet og fyll inn feltet i midten først. Då fell dei andre felta ut ved subtraksjon.

✏️Døme 3

Ein kommune spør 200 innbyggjarar om dei har brukt biblioteket eller symjehallen det siste året. 86 har brukt biblioteket, 74 har brukt symjehallen, og 118 har brukt minst eitt av dei.

Ein innbyggjar blir trekt tilfeldig. Bestem sannsynet for at ho

a) har brukt begge tilboda
b) berre har brukt biblioteket
c) verken har brukt biblioteket eller symjehallen

Løysing:

La $B$ = «har brukt biblioteket» og $H$ = «har brukt symjehallen».

Kva veit vi? $\displaystyle P(B) = \frac{86}{200}$ , $\displaystyle P(H) = \frac{74}{200}$ og $\displaystyle P(B \cup H) = \frac{118}{200}$ .

Kva må vi finne? Først snittet — det er feltet i midten, og dei andre felta følgjer av det.

a) Vi bruker addisjonssetninga, men no er det snittet som er ukjent. Vi skriv formelen tom først:

$P(B \cup H) = P(B) + P(H) - P(B \cap H)$

$\frac{118}{200} = \frac{86}{200} + \frac{74}{200} - P(B \cap H)$

$\frac{118}{200} = \frac{160}{200} - P(B \cap H)$

Vi legg til $P(B \cap H)$ og trekkjer frå $\displaystyle \frac{118}{200}$ på begge sider:

$P(B \cap H) = \frac{160}{200} - \frac{118}{200} = \frac{42}{200} = \frac{21}{100} = 0{,}21$

Altså har 42 av dei 200 brukt begge tilboda.

b) «Berre biblioteket» er dei som er i $B$ , men ikkje i snittet:

$P(\text{berre bibliotek}) = P(B) - P(B \cap H) = \frac{86}{200} - \frac{42}{200} = \frac{44}{200} = \frac{11}{50} = 0{,}22$

c) «Verken–eller» er komplementet til unionen:

$P((B \cup H)') = 1 - P(B \cup H) = \frac{200}{200} - \frac{118}{200} = \frac{82}{200} = \frac{41}{100} = 0{,}41$

Kontroll: dei fire felta skal summere til 200: $44 + 42 + 32 + 82 = 200$ . Det stemmer.

Venndiagram med rektangelet S lik 200 og to overlappande sirklar B for bibliotek og H for symjehall. Det er 44 i berre bibliotek, 42 i snittet, 32 i berre symjehall og 82 utanfor begge sirklane.

Kontrollen i dømet blir lesen rett av figuren: 44 + 42 + 32 + 82 = 200. Midtfeltet 42 er det dømet reknar seg baklengs til.

Svar: a) $0{,}21$ , b) $0{,}22$ , c) $0{,}41$ .

📝Oppgave 3

Gjer det same som i døme 3. Ei bedrift har 150 tilsette. 90 har fagbrev, 60 har fagskule eller høgare utdanning, og 18 har begge delar. Éin tilsett blir trekt tilfeldig. Svar med to desimalar.

Bestem sannsynet for at den tilsette har minst éi av dei to utdanningane.

Bestem sannsynet for at den tilsette har verken fagbrev eller fagskule/høgare utdanning.

Bestem sannsynet for at den tilsette berre har fagbrev.

Bestem sannsynet for at den tilsette har nøyaktig éi av dei to utdanningane.

Kor mange tilsette har ingen av delane?

Løs oppgaven

Tre hendingar

Med tre hendingar gjentek det same mønsteret seg, berre med fleire ledd. Først legg vi saman dei tre, så trekkjer vi frå dei tre parvise snitta — men då har vi trekt frå det felles midtfeltet éin gong for mykje, så det må leggjast til igjen:

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

Denne formelen skal du kjenne att, men du treng sjeldan å pugge han: teiknar du venndiagrammet med tre sirklar og fyller inn frå midten og utover, kjem du fram utan han.

✏️Døme 4

Ein russebuss sel 500 billettar. Blant kjøparane har 300 vippsa, 260 har brukt kort og 120 har brukt begge betalingsmåtane. Ingen har brukt andre måtar.

Undersøk om opplysningane heng saman, og forklar kva tala betyr for kor mange som har betalt med berre éin metode.

Løysing:

Kva veit vi? $|V| = 300$ , $|K| = 260$ , $|V \cap K| = 120$ , og $|V \cup K| = 500$ sidan ingen har brukt andre måtar.

Kva må vi sjekke? Om addisjonssetninga gir 500 når vi set inn:

$|V \cup K| = |V| + |K| - |V \cap K| = 300 + 260 - 120 = 440$

Her ser vi at noko skurrar: setninga gir 440, ikkje 500. Då kan ikkje alle opplysningane vere rette samtidig — 60 av kjøparane ville ha betalt på ein måte som ikkje er nemnd.

Anten har færre brukt begge metodane enn oppgitt (60 i staden for 120), eller så finst det ein tredje betalingsmåte (kontant, eller ein venn som betalte). Det er verdt å merkje seg at addisjonssetninga kan brukast som ein kontroll: stemmer ikkje tala, er datagrunnlaget ufullstendig.

Hadde tala i staden vore $|V \cap K| = 60$ , ville vi fått

$300 + 260 - 60 = 500$

og då ville rekneskapen gått opp. Talet på dei som berre vippsa, ville vore $300 - 60 = 240$ , og talet på dei som berre brukte kort, $260 - 60 = 200$ .

Kontroll: $240 + 60 + 200 = 500$ .

Svar: Opplysningane heng ikkje saman — addisjonssetninga gir 440 og ikkje 500, så 60 kjøparar er uforklarte. Med $|V \cap K| = 60$ ville rekneskapen gått opp, og 240 ville berre ha vippsa, 200 berre brukt kort.

📝Oppgave 4

Bruk addisjonssetninga som kontroll. Avgjer om opplysningane kan stemme, og rekn ut det som det blir spurt om.

I ei gruppe på 100 seier 70 at dei les nyheiter på nett og 50 at dei høyrer på podkast. 30 gjer begge delar. Kor mange gjer minst éin av delane?

Kor mange i a) gjer ingen av delane?

I ei anna gruppe på 100 seier 80 at dei les nyheiter på nett og 60 at dei høyrer på podkast, og 20 gjer begge delar. Kor mange ville gjort minst éin av delane?

Kva er det minste talet i c) som må ha gjort begge delar, for at tala skal kunne stemme?

P(A) = 0{,}6

P(B) = 0{,}7

. Kva er den minste moglege verdien av

P(A \cap B)

Løs oppgaven

Oppsummering

- Addisjonssetninga: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . Vi trekkjer frå snittet fordi det elles blir talt to gonger.
- Er $A$ og $B$ disjunkte, fell siste ledd bort: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ . Sjekk alltid at dei verkeleg utelukkar kvarandre.
- «Eller» i matematikken er inklusivt — det betyr «eller begge».
- «Verken–eller» er komplementet til unionen: $P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$ .
- Formelen kan løysast for kva ledd som helst. Kjenner du tre av dei, finn du det fjerde.
- Teikn venndiagram og fyll inn midtfeltet først. Kontroller til slutt at alle felta summerer til grunnmengda.

📝Oppgave 5

Samleoppgåve (Del 1 — utan hjelpemiddel). Ein vidaregåande skule har 600 elevar. 420 har busskort, 150 syklar til skulen om sommaren, og 90 gjer begge delar. Éin elev blir trekt tilfeldig. La

B

= «har busskort» og

Y

= «syklar om sommaren». Oppgi svara som forkorta brøk.

Bestem $P(B \cap Y)$ .

Bestem $P(B \cup Y)$ .

Bestem sannsynet for at eleven verken har busskort eller syklar.

Bestem sannsynet for at eleven har busskort, men ikkje syklar.

Kor mange elevar har verken busskort eller syklar?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Samleoppgåve (Del 2 — programmering). Vi kastar to terningar. La

A

= «minst éin seksar» og

B

= «summen er minst 10».

S = [(i, j) for i in range(1, 7) for j in range(1, 7)]
A = [u for u in S if 6 in u]
B = [u for u in S if u[0] + u[1] >= 10]
snitt = [u for u in A if u in B]
print(len(A), len(B), len(snitt))

Kor mange utfall er med i $A$ ?

Kor mange utfall er med i $B$ ?

Kor mange utfall er med i $A \cap B$ ?

Bruk addisjonssetninga til å finne talet på utfall i $A \cup B$ .

Skriv ut $P(A \cup B)$ som forkorta brøk.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøftingsoppgåve. Ei lokalavis skriv: «45 % av innbyggjarane er misnøgde med kollektivtilbodet og 38 % er misnøgde med skuletilbodet. Til saman er altså 83 % misnøgde med kommunen.»

Kva feil gjer avisa?

Skriv opp den rette formelen, og forklar kva tal avisa manglar.

Kva verdiar kan det rette svaret liggje mellom?

I kva tilfelle ville talet til avisa vore rett?

Føreslå ei setning avisa kunne skrive i staden.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.