4.3 Sannsynsmodellar | Statistikk

Uniforme og ikkje-uniforme modellar, diskrete og kontinuerlege modellar, og korleis vi lagar ein modell.

45 min

7 oppgaver

SannsynsmodellUniform modell

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Modellen er noko vi lagar

I kapittel 4.1 skreiv vi «terningen er rettferdig». Det var ein føresetnad. Ein ekte terning er aldri heilt symmetrisk, og eit ekte pengestykke landar litt oftare på den eine sida. Når vi likevel reknar med $\displaystyle \frac{1}{6}$ og $\displaystyle \frac{1}{2}$ , er det fordi vi har valt ein modell — ei forenkla skildring som er god nok til formålet.

Dette er ikkje juks. Det er slik all bruksretta matematikk verkar: vi byter røynda mot noko vi kan rekne på, og så vurderer vi etterpå om bytet var forsvarleg. Difor høyrer to spørsmål saman i statistikk:

1. Kva seier modellen?
2. Er modellen rimeleg her?

Kapittelet handlar om begge.

Sannsynsmodell

S

I ein diskret modell følgjer det av krava at sannsyna til alle utfalla til saman må bli nøyaktig 1:

$P(u_1) + P(u_2) + \ldots + P(u_n) = 1$

Summerer dei til $0{,}98$ eller $1{,}05$ , er noko gale — anten i modellen eller i rekninga. Gjer denne kontrollen kvar gong du set opp ei fordeling.

Uniform modell

S

✏️Døme 1

Vi kastar to terningar og ser på summen av auga.

a) Forklar kvifor vi bruker eit utfallsrom med 36 utfall og ikkje eitt med 11.
b) Bestem sannsynet for at summen blir minst 8.
c) Bestem sannsynet for at summen blir 7.

Løysing:

a) Summen kan bli $2, 3, \ldots, 12$ — altså 11 ulike verdiar. Men desse 11 verdiane er ikkje like sannsynlege: summen 2 kan berre skje på éin måte $(1,1)$ , medan summen 7 kan skje på seks måtar.

Difor bruker vi i staden talparet som utfall:

$S = \{(1,1),\ (1,2),\ \ldots,\ (6,6)\} \qquad |S| = 6 \cdot 6 = 36$

Desse 36 utfalla er like sannsynlege, og då har vi ein uniform modell der $\displaystyle P(A) = \frac{|A|}{|S|}$ gjeld.

b) Vi tel dei gunstige utfalla i rutenettet over — cellene der summen er 8 eller meir. Vi tel rad for rad:

rad 2: 1 celle $\quad$ rad 3: 2 celler $\quad$ rad 4: 3 celler $\quad$ rad 5: 4 celler $\quad$ rad 6: 5 celler

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$

Grunnmengda er dei 36 utfalla:

$P(\text{minst 8}) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \approx 0{,}417$

c) Summen 7 får vi av para $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2)$ og $(6,1)$ — altså 6 utfall.

$P(\text{sum 7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$

Svar: a) Fordi dei 11 summane ikkje er like sannsynlege, medan dei 36 talpara er det. b) $\displaystyle \frac{5}{12} \approx 0{,}417$ , altså i overkant av 41 %. c) $\displaystyle \frac{1}{6} \approx 0{,}167$ .

📝Oppgave 1

Gjer det same som i døme 1. Vi kastar to terningar. Bruk den uniforme modellen med 36 utfall, og oppgi svara som forkorta brøk.

Bestem sannsynet for at summen blir 12.

Bestem sannsynet for at summen blir 5.

Bestem sannsynet for at begge terningane viser det same.

Bestem sannsynet for at summen blir høgst 4.

Bestem sannsynet for at minst éin av terningane viser seksar.

Løs oppgaven

Når utfalla ikkje er like sannsynlege

Dei fleste verkelege forsøk er ikkje uniforme. Ei vêrmelding, ein fotballkamp, eit lukkehjul med ulike sektorar — her må kvart utfall få sitt eige sannsyn. Modellen blir då sett opp som ein fordelingstabell:

Utfall	$u_1$	$u_2$	$\ldots$	$u_n$
Sannsyn	$p_1$	$p_2$	$\ldots$	$p_n$

Det einaste kravet er at kvar

p

ligg mellom 0 og 1, og at dei til saman blir 1. Sannsynet for ei hending er summen av sannsyna til utfalla i hendinga.

✏️Døme 2

Eit lukkehjul på ein lokal loppemarknad er delt i fire felt av ulik storleik. Fordelinga er slik:

Felt	Raud	Blå	Grøn	Gul
Sannsyn	0,40	0,25	0,20	$p$

a) Bestem

p

.
b) Bestem sannsynet for at hjulet ikkje stoppar på raudt.

c) Bestem sannsynet for at hjulet stoppar på blått eller gult.
d) Kan vi rekne $\displaystyle P(\text{blå}) = \frac{1}{4}$ fordi det er fire felt?

Løysing:

a) Hjulet stoppar alltid på eitt av dei fire felta, så sannsyna må summere til 1. Vi set opp likninga med formelen tom først:

$P(\text{raud}) + P(\text{blå}) + P(\text{grøn}) + P(\text{gul}) = 1$

$0{,}40 + 0{,}25 + 0{,}20 + p = 1$

Vi reknar ut summen av dei tre kjende:

$0{,}85 + p = 1$

Vi trekkjer frå $0{,}85$ på begge sider:

$p = 1 - 0{,}85 = 0{,}15$

b) Her bruker vi komplementsetninga frå kapittel 4.2:

$P(\text{ikkje raud}) = 1 - P(\text{raud}) = 1 - 0{,}40 = 0{,}60$

(Vi kunne ha lagt saman $0{,}25 + 0{,}20 + 0{,}15 = 0{,}60$ i staden. Same svar, fleire steg.)

c) Blå og gul kan ikkje skje samtidig — dei er disjunkte. Då kan vi leggje saman:

$P(\text{blå} \cup \text{gul}) = P(\text{blå}) + P(\text{gul}) = 0{,}25 + 0{,}15 = 0{,}40$

d) Nei. $\displaystyle \frac{1}{4}$ ville kravd at modellen er uniform, altså at dei fire felta er like store. Her er dei ikkje det — tabellen seier uttrykkjeleg at det raude feltet er større enn dei andre. Formelen «gunstige delt på moglege» gjeld ikkje her.

Sentralvinkelen er delen gonga med 360 grader. Hjulet i døme 2 har fire ulike felt, så $P(\text{blå}) = 0{,}25$ kjem av storleiken på feltet — ikkje av at det er fire felt. Hjulet til høgre viser kva ein uniform modell ville ha betydd.

Svar: a) $p = 0{,}15$ . b) $0{,}60$ . c) $0{,}40$ . d) Nei — modellen er ikkje uniform.

«Det er to moglegheiter, så det er 50 %»

Dette er truleg den vanlegaste feilen i sannsynsrekning. At noko kan gå to vegar, seier ingenting om kor ofte kvar veg blir vald. Sannsynet for at det snør i Kristiansand i morgon er ikkje $\displaystyle \frac{1}{2}$ fordi det anten snør eller ikkje snør.

Spør alltid: er det nokon grunn til at utfalla skulle vere like sannsynlege? Symmetri i ein terning er ein slik grunn. «Eg kjem ikkje på fleire moglegheiter» er det ikkje.

📝Oppgave 2

Ein kiosk registrerer kor mange varer kvar kunde kjøper. Modellen er

Talet på varer	1	2	3	4
Sannsyn	0,45	0,30	$q$	0,07

Bestem $q$ .

Bestem sannsynet for at ein kunde kjøper minst 3 varer.

Bestem sannsynet for at ein kunde kjøper høgst 2 varer.

Er modellen uniform? Svar ja eller nei.

Av 400 kundar, kor mange ventar vi kjøper nøyaktig 2 varer?

Løs oppgaven

Når utfalla ikkje kan teljast

Ventetida på ein buss er ikkje $1$ eller $2$ minutt — ho kan vere $2{,}41$ minutt, eller $2{,}4137$ . Utfalla fyller eit heilt intervall, og då kan dei ikkje listast opp. Modellen blir kalla kontinuerleg.

Her verkar ikkje «gunstige delt på moglege», for det finst uendeleg mange utfall. I staden teiknar vi ei kurve $f$ over intervallet, og lèt arealet under kurva vere sannsynet.

Kontinuerleg modell og tettleiksfunksjon

f

✏️Døme 3

Ein bybuss går kvart tiande minutt. Du kjem til haldeplassen på eit tilfeldig tidspunkt, utan å sjå på rutetabellen. La $X$ vere ventetida i minutt.

a) Forklar kvifor $f(x) = 0{,}10$ for $0 \le x \le 10$ er ein rimeleg tettleiksfunksjon, og vis at heile arealet er 1.
b) Bestem sannsynet for at du ventar mindre enn 3 minutt.
c) Bestem sannsynet for at du ventar mellom 4 og 9 minutt.
d) Bestem sannsynet for at du ventar nøyaktig 5 minutt.

Løysing:

a) Du kjem på eit tilfeldig tidspunkt, og bussen er like «nær» uansett kvar i timinuttsperioden du treffer. Ingen del av intervallet er meir sannsynleg enn ein annan like lang del — difor er tettleiken konstant.

Høgda må veljast slik at heile arealet blir 1. Området er eit rektangel med breidd 10:

$\text{areal} = \text{breidd} \cdot \text{høgd} = 10 \cdot 0{,}10 = 1$

b) Vi spør om $P(X < 3)$ , altså arealet frå 0 til 3. Det er rektangelet som er gult i figuren over.

$P(X < 3) = \text{breidd} \cdot \text{høgd} = 3 \cdot 0{,}10 = 0{,}30$

c) No er breidda $9 - 4 = 5$ :

$P(4 \le X \le 9) = 5 \cdot 0{,}10 = 0{,}50$

d) Eit einskilt punkt har inga breidd. Rektangelet blir då uendeleg smalt:

$P(X = 5) = 0 \cdot 0{,}10 = 0$

Dette verkar rart første gongen: sannsynet er $0$ , men det kan skje at ventetida blir nøyaktig 5,000… minutt. I ein kontinuerleg modell betyr altså ikkje sannsyn 0 at noko er umogleg — det betyr at akkurat den verdien har null breidd blant uendeleg mange moglegheiter. Det er difor vi alltid spør om eit intervall i kontinuerlege modellar.

Svar: a) Tettleiken er konstant fordi ingen del av perioden er meir sannsynleg; arealet er $10 \cdot 0{,}10 = 1$ . b) $0{,}30$ . c) $0{,}50$ . d) $0$ .

📝Oppgave 3

Gjer det same som i døme 3. Ei ferje går kvart 20. minutt. Du kjem til ferjeleiet på eit tilfeldig tidspunkt. La $X$ vere ventetida i minutt, med konstant tettleik på intervallet frå 0 til 20.

Kva verdi må tettleiken $f(x)$ ha for at heile arealet skal bli 1?

Bestem $P(X < 5)$ .

Bestem $P(X > 15)$ .

Bestem $P(8 \le X \le 12)$ .

Bestem $P(X = 10)$ .

Løs oppgaven

Kvar sannsyna kjem frå

Når du skal lage ein modell, hentar du tala frå éi av tre kjelder:

1. Symmetri (teoretisk). Terningen har seks like sider, kortstokken 52 like kort. Symmetrien gir ein uniform modell utan at vi treng data.

2. Data (empirisk). Vi har ingen symmetri å støtte oss på, men vi har observasjonar. Då bruker vi dei relative frekvensane som sannsyn — til dømes delen av kundane som betalte kontant i fjor. Store tals lov er grunngivinga: med nok observasjonar ligg den relative frekvensen nær sannsynet.

3. Vurdering (subjektiv). For eingongshendingar finst verken symmetri eller gjentekne forsøk. «Sannsynet for at prosjektet blir ferdig i tide er 70 %» er eit anslag frå ein fagperson. Det kan vere godt grunngitt, men det er ei vurdering, og bør merkjast som det.

Uansett kjelde gjeld det same til slutt: modellen må vurderast mot røynda. Passar han ikkje, er det modellen som skal endrast — ikkje dataa.

✏️Døme 4

Vurder om ein uniform modell er rimeleg i kvart tilfelle. Grunngi.

a) Ein rettferdig terning blir kasta. $S$ er dei seks sidene.
b) Vi trekkjer ein tilfeldig dag i eit år og spør kva vekedag det er. $S$ er dei sju vekedagane.
c) Vi spør ein tilfeldig person i Noreg om kva landsdel ho bur i. $S$ er dei fem landsdelane.
d) Ei stiftemaskin blir kasta i vêret. $S$ er $\{\text{landar på sida},\ \text{landar på enden}\}$ .

Løysing:

Vi stiller det same spørsmålet kvar gong: finst det ein symmetri eller ein annan grunn til at utfalla skulle vere like sannsynlege?

a) Ja. Terningen er symmetrisk — alle sider er like store og like tunge. Uniform modell er rimeleg, og kvart utfall får $\displaystyle \frac{1}{6}$ .

b) Nesten. Eit år har 365 dagar:

$365 = 52 \cdot 7 + 1$

Éin vekedag førekjem altså 53 gonger og dei andre 52 gonger (i eit skotår er det to vekedagar som førekjem 53 gonger).

$\frac{53}{365} \approx 0{,}145 \qquad \text{mot} \qquad \frac{52}{365} \approx 0{,}142$

Avviket er lite, så den uniforme modellen er ei god tilnærming — men han er ikkje heilt eksakt.

c) Nei. Landsdelane har svært ulikt folketal; Austlandet har langt fleire innbyggjarar enn Nord-Noreg. Her må vi bruke ein empirisk modell med folketala frå SSB som grunnlag, ikkje $\displaystyle \frac{1}{5}$ på kvar.

d) Nei. Ei stiftemaskin er ikkje symmetrisk, og vi har ingen grunn til å tru at dei to måtane å lande på er like sannsynlege. Her finst berre éin farbar veg: kast henne mange gonger og bruk dei relative frekvensane — altså ein empirisk modell.

Svar: a) ja (symmetri), b) god tilnærming, men ikkje eksakt, c) nei — bruk folketal, d) nei — bruk eit forsøk.

📝Oppgave 4

Avgjer om ein uniform modell er rimeleg, og sei kva for ei av dei tre kjeldene (symmetri, data, vurdering) du ville bygd modellen på.

Vi trekkjer eitt lodd frå ei bøtte med 500 like lodd, nummererte frå 1 til 500.

Vi spør om ein tilfeldig nybil registrert i Noreg i fjor var elbil eller ikkje.

Vi spør om ein tilfeldig elev i ein klasse er fødd i januar.

Vi spør om eit nytt medisinsk hjelpemiddel blir godkjent i løpet av to år.

Vi trekkjer eitt kort frå ein godt stokka kortstokk og spør om det er ruter.

Oppsummering

- Ein sannsynsmodell er eit utfallsrom pluss ein regel som gir kvar hending eit sannsyn. Krava er $0 \le P(A) \le 1$ , $P(S) = 1$ og addisjon for disjunkte hendingar.
- I ein uniform modell er alle utfall like sannsynlege, og $\displaystyle P(A) = \frac{|A|}{|S|}$ . Formelen gjeld berre då.
- I ein ikkje-uniform diskret modell blir fordelinga sett opp i ein tabell. Kontroller alltid at sannsyna summerer til 1.
- I ein kontinuerleg modell er sannsynet arealet under tettleiksfunksjonen. Heile arealet er 1, og $P(X = a) = 0$ for kvart einskilt punkt.
- Sannsyna kjem frå symmetri, data eller vurdering — og modellen skal alltid vurderast mot røynda.
- Vel utfallsrom slik at utfalla blir like sannsynlege når du kan: 36 talpar er lettare å rekne med enn 11 summar.

📝Oppgave 5

Samleoppgåve (Del 1 — utan hjelpemiddel). Ein kommune deler ut kulturmidlar etter loddtrekning blant søknadene. Det kom inn 80 søknader: 24 frå idrettslag, 20 frå kor og korps, 16 frå teatergrupper og resten frå andre. Éin søknad blir trekt.

Kor mange søknader kom frå «andre»?

Set opp sannsynsmodellen som ei fordeling, og vis at sannsyna summerer til 1. Kva er $P(\text{idrettslag})$ ? Oppgi forkorta brøk.

Er modellen uniform over dei fire gruppene? Er han uniform over dei 80 søknadene?

Bestem sannsynet for at søknaden kjem frå kor og korps eller frå ei teatergruppe. Oppgi forkorta brøk.

Kommunen trekkjer fire søknader, éin for kvar av fire pottar, og legg søknaden tilbake mellom kvar trekking. Bestem sannsynet for at ingen av dei fire trekkingane gir eit idrettslag. Skriv svaret som ei potens av ein forkorta brøk.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Samleoppgåve (Del 2 — rekneark). Ein skule registrerte kor mange elevar som kom for seint kvar av 200 skuledagar:

Talet for seint	0	1	2	3	4 eller fleire
Talet på dagar	62	71	43	18	6

Legg tala i eit rekneark og lag ein empirisk sannsynsmodell. Talet på dagar står i B2:B6 og totalen i $B$7, og sannsyna skal stå i C2:C6. Skriv formelen du bruker i den første cella, C2.

Kva blir sannsynet for at ingen kjem for seint ein tilfeldig dag? Svar med tre desimalar.

Kva blir sannsynet for at minst to kjem for seint? Svar med tre desimalar.

Skriv ein formel som kontrollerer at modellen er gyldig, og oppgi kva tal han skal gi.

Skulen vil bruke modellen neste skuleår. Nemn to forhold som kan gjere han mindre gyldig då.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøftingsoppgåve. I ein debatt om samferdsel seier ein deltakar: «Det er like sannsynleg at pengane går til veg som til bane — det er jo to moglegheiter.»

Kva føresetnad bryt deltakaren?

Kva for ei av dei tre kjeldene til sannsyn (symmetri, data, vurdering) er den einaste farbare her? Grunngi.

Ein annan deltakar svarer: «Historisk har 68 % av midlane gått til veg, så sannsynet er 0,68.» Vurder dette svaret.

Forklar skilnaden på «vi veit ikkje kva som skjer» og «dei to utfalla er like sannsynlege».

Føreslå korleis ein journalist kunne ha framstilt uvissa redeleg.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.