4.2 Utfall, utfallsrom og hendingar | Statistikk

Utfall, utfallsrom, snitt, union og komplement — med mengdenotasjon og venndiagram.

45 min

7 oppgaver

UtfallsromSnittUnionKomplement

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Å skrive ned kva som kan skje

I kapittel 4.1 rekna vi gunstige delt på moglege. For å telje dei gunstige og dei moglege må vi først ha skrive dei ned. Det er det dette kapittelet handlar om: eit fast språk for kva som kan skje og kva vi spør om.

Språket er henta frå mengdelæra, og det består av tre operasjonar: snitt, union og komplement. Når du meistrar dei, kan dei fleste sannsynsoppgåver omsetjast til rekning nesten mekanisk.

Utfall og utfallsrom

S

Skriv vi $|S| = 6$ , betyr det at utfallsrommet har 6 element. Loddrette strekar rundt ei mengd betyr altså talet på element, ikkje talverdi. Det er dette talet som hamnar under brøkstreken når alle utfall er like sannsynlege.

✏️Døme 1

Skriv opp utfallsrommet $S$ og talet på utfall $|S|$ for forsøka.

a) Vi kastar eitt pengestykke.
b) Vi kastar to pengestykke og noterer resultatet på kvart av dei.
c) Vi svarer tilfeldig på tre sant/usant-spørsmål og tel talet på rette.

Løysing:

a) Eitt pengestykke gir krone (K) eller mynt (M).

$S = \{\text{K},\ \text{M}\} \qquad |S| = 2$

b) Her må vi halde styr på kva for eitt pengestykke som viste kva. Vi skriv første bokstav for pengestykke 1 og andre bokstav for pengestykke 2, og går systematisk gjennom alle kombinasjonar:

Pengestykke 1 er K: $\quad$ KK, KM

Pengestykke 1 er M: $\quad$ MK, MM

$S = \{\text{KK},\ \text{KM},\ \text{MK},\ \text{MM}\} \qquad |S| = 4$

Her ser vi at KM og MK er to ulike utfall, sjølv om begge gir «éi krone og éin mynt». Det er viktig: tel vi dei som eitt utfall, får vi feil sannsyn seinare.

c) No er det ikkje kva for spørsmål vi svarte rett på som er utfallet, men kor mange. Talet på rette kan vere 0, 1, 2 eller 3.

$S = \{0,\ 1,\ 2,\ 3\} \qquad |S| = 4$

NB: Desse fire utfalla er ikkje like sannsynlege — det er mange fleire måtar å få 1 rett på enn 0 rette. Utfallsrommet seier berre kva som kan skje, ikkje kor ofte.

Svar: a) $S = \{\text{K}, \text{M}\}$ , $|S| = 2$ . b) $S = \{\text{KK}, \text{KM}, \text{MK}, \text{MM}\}$ , $|S| = 4$ . c) $S = \{0, 1, 2, 3\}$ , $|S| = 4$ .

📝Oppgave 1

Gjer det same som i døme 1. Skriv opp utfallsrommet og oppgi talet på utfall $|S|$ .

Vi trekkjer éi kule frå ein pose med éi raud, éi blå og éi gul kule. Kor mange utfall er det?

Vi kastar ein terning og noterer om talet er eit partal eller eit oddetal. Kor mange utfall er det?

Vi kastar to terningar og noterer talparet, til dømes $(3, 5)$ . Kor mange utfall er det?

Vi kastar tre pengestykke og noterer resultatet på kvart av dei. Kor mange utfall er det?

Vi kastar tre pengestykke og tel talet på krone. Kor mange utfall er det?

Løs oppgaven

Hending

A

Snitt, union og komplement

A

✏️Døme 2

Vi kastar éin terning, slik at $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . La

$A$ = «terningen viser partal» og $B$ = «terningen viser minst 4».

a) Skriv $A$ og $B$ som mengder.
b) Bestem $A \cap B$ , $A \cup B$ og $A'$ .
c) Bestem $P(A \cap B)$ og $P(A \cup B)$ .

Løysing:

a) Vi går gjennom utfallsrommet eitt tal om gongen og spør om talet høyrer heime i hendinga.

Partal blant 1–6 er 2, 4 og 6:

$A = \{2,\ 4,\ 6\}$

«Minst 4» betyr 4 eller meir, altså 4, 5 og 6:

$B = \{4,\ 5,\ 6\}$

b) Snitt — tala som er i begge listene. Vi ser på $A = \{2, 4, 6\}$ og $B = \{4, 5, 6\}$ : talet 4 er i begge, 6 er i begge, 2 er berre i $A$ , 5 er berre i $B$ .

$A \cap B = \{4,\ 6\}$

Union — alle tala som er i minst éi av listene, kvart tal skrive éin gong:

$A \cup B = \{2,\ 4,\ 5,\ 6\}$

Komplement — tala i $S$ som ikkje er i $A$ :

$A' = \{1,\ 3,\ 5\}$

c) Alle seks utfall er like sannsynlege, så grunnmengda er $|S| = 6$ . Det talet står under brøkstreken begge gongene; det einaste som endrar seg, er kor mange utfall som er gunstige.

$A \cap B$ har 2 utfall:

$P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$

$A \cup B$ har 4 utfall:

$P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667$

Svar: a) $A = \{2, 4, 6\}$ , $B = \{4, 5, 6\}$ . b) $A \cap B = \{4, 6\}$ , $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$ , $A' = \{1, 3, 5\}$ . c) $\displaystyle P(A \cap B) = \frac{1}{3}$ og $\displaystyle P(A \cup B) = \frac{2}{3}$ .

📝Oppgave 2

Gjer det same som i døme 2. Vi trekkjer eitt kort frå ein kortstokk med 52 kort. La $A$ = «kortet er hjarter» og $B$ = «kortet er eit biletkort (knekt, dame eller konge)».

Kor mange kort er med i $A$ ?

Kor mange kort er med i $B$ ?

Kor mange kort er med i $A \cap B$ ?

Kor mange kort er med i $A \cup B$ ?

Kor mange kort er med i $A'$ ?

Løs oppgaven

Komplementet er ein snarveg

Kvar einaste gong inntreffer anten $A$ eller $A'$ — aldri begge, og aldri ingen av dei. Til saman dekkjer dei heile utfallsrommet. Difor må sannsyna deira summere til 1.

📜Komplementsetninga

For kvar hending

A

gjeld

$P(A) + P(A') = 1 \qquad \text{og dermed} \qquad P(A') = 1 - P(A)$

«Minst éin» er ei lang liste å telje opp: éin, to, tre … Men det motsette av «minst éin» er «ingen» — og det er som regel eitt enkelt tilfelle.

$P(\text{minst éin}) = 1 - P(\text{ingen})$

Dette er den mest brukte snarvegen i heile sannsynsrekninga.

✏️Døme 3

Vi kastar tre pengestykke.

a) Skriv opp utfallsrommet.
b) Bestem sannsynet for at alle tre viser mynt.
c) Bestem sannsynet for at minst eitt av dei viser krone.

Løysing:

a) Vi går systematisk fram: først alle utfalla der pengestykke 1 viser K, deretter alle der det viser M.

$S = \{\text{KKK},\ \text{KKM},\ \text{KMK},\ \text{KMM},\ \text{MKK},\ \text{MKM},\ \text{MMK},\ \text{MMM}\}$

Det er $|S| = 8$ utfall, og dei er like sannsynlege.

b) Berre eitt av dei åtte utfalla er MMM.

$P(\text{alle mynt}) = \frac{1}{8} = 0{,}125$

c) Her kunne vi ha talt: KKK, KKM, KMK, KMM, MKK, MKM, MMK — sju utfall. Men det er raskare å bruke komplementet.

Kva er det motsette av «minst éi krone»? Det er «inga krone», altså «alle mynt» — som vi nettopp rekna ut i b).

Vi bruker komplementsetninga med formelen tom først:

$P(A') = 1 - P(A)$

$P(\text{minst éi krone}) = 1 - P(\text{inga krone}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

(Legg merke til at vi byter $1$ med $\displaystyle \frac{8}{8}$ som eige steg. Då ser vi kva som skjer under brøkstreken.)

$\frac{7}{8} = 0{,}875$

Eit sannsynstre med tre nivå for tre kast med eit pengestykke. Kvar grein er merkt 1/2, og treet har åtte endepunkt: KKK, KKM, KMK, KMM, MKK, MKM, MMK og MMM, alle med vegproduktet 1/8. Vegen MMM, altså inga krone, er utheva i raudt. Nedst står: minst éi krone er lik 1 minus P av MMM, altså 1 minus 1/8 er lik 7/8.

Åtte like sannsynlege vegar. Berre éin av dei gir inga krone, og difor er komplementsnarvegen $\displaystyle 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ mykje raskare enn å leggje saman dei sju andre.

Svar: a) 8 utfall. b) $\displaystyle \frac{1}{8} = 0{,}125$ . c) $\displaystyle \frac{7}{8} = 0{,}875$ , altså i underkant av 88 %.

📝Oppgave 3

Bruk komplementsetninga. Oppgi svara som forkorta brøk.

\displaystyle P(A) = \frac{1}{5}

. Bestem

P(A')

P(B') = 0{,}35

. Bestem

P(B)

som desimaltal.

Vi kastar éin terning. Bestem $P(\text{ikkje seksar})$ .

Vi kastar to terningar. Sannsynet for to seksarar er $\displaystyle \frac{1}{36}$ . Bestem sannsynet for at vi ikkje får to seksarar.

Vi kastar fire pengestykke. Bestem sannsynet for at minst eitt viser krone.

Løs oppgaven

Disjunkte hendingar

Nokre hendingar kan rett og slett ikkje skje samtidig. Eit kort kan ikkje vere både hjarter og spar; ein terning kan ikkje vise både 2 og 5 i same kast. Då er snittet tomt:

$A \cap B = \emptyset$

og vi kallar hendingane disjunkte (uforeinlege). I eit venndiagram teiknar vi då to sirklar som ikkje rører kvarandre.

NB: Disjunkt er ikkje det same som uavhengig. Disjunkt betyr at den eine utelukkar den andre — og det er nesten det motsette av uavhengigheit. Vi kjem tilbake til uavhengigheit i kapittel 4.5.

✏️Døme 4

Vi trekkjer eitt kort frå ein kortstokk med 52 kort. Avgjer om hendingane er disjunkte, og grunngi.

a) $A$ = «kortet er hjarter», $B$ = «kortet er spar»
b) $C$ = «kortet er hjarter», $D$ = «kortet er eit ess»
c) $E$ = «kortet er raudt», $F$ = «kortet er svart»

Løysing:

Framgangsmåten er alltid den same: vi leitar etter eitt utfall som ligg i begge hendingane. Finn vi eitt, er dei ikkje disjunkte.

a) Eit kort har berre éin farge. Ingen kort er både hjarter og spar, så

$A \cap B = \emptyset$

Hendingane er disjunkte.

b) Hjarter ess ligg i begge:

$C \cap D = \{\text{hjarter ess}\}$

Snittet har eitt element, så hendingane er ikkje disjunkte.

c) Eit kort er anten raudt eller svart, aldri begge. $E \cap F = \emptyset$ , så dei er disjunkte.

Her ser vi noko meir: $E$ og $F$ dekkjer òg heile utfallsrommet til saman. Då er dei ikkje berre disjunkte — dei er komplementet til kvarandre, $F = E'$ .

Svar: a) disjunkte, b) ikkje disjunkte, c) disjunkte (og i tillegg komplementet til kvarandre).

📝Oppgave 4

Vi kastar éin terning, $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . La $A = \{1, 2, 3\}$ , $B = \{3, 4\}$ og $C = \{5, 6\}$ . Oppgi talet på element i kvar mengd du finn.

Kor mange element er det i $A \cap B$ ?

Kor mange element er det i $A \cup B$ ?

Kor mange element er det i $A'$ ?

Kor mange element er det i $A \cap C$ ?

Kor mange element er det i $(A \cup B)'$ ?

Løs oppgaven

Oppsummering

- Utfallsrommet $S$ er alle moglege utfall. $|S|$ er talet på utfall.
- Ei hending er ei delmengd av $S$ . Ho inntreffer når forsøket gir eit utfall i mengda.
- $A \cap B$ (snitt) = i $A$ og i $B$ . $A \cup B$ (union) = i $A$ eller i $B$ . $A'$ (komplement) = ikkje i $A$ .
- Komplementsetninga: $P(A') = 1 - P(A)$ . Ser du «minst éin», rekn på «ingen» og trekk frå 1.
- $A$ og $B$ er disjunkte når $A \cap B = \emptyset$ — dei kan ikkje skje samtidig.
- Når du skriv opp eit utfallsrom: ver systematisk, og pass på om rekkjefølgja skal telje med (KM og MK) eller ikkje.

📝Oppgave 5

Samleoppgåve (Del 1 — utan hjelpemiddel). Ein idrettsklubb har 60 medlemer. Alle spelar anten handball, fotball eller begge delar. 38 spelar fotball, 31 spelar handball. Eitt medlem blir trekt tilfeldig. La

F

= «spelar fotball» og

H

= «spelar handball».

Sidan alle spelar minst éin av delane, er $|F \cup H| = 60$ . Kor mange spelar begge delar, altså $|F \cap H|$ ?

Kor mange spelar berre fotball?

Kor mange spelar berre handball?

Bestem $P(F \cap H)$ . Oppgi svaret som forkorta brøk.

Bestem $P(F')$ . Oppgi svaret som forkorta brøk, og forklar i klartekst kva hendinga $F'$ er her.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Samleoppgåve (Del 2 — programmering). Programmet under listar opp utfallsrommet for kast med to terningar og tel nokre hendingar.

S = []
for i in range(1, 7):
    for j in range(1, 7):
        S.append((i, j))

A = [u for u in S if u[0] + u[1] == 7]
B = [u for u in S if u[0] == u[1]]

print(len(S), len(A), len(B))

Kor mange element får lista S?

Kva hending er A? Kor mange element har ho?

Kva hending er B? Kor mange element har ho?

Kor mange element har $A \cap B$ ? Kva seier det om hendingane?

Skriv ei linje som lagar lista $A \cup B$ , og oppgi kor mange element ho får.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøftingsoppgåve. To elevar skal finne sannsynet for å få éi krone og éin mynt når dei kastar to pengestykke. Ada set opp utfallsrommet

\{\text{to krone},\ \text{éin av kvar},\ \text{to mynt}\}

og svarer

\displaystyle \frac{1}{3}

. Bendik set opp

\{\text{KK}, \text{KM}, \text{MK}, \text{MM}\}

og svarer

\displaystyle \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Er begge utfallsromma rette skildringar av kva som kan skje?

Formelen «gunstige delt på moglege» krev ein bestemd føresetnad. Kva for ein, og kven av dei to bryt han?

Kven har rett? Grunngi.

Føreslå eit forsøk som ville avgjort saka i praksis, og kva forsøket ville vist.

Kva er den generelle lærdommen om korleis ein vel utfallsrom?

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.