4.1 Uvisse, tilfeldigskap og stokastiske forsøk

Vi sjekkar dei to krava i definisjonen kvar gong: veit vi kva resultat som er moglege? og veit vi kva for eitt som kjem?

a) Ja. Vi veit at resultatet blir eitt av tala 1, 2, 3, 4, 5 eller 6, men ikkje kva for eitt.

Utfalla er $1, 2, 3, 4, 5$ og $6$.

b) Ja. Vi veit at forseinkinga er eit tal frå 0 minutt og oppover, men ikkje kva for eitt.

Her ser vi at utfalla ikkje kan listast opp eitt for eitt — forseinkinga kan vere 2 minutt, men òg 2,4 minutt. Slike forsøk kjem vi tilbake til i kapittel 4.3.

c) Nei. Vi veit at svaret er $84$, kvar einaste gong. Ingenting er uvisst, og då er det ikkje eit stokastisk forsøk.

d) Ja. Vi veit at vi får eitt av dei 28 namna, men ikkje kva for eitt.

Utfalla er dei 28 namna.

Svar: a), b) og d) er stokastiske forsøk. c) er det ikkje.

a) Vi bruker formelen for relativ frekvens. Under brøkstreken står alltid talet på kast, altså alle forsøka i den rada.

$$\text{relativ frekvens} = \frac{\text{talet på krone}}{\text{talet på kast}}$$

20 kast: $\quad \dfrac{13}{20} = 0{,}65$

200 kast: $\quad \dfrac{109}{200} = 0{,}545$

2000 kast: $\quad \dfrac{1013}{2000} = 0{,}5065$

20 000 kast: $\quad \dfrac{10\,036}{20\,000} = 0{,}5018$

b) Her ser vi at tala rører seg mot $0{,}5$ etter kvart som talet på kast aukar. Avviket frå $0{,}5$ krympar for kvar rad:

$0{,}15 \rightarrow 0{,}045 \rightarrow 0{,}0065 \rightarrow 0{,}0018$

Det er nøyaktig det store tals lov lovar. Målingane støttar altså at sannsynet for krone er $0{,}5$.

Svar: a) $0{,}65$, $0{,}545$, $0{,}5065$ og $0{,}5018$. b) Den relative frekvensen nærmar seg $0{,}5$, som er sannsynet for krone.

Først identifiserer vi grunnmengda. Terningen har seks sider, så det er $6$ moglege utfall, og dei er like sannsynlege. Talet $6$ står under brøkstreken i alle tre deloppgåvene.

a) Gunstige utfall: berre $5$. Det er $1$ gunstig utfall.

$$P(\text{fem auge}) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$$

b) Gunstige utfall: $2$, $4$ og $6$. Det er $3$ gunstige utfall.

$$P(\text{partal}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5$$

(Vi forkortar først når brøken er ferdig — her $3/6$ til $1/2$.)

c) «Minst fem» betyr fem eller meir. Gunstige utfall: $5$ og $6$. Det er $2$ gunstige utfall.

$$P(\text{minst fem auge}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$$

Dei tre deloppgåvene talde opp, éi rad per deloppgåve: øvst «terningen viser 5», i midten «partal» og nedst «minst 5». Formelen gunstige delt på moglege er nettopp å telje dei farga cellene i rada.

Svar: a) $\displaystyle \frac{1}{6} \approx 0{,}167$, b) $\displaystyle \frac{1}{2} = 0{,}5$, c) $\displaystyle \frac{1}{3} \approx 0{,}333$

a) Talet gjeld ikkje éin dag, men ein type dag. Av alle dagar der vêret ser ut slik det gjer no, kjem det nedbør på omtrent 3 av 10 av dei.

Vi kan seie det slik: om vi kunne køyre morgondagen om igjen hundre gonger under dei same forholda, ville det regne på rundt tretti av dei.

b) Påstanden held ikkje. Eit sannsyn på $30\ \%$ seier uttrykkjeleg at det er $70\ \%$ sannsyn for at det ikkje kjem nedbør. At det vart opphaldsvêr, er altså det mest sannsynlege utfallet — det motseier ikkje meldinga i det heile.

Dette er ei kjend felle: ei einskildhending kan ikkje gjere eit sannsyn feil. Skal vi vurdere om meldingane er gode, må vi samle mange dagar og sjå på den relative frekvensen. Regnar det på omtrent $30\ \%$ av dagane som fekk meldinga «30 %», treffer meteorologane godt.

Svar: a) Nedbør på omtrent 3 av 10 dagar med slike forhold. b) Påstanden er ikkje haldbar; éin dag kan ikkje avgjere om eit sannsyn er rett.