3.4 Statistikk i samfunnsdebatten

a) Ein reduksjon på $30\ \%$ betyr at $70\ \%$ av risikoen er att:

$$0{,}009 \cdot (1 - 0{,}30) = 0{,}009 \cdot 0{,}70 = 0{,}0063$$

Svar a): $0{,}63\ \%$, altså $630$ tilfelle per $100\,000$ i staden for
$900$.

b) $$0{,}9\ \% - 0{,}63\ \% = 0{,}27 \text{ prosentpoeng}$$

Svar b): $0{,}27$ prosentpoeng, altså $270$ færre tilfelle per
$100\,000$ personar.

c) Kvar person som får tiltaket, får risikoen sin redusert med $0{,}0027$.
For å få eitt heilt tilfelle unna må vi då ha

$$\frac{1}{0{,}0027} \approx 370{,}4$$

Vi rundar opp, sidan $370$ personar ikkje heilt gir eitt unngått tilfelle: $371$ personar.

Svar c): Omtrent $371$ personar må få tiltaket for at eitt tilfelle skal
unngåast.

«30 % reduksjon» ser stort ut. I absolutte tal er det 270 færre tilfelle per 100 000 — 0,27 prosentpoeng — og 371 personar må behandlast for å unngå eitt tilfelle.

d) $$371 \cdot 2\,400 \text{ kr} = 890\,400 \text{ kr}$$

Svar d): Omtrent $890\,000$ kroner per unngått tilfelle.

Her ser vi at alle desse tala skildrar det same tiltaket:

Framstilling	Talet
Relativ reduksjon	$30\ \%$
Absolutt reduksjon	$0{,}27$ prosentpoeng
Per $100\,000$	$270$ færre tilfelle
Talet som må behandlast	$371$
Kostnad per unngått tilfelle	$890\,000$ kr

Den som vil at tiltaket skal verke stort, oppgir det første talet. Den som vil
at det skal verke lite, oppgir det tredje eller fjerde. Ingen av dei lyg.
Slik les du kritisk: Møter du ei prosentvis endring i ein risiko, spør
alltid etter utgangspunktet. Utan det er talet ikkje tolkbart.

a) Den største målinga er $26{,}2\ \%$ (desember) og den minste
$22{,}8\ \%$ (mars):

$$26{,}2 - 22{,}8 = 3{,}4 \text{ prosentpoeng}$$

Svar a): $3{,}4$ prosentpoeng — og ikkje éin einaste veljar har skifta meining.

b) Feilmarginen for éi måling er

$$1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}25 \cdot 0{,}75}{1\,000}} \approx 0{,}027$$

altså $2{,}7$ prosentpoeng,
og for ei endring mellom to målingar

$$1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}25 \cdot 0{,}75}{1\,000} + \frac{0{,}25 \cdot 0{,}75}{1\,000}} \approx 0{,}038$$

altså $3{,}8$ prosentpoeng.

Fallet er $24{,}7 - 22{,}8 = 1{,}9$ prosentpoeng, altså godt innanfor $3{,}8$.

Svar b): Nei. Endringa er omtrent halvparten av feilmarginen for ei
endring ($3{,}8 : 2 = 1{,}9$), og kan ikkje skiljast frå tilfeldig variasjon.

c) Alle desse er sanne om dei same tala:

- «Partiet fall to prosentpoeng i mars.» (Sant — og rein tilfeldigheit.)
- «Partiet har styrkt seg gjennom hausten: fire målingar på rad over
$25\ \%$.» (Sant — og rein tilfeldigheit.)
- «Partiet har lege stabilt rundt $25\ \%$ heile året; alle dei tolv målingane
er innanfor feilmarginen.» (Sant — og dekkjande.)

Svar c): Sjå dei tre overskriftene over. Berre den siste skildrar det som faktisk skjedde.

Her ser vi at ei tilfeldig talrekkje inneheld «fall», «oppgangar» og
«trendar» heile tida. Den som leitar etter ei historie i støyen, finn alltid
ei.

Slik les du kritisk: Samanlikn endringa med feilmarginen for endringa
— ikkje med feilmarginen for éi måling. Og sjå på heile rekkja, ikkje på dei to
punkta som gir den ønskte retninga (kapittel 1.6).

Andre moglegheiter: Eit snitt av målingar frå fleire byrå dempar både
utvalsvariasjonen og dei systematiske skilnadene mellom byråa. Det er difor
slike snitt har vorte vanlege.

a) $$\frac{412 - 468}{468} = \frac{-56}{468} = -0{,}1196\ldots \approx -12{,}0\ \%$$

Svar a): Eit fall på $12{,}0\ \%$ — akkurat som kommunen seier.

b) Vi samanliknar første halvår med første halvår:

$$\frac{412 - 405}{405} = \frac{7}{405} = 0{,}0173 \approx +1{,}7\ \%$$

Svar b): Ein auke på $1{,}7\ \%$.

Her ser vi at talet ser ut til å svinge med årstida: andrehalvåret
($468$) ligg høgare enn begge førstehalvåra ($405$ og $412$). Å
samanlikne januar–juni med juli–desember måler difor mest av alt sesongen.

NB: tabellen har berre eitt andrehalvår, så dette er éin observasjon.
Han held til å seie at samanlikninga er tvilsam, men ikkje til å slå fast
kor stor sesongeffekten er — til det trengst fleire år.

c) Nabokommunen, utan tiltaket:

$$\frac{268 - 310}{310} = \frac{-42}{310} = -0{,}1355 \approx -13{,}5\ \%$$

Medan tiltakskommunen gjekk opp $1{,}7\ \%$, gjekk nabokommunen ned
$13{,}5\ \%$ i den same perioden. Skilnaden er

$$1{,}73 - (-13{,}55) = 15{,}28 \approx 15{,}3 \text{ prosentpoeng}$$

i disfavør av tiltakskommunen.

NB: differansen blir rekna av dei uavrunda prosentane. Bruker vi dei
avrunda tala $1{,}7$ og $-13{,}5$, får vi $15{,}2$ — ein tidel unna.

Same tal, tre samanlikningar. Fallet frå 468 til 412 går over sesongskiljet; måler vi i staden same halvår mot same halvår (405 til 412), er det ein auke på 1,7 %. Nabokommunen fall 13,5 % i den same perioden.

Svar c): Samanlikninga gir ingen støtte for at tiltaket verka. Eitt eller
anna fekk tala til å falle i nabokommunen, og den nedgangen kom ikkje i
tiltakskommunen.

Slik les du kritisk: Eit «etter–før»-tal er nesten aldri nok. Tre
spørsmål må stillast:

1. Sesong: er periodane samanliknbare?
2. Trend: kva var utviklinga før tiltaket?
3. Kontroll: kva skjedde samtidig der tiltaket ikkje vart innført?

Samanlikninga i punkt 3 blir kalla differanse i differanse, og ho er det
næraste vi kjem eit forsøk når eit ekte forsøk ikkje kan gjennomførast.

a) Gjennomsnittet: summen er $1\,263$ dagar, og

$$\bar{x} = \frac{1\,263}{24} = 52{,}6 \text{ dagar}$$

Medianen: $n = 24$ er eit partal, så medianen er gjennomsnittet av dei to
midtarste — plass $12$ og $13$, altså $28$ og $30$:

$$Q_2 = \frac{28 + 30}{2} = 29 \text{ dagar}$$

Svar a): Gjennomsnitt $52{,}6$ dagar, median $29$ dagar.

b) Over $90$ dagar: $96, 118, 140, 165$ og $210$ — fem pasientar.

$$\frac{5}{24} = 0{,}208 = 20{,}8\ \%$$

Under $30$ dagar: dei tolv første i rekkja.

$$\frac{12}{24} = 0{,}50 = 50{,}0\ \%$$

Svar b): $20{,}8\ \%$ venta over $90$ dagar, og $50{,}0\ \%$ venta
under $30$.

c)

Overskrift	Talet ho byggjer på	Sann?
«Pasientane ventar i snitt nesten to månader»	gjennomsnitt $52{,}6$	ja
«Halvparten kjem til innan ein månad»	median $29$	ja
«Kvar femte pasient ventar over tre månader»	del $20{,}8\ \%$	ja

Alle tre er rette reknestykke på dei same $24$ tala.
Gjennomsnittet er drege kraftig opp av dei fem lengste ventetidene — det er ei
høgreskeiv fordeling, akkurat som lønsfordelinga i kapittel 1.2. Difor
er $52{,}6$ dagar ikkje det ein typisk pasient opplever; $29$ er nærare.

Men medianen åleine løyner nettopp det som er problemet: at nokre ventar

$210$ dagar.
Svar c): Ingen av dei tre er dekkjande åleine. Det dekkjande svaret oppgir
medianen og halen: «Medianventetida er $29$ dagar, men kvar femte pasient

ventar over tre månader, og den lengste ventetida var $210$ dagar.»
Andre moglegheiter: Eit boksplott (kapittel 1.5) viser alt dette i éin figur —

median, kvartilar ($Q_1 = 18$ og $Q_3 = 64{,}5$) og den lange halen.

Alt i éin figur: halvparten av pasientane venta under 29 dagar, men gjennomsnittet er 52,6 dagar fordi nokre få venta svært lenge. Kvartilane er rekna med skulemetoden frå kapittel 1.3, der halvdelane blir delte ved medianen.