3.3 Representativitet og feilkjelder | Statistikk

Skeivskap, fråfall, leiande spørsmål og målefeil, og korleis dei påverkar konklusjonane.

45 min

6 oppgaver

RepresentativitetFeilkjelderSkeivskap

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

To slags feil

Alle undersøkingar bommar. Det som avgjer kor mykje dei er verde, er kva
type bom.

Tilfeldig feil kjem av at vi har trekt eitt utval og ikkje eit anna. Han
peikar like ofte oppover som nedover, han blir mindre når $n$ veks, og han kan
reknast ut. Det er han feilmarginen dekkjer.

Systematisk feil — òg kalla skeivskap — kjem av at metoden peikar i éi
bestemd retning. Han blir ikkje mindre av at utvalet veks, han kan ikkje
reknast ut av dataa, og feilmarginen seier ingenting om han.

Tilfeldig feil	Systematisk feil (skeivskap)
Årsak	Vi trekte akkurat dette utvalet	Metoden favoriserer nokon
Retning	Tilfeldig opp eller ned	Alltid same veg
Effekt av større $n$	Blir mindre	Uendra
Kan han reknast ut?	Ja	Nei — han må unngåast

Nesten alt som går gale med ei undersøking, høyrer til i høgre kolonne.

Fire feilkjelder

1. Dekningsfeil. Utvalsramma dekkjer ikkje populasjonen. Ei undersøking som trekkjer frå eit mobilregister, manglar dei utan mobil; ei som trekkjer frå e-postlista til kommunen, manglar dei som ikkje har registrert seg. Einingane som manglar, har sannsyn null for å bli med, og dei liknar sjeldan dei som er med. 2. Fråfall. Nokre av dei trekte svarer ikkje. Dette er den største feilkjelda i moderne undersøkingar, fordi svarprosentane har falle kraftig. Fråfallet er farleg når dei som ikkje svarer, skil seg frå dei som svarer — og det gjer dei nesten alltid. 3. Målefeil. Svaret måler noko anna enn det vi trur: - leiande spørsmål («Synest du ikkje at \dots») - kva alternativ som blir nemnt først - minnet («Kor mange gonger sykla du i fjor?») - sosialt ønskjelege svar (folk oppgir meir trening og mindre snacks enn dei har) - uklare ord («ofte», «regelmessig», «god økonomi») 4. Handsamingsfeil. Tastefeil, feil koding, feil samanslåing av kategoriar — feil som oppstår etter at dataa er samla inn. Berre den tilfeldige variasjonen blir dekt av feilmarginen. Alle dei fire punkta over ligg utanfor.

✏️Døme 1 – Kva fråfall kostar

Ein kommune sende ei undersøking til $2\,000$ tilfeldig trekte innbyggjarar.
$900$ svarte. Av dei sa $60\ \%$ at dei er nøgde med renovasjonen.

a) Kva er svarprosenten?

b) Gå ut frå at dei som ikkje svarte, i røynda er $35\ \%$ nøgde. Kva er då
den sanne andelen, og kor mykje bommar anslaget?

c) Kor mykje kan anslaget i verste fall bomme, når vi ikkje veit noko om dei som
ikkje svarte?

d) Samanlikn med feilmarginen frå tilfeldig variasjon.

\frac{900}{2\,000} = 0{,}45 = 45\ \%

Svar a): Svarprosenten er $45\ \%$ , og fråfallet er $1\,100$ personar,
altså $55\ \%$ .

b) Den sanne andelen er eit vekta gjennomsnitt av dei to gruppene:

$0{,}45 \cdot 0{,}60 + 0{,}55 \cdot 0{,}35 = 0{,}27 + 0{,}1925 = 0{,}4625$

Svar b): Den sanne andelen ville vore $46{,}25\ \%$ ( $\approx 46{,}3\ \%$ ),
medan undersøkinga rapporterer $60\ \%$ . Anslaget bommar med

$60 - 46{,}25 = 13{,}75 \approx 13{,}8 \text{ prosentpoeng}$

NB: vi reknar differansen av dei eksakte tala og rundar av til slutt.
Rundar vi $46{,}25$ av til $46{,}3$ først, får vi $13{,}7$ — og det er ei
anna avrunding enn den rette.

c) Vi veit ingenting om dei $1\,100$ . Dei to ytterpunkta er:

Ingen av dei er nøgde:

$0{,}45 \cdot 0{,}60 + 0{,}55 \cdot 0 = 0{,}27 = 27\ \%$

Alle er nøgde:

$0{,}45 \cdot 0{,}60 + 0{,}55 \cdot 1 = 0{,}27 + 0{,}55 = 0{,}82 = 82\ \%$

Svar c): Utan kunnskap om fråfallet kan vi berre seie at den sanne andelen
ligg mellom $27\ \%$ og $82\ \%$ — eit spenn på $55$ prosentpoeng, altså
nøyaktig like stort som fråfallet.

d) Feilmarginen frå tilfeldig variasjon med $n = 900$ og $\hat{p} = 0{,}60$ er (formelen står i teoremet om feilmargin lenger ut i kapittelet)

$1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}60 \cdot 0{,}40}{900}} = 1{,}96 \cdot 0{,}01633 \approx 0{,}032$

altså $\pm 3{,}2$ prosentpoeng. Intervallet blir $6{,}4$ prosentpoeng breitt.

Fråfallet åleine tillèt eit spenn på $55$ prosentpoeng:

$\frac{55}{6{,}4} \approx 8{,}6$

Feilmarginen måler berre den tilfeldige variasjonen. Det fråfallet åleine tillèt, er omtrent åtte–ni gonger så breitt (55 mot 6,4 prosentpoeng) — og den uvissa står ikkje i nokon feilmargin.

Svar d): Feilmarginen er $\pm 3{,}2$ prosentpoeng, eit intervall på $6{,}4$ prosentpoeng. Spennet fråfallet
åleine tillèt, er $55$ prosentpoeng — omtrent åtte–ni gonger så breitt.

Her ser vi at ein rapport som oppgir « $60\ \%$ er nøgde, feilmargin
$\pm 3{,}2$ prosentpoeng» seier noko sant om det minste problemet og teier om det
største.

Slik les du kritisk: Sjå etter svarprosenten før du ser på
feilmarginen. Står han ikkje der, er det i seg sjølv ei opplysning.

Andre moglegheiter: Fråfallet kan undersøkjast ved å purre, og så samanlikne
dei som svarte først med dei som svarte etter purring. Skil dei to gruppene
seg, er det eit varsel om at dei som aldri svarte, skil seg endå meir.

📝Oppgave 1

Ei brukarundersøking vart send til $1\,500$ personar. $480$ svarte, og av dei
sa $72\ \%$ at dei var nøgde.

Finn svarprosenten og talet på fråfall.

Kva er den sanne andelen om dei som ikkje svarte, er $55\ \%$ nøgde?

Og om dei er $40\ \%$ nøgde?

Kvifor er det rimeleg å tru at dei som ikkje svarte, er mindre nøgde?

Kva bør stå i rapporten ved sida av talet $72\ \%$ ?

Løs oppgaven

✏️Døme 2 – Spørsmålet formar svaret

Ein kommune delte $1\,000$ tilfeldig trekte innbyggjarar i to like store grupper
og stilte det same spørsmålet på to måtar.

Ordlyd	Ja	$n$
«Bør kommunen bruke meir pengar på eldreomsorg?»	412	500
«Bør kommunen bruke meir pengar på eldreomsorg, sjølv om det betyr høgare eigedomsskatt?»	238	500

a) Finn dei to andelane.
b) Kor stor er skilnaden, og kan han kome av tilfeldigheiter?
c) Kva for ein ordlyd er den «rette»?

\hat{p}_1 = \frac{412}{500} = 0{,}824 = 82{,}4\ \%

$\hat{p}_2 = \frac{238}{500} = 0{,}476 = 47{,}6\ \%$

Svar a): $82{,}4\ \%$ og $47{,}6\ \%$ .

b) Skilnaden er

$82{,}4 - 47{,}6 = 34{,}8 \text{ prosentpoeng}$

Feilmarginen for ein skilnad mellom to uavhengige utval er

$1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$

Vi set inn:

$1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}824 \cdot 0{,}176}{500} + \frac{0{,}476 \cdot 0{,}524}{500}} = 1{,}96 \cdot 0{,}0282 = 0{,}055$

altså $5{,}5$ prosentpoeng.

Svar b): Skilnaden på $34{,}8$ prosentpoeng er over seks gonger så stor
som feilmarginen. Han kan ikkje forklarast med tilfeldig utvalsvariasjon.

c) Ingen av dei — og begge.

Den første måler om folk ønskjer seg betre eldreomsorg. Den andre måler om
dei er viljuge til å betale for henne. Det er to ulike spørsmål, og
begge svara er sanne om sitt eige spørsmål.

Feilen ville vore å stille det eine og rapportere svaret som om det gjaldt det
andre: « $82\ \%$ av innbyggjarane støttar satsinga» når ingen er spurd kva ho
kostar.

Svar c): Ordlyden er spørsmålet. Difor skal han alltid oppgivast ordrett
saman med resultatet.

NB: Dette er ikkje eit argument mot spørjeundersøkingar. Det er eit argument
for at spørsmålsteksten høyrer med til talet, på same måte som $n$ og
svarprosenten.

📝Oppgave 2

Vurder kvar spørsmålsformulering. Kva for ei feilkjelde er i spel, og korleis ville
du skrive om?

«Synest du ikkje at kommunen burde ha prioritert skulane høgare?»

«Kor mange gonger har du vore på biblioteket det siste året?»

«Trenar du regelmessig?»

«Kor mykje alkohol drakk du førre veke?», stilt andlet til andlet av ein intervjuar.

«Er du einig i at det nye tiltaket er både rettferdig og effektivt?»

📜Feilmargin for ein andel

Er utvalet eit sannsynsutval, og

n

er stor nok, ligg den sanne
andelen

p

med omtrent

95\ \%

tryggleik innanfor

$\hat{p} \pm 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

Leddet etter $\pm$ blir kalla feilmarginen. Formelen blir grunngitt i kapittel 7;
her bruker vi han.

Tre ting å leggje merke til:

1. $n$ står under ei kvadratrot. Firedoblar vi $n$ , blir marginen halvert.
2. Marginen er størst når $\hat{p} = 0{,}5$ . Då er
$\hat{p}(1-\hat{p}) = 0{,}25$ , og formelen blir
$\displaystyle 1{,}96 \cdot \frac{0{,}5}{\sqrt{n}} = \frac{0{,}98}{\sqrt{n}}$ — som er
tommelfingerregelen $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}$ frå kapittel 3.1. For små andelar
er den ekte marginen mykje mindre.
3. Storleiken på populasjonen står ikkje i formelen.

I rekneark:

=1,96*ROT(B1*(1-B1)/B2)

der B1 er $\hat{p}$ og B2 er $n$ .

✏️Døme 3 – Feilmargin i ei meiningsmåling

Ei måling med $n = 1\,000$ gir eitt parti $28{,}0\ \%$ oppslutnad og eit anna
parti $5{,}0\ \%$ .

a) Finn feilmarginen for kvart av dei to partia.

b) Kva intervall bør oppgivast?

c) Kvifor er marginen minst for det vesle partiet?

a) Formelen først, tom:

$1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

Det store partiet, $\hat{p} = 0{,}28$ :

$1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}28 \cdot 0{,}72}{1\,000}} = 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}2016}{1\,000}}$

$= 1{,}96 \cdot \sqrt{0{,}0002016} = 1{,}96 \cdot 0{,}014199 = 0{,}0278$

Det vesle partiet, $\hat{p} = 0{,}05$ :

$1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}05 \cdot 0{,}95}{1\,000}} = 1{,}96 \cdot \sqrt{0{,}0000475} = 1{,}96 \cdot 0{,}006892 = 0{,}0135$

Svar a): $2{,}8$ prosentpoeng for det store partiet og $1{,}4$
prosentpoeng for det vesle.

b) $28{,}0 \pm 2{,}8 \quad \Rightarrow \quad 25{,}2\ \% \text{ til } 30{,}8\ \%$

$5{,}0 \pm 1{,}4 \quad \Rightarrow \quad 3{,}6\ \% \text{ til } 6{,}4\ \%$

Svar b): $[25{,}2\ \%;\ 30{,}8\ \%]$ og $[3{,}6\ \%;\ 6{,}4\ \%]$ .

c) Fordi produktet $\hat{p}(1-\hat{p})$ er størst i midten og minst mot
ytterkantane:

$0{,}28 \cdot 0{,}72 = 0{,}2016 \qquad \text{mot} \qquad 0{,}05 \cdot 0{,}95 = 0{,}0475$

Er nesten alle einige om noko, sprikjer svara lite, og då sprikjer også anslaget
lite.

Svar c): Fordi variasjonen i svara er minst når andelen er nær $0$ eller
nær $1$ .

NB: Tommelfingerregelen $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 0{,}032$ , altså $3{,}2$ prosentpoeng, er
altfor varsam for det vesle partiet, der den ekte marginen er $1{,}4$ . For
små parti betyr det mykje: skilnaden mellom $3{,}6$ og $6{,}4$ prosent er
skilnaden på under og over sperregrensa.

📝Oppgave 3

Del 2 (digitale verktøy). Ei måling med

n = 950

gav

Parti	A	B	C	D
Oppslutnad	27,1 %	19,8 %	8,9 %	4,1 %

Rekn ut feilmarginen for kvart parti med =1,96*ROT(B1*(1-B1)/950).

Oppgi eit intervall for kvart parti.

Sperregrensa for utjamningsmandat er $4{,}0\ \%$ . Kva kan vi seie om parti D?

Kvifor har partia ulik feilmargin i den same målinga?

Kva for feilkjelder dekkjer ikkje desse marginane?

Løs oppgaven

NB: Kva feilmarginen ikkje dekkjer

Ein oppgitt feilmargin byggjer på at

1. utvalet er eit sannsynsutval,
2. alle dei trekte har svart,
3. spørsmålet måler det vi trur, og
4. svara er rett registrerte.

I røynda sviktar punkt 2 alltid, og ofte punkt 1 og 3 òg.

Feilmarginen svarer difor berre på eitt spørsmål: kor mykje ville talet
variert om vi trekte eit nytt utval på same måte? Han seier ingenting om
korvidt metoden peikar rett veg.

Eit tal med liten feilmargin kan vere heilt feil. Feilmarginen måler
presisjon, ikkje treffsikkerheit.

📝Oppgave 4

Del 1 (utan hjelpemiddel). To målingar av det same partiet, kvar med

n = 950

Månad	Oppslutnad
Førre månad	27,1 %
Denne månaden	29,8 %

Feilmarginen for kvar einskild måling er omtrent

2{,}9

prosentpoeng, og
feilmarginen for endringa er omtrent

4{,}1

prosentpoeng.

Kor stor er endringa i prosentpoeng?

Er endringa større enn feilmarginen for endringa?

Kvifor er feilmarginen for endringa større enn for kvar einskild måling?

Ei avis skriv: «Partiet i solid framgang.» Vurder overskrifta.

Kva ville gjort deg tryggare på at framgangen er reell?

Løs oppgaven

✏️Døme 4 – Kor stort utval trengst?

Eit byrå skal planleggje ei måling.

a) Kor stor må $n$ vere for at feilmarginen skal bli høgst $3$ prosentpoeng
i verste tilfelle?

b) Kva om kravet er $2$ prosentpoeng?

c) Byrået veit at andelen dei er ute etter, ligg rundt $10\ \%$ . Korleis
endrar det svaret i a)?

a) Verste tilfelle er

\hat{p} = 0{,}5

, der

\hat{p}(1-\hat{p}) = 0{,}25

.
Vi set feilmarginen lik kravet:

$1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}25}{n}} = 0{,}03$

$\sqrt{\frac{0{,}25}{n}} = \frac{0{,}03}{1{,}96} = 0{,}015306$

Vi kvadrerer begge sider:

$\frac{0{,}25}{n} = 0{,}015306^2 = 0{,}00023428$

$n = \frac{0{,}25}{0{,}00023428} = 1\,067{,}1$

Svar a): $n = 1\,068$ — vi rundar opp, sidan $1\,067$ ville gitt ein
litt for stor margin.

(No ser du kvifor så mange målingar har rundt $1\,000$ svar.)

b) Same rekning med $0{,}02$ :

$n = \frac{1{,}96^2 \cdot 0{,}25}{0{,}02^2} = \frac{0{,}9604}{0{,}0004} = 2\,401$

Svar b): $n = 2\,401$ — meir enn dobbelt så mange for eitt prosentpoeng
betre margin.

c) Med $\hat{p} = 0{,}10$ er $\hat{p}(1-\hat{p}) = 0{,}10 \cdot 0{,}90 = 0{,}09$ i staden for $0{,}25$ :

$n = \frac{1{,}96^2 \cdot 0{,}09}{0{,}03^2} = \frac{0{,}345744}{0{,}0009} = 384{,}2$

Svar c): $n = 385$ held — litt over ein tredel av $1\,068$ (ein
tredel er $356$ ). Forholdet er $\displaystyle \frac{0{,}09}{0{,}25} = 0{,}36$ , altså
$385 \approx 0{,}36 \cdot 1\,068$ .

Her ser vi at kunnskap om kvar svaret omtrent ligg, er verd pengar. Veit
vi ingenting, må vi rekne med $0{,}25$ og betale for det største utvalet.

Andre moglegheiter: Skal fleire spørsmål med ulike andelar svarast på i same
undersøking, blir $n$ dimensjonert etter det spørsmålet der andelen ligg
nærast $50\ \%$ .

📝Oppgave 5

Del 2 (digitale verktøy). Eit byrå skal dimensjonere ei undersøking.
Formelen for nødvendig utvalsstorleik er

$n = \frac{1{,}96^2 \cdot \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}$

der $E$ er den ønskte feilmarginen.

Finn $n$ for $E = 0{,}03$ når $\hat{p} = 0{,}5$ .

Finn $n$ for $E = 0{,}01$ når $\hat{p} = 0{,}5$ .

Samanlikn a) og b). Kor mange gonger større er utvalet, og kor mange gonger betre er marginen?

Undersøkinga skal òg brytast ned på fem aldersgrupper med $E = 0{,}05$ i kvar. Kor mange trengst då til saman?

Byrået reknar med $70\ \%$ fråfall. Kor mange må inviterast for å få $1\,925$ svar, og kva er problemet med å løyse fråfall på denne måten?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

UndersøkelsesoppgaveDenne oppgaven krever at du undersøker kilder utenfor læreboka

Drøftingsoppgåve. Finn ei undersøking som er omtalt i ei nyheitssak, og
vurder henne.

Kva for nokre av desse opplysningane finn du: $n$ , svarprosent, utvalsmetode, ordlyden i spørsmålet, kven som har betalt, og når ho vart gjennomført?

Er utvalet eit sannsynsutval? Korleis veit du det?

Rekn ut feilmarginen for hovudtalet, og samanlikn med den oppgitte.

Kva for ei av dei fire feilkjeldene trur du er størst her, og kvifor?

Skriv om hovudsetninga i nyheitssaka slik at ho er dekkjande.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

Omgrep	Innhald
Tilfeldig feil	Varierer frå utval til utval, minkar med $\sqrt{n}$ , kan reknast ut
Systematisk feil	Peikar alltid same veg, uendra av større $n$ , kan ikkje reknast ut
Dekningsfeil	Utvalsramma manglar delar av populasjonen
Fråfall	Dei trekte som ikkje svarte — den største feilkjelda i dag
Målefeil	Spørsmålet måler noko anna enn det vi trur
Feilmargin	$\hat{p} \pm 1{,}96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
Nødvendig $n$	$n = \dfrac{1{,}96^2 \cdot \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}$

Hugs

- Feilmarginen dekkjer berre den tilfeldige variasjonen.
- Sjå etter svarprosenten før du ser på feilmarginen.
- Den moglege skeivskapen frå fråfallet er like stor som fråfallet sjølv.
- Marginen er størst når

\hat{p}

er nær

50\ \%

, minst nær

0

100

.
- Ordlyden er ein del av resultatet og skal oppgivast.
- Eit presist tal kan vere eit gale tal.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.