3.2 Utvalsmetodar

$$\frac{n}{N} = \frac{25}{450} = 0{,}0555\ldots \approx 5{,}6\ \%$$

Svar a): Omtrent $5{,}6\ \%$ — og like stort for alle $450$.

b) Legg elevnummera $1$ til $450$ i kolonne A, rad $2$ til
$451$.

Skriv =SLUMP() i celle $B2$ og kopier ned til $B451$. Kvar celle
får no eit tilfeldig desimaltal mellom $0$ og $1$.

Marker $A2:B451$ og sorter stigande på kolonne B.

Ta dei $25$ øvste radene. Dei er utvalet.

Ei slik trekking gav elevnummera

$$3,\ 67,\ 74,\ 107,\ 110,\ 122,\ 134,\ 159,\ 169,\ 191,\ 247,\ 267,\ 279,$$
$$282,\ 285,\ 316,\ 333,\ 336,\ 342,\ 386,\ 388,\ 415,\ 423,\ 436,\ 446$$

(Køyrer du det same hos deg, får du andre nummer. SLUMP() reknar dessutan om
kvar gong arket blir endra, så kopier resultatet og lim det inn som verdiar før du
går vidare.)

Svar b): Nummerer alle, gi kvar eit tilfeldig tal, sorter, og ta dei $25$
øvste.

c) Fordi «representativ etter skjønn» ikkje er eit kjent sannsyn.

Lærarane ville — heilt utan å ville det — valt elevar dei kjenner, elevar som
pleier å svare, elevar som er til stades den dagen. Utvalet ville sett rimeleg
ut og likevel vore systematisk skeivt, og vi ville ikkje hatt nokon måte å rekne
ut kor skeivt.

Med tilfeldig trekking veit vi at anslaget i gjennomsnitt treffer rett, og vi
kan rekne ut kor mykje det typisk bommar.

Svar c): Fordi berre tilfeldig trekking gir kjende trekksannsyn — og
utan dei kan verken skeivskapen unngåast eller uvissa reknast ut.

Svar a): Kvar $18$. elev.

b) Startpunktet blir trekt blant tala $1$ til $18$. Her vart det $7$, og vi
legg til $18$ om gongen:

$$7,\ 25,\ 43,\ 61,\ 79,\ 97,\ 115,\ 133,\ 151,\ 169,\ 187,\ 205,\ 223,$$
$$241,\ 259,\ 277,\ 295,\ 313,\ 331,\ 349,\ 367,\ 385,\ 403,\ 421,\ 439$$

Det siste nummeret er $439$, som er innanfor $450$. Vi har $25$ nummer.

Svar b): Elev $7, 25, 43, \ldots, 439$.

c) Her er $k = 18$, og kvar klasse har nøyaktig $18$ elevar. Då treffer vi
same plass i kvar klasse kvar einaste gong — elev nummer $7$ på kvar einaste
klasseliste.

Er listene alfabetiske, betyr det at vi alltid vel den sjuande eleven
alfabetisk. Er dei sorterte etter karakter, plukkar vi same karakternivå frå
alle klassane. Utvalet er ikkje lenger tilfeldig med omsyn til det lista er
sortert etter.

Svar c): Perioden i lista ($18$) er lik $k$, så utvalet treffer same
posisjon i kvar gruppe.

Slik løyser vi det: Stokk om lista først, eller vel ein $k$ som ikkje passar
med perioden. Her kunne vi trekt $24$ elevar med $k = 18{,}75$ og runda av
kvar gong — eller enklare: sortert lista tilfeldig med SLUMP() før vi
byrja, og då er vi i praksis tilbake til eit enkelt tilfeldig utval.

$$N = 168 + 150 + 132 = 450$$

Så reknar vi eitt trinn om gongen, med formelen tom og deretter med tal.

$$n_h = \frac{N_h}{N} \cdot n$$

Åttande trinn:

$$n_1 = \frac{168}{450} \cdot 60 = 0{,}3733 \cdot 60 = 22{,}4 \approx 22$$

Niande trinn:

$$n_2 = \frac{150}{450} \cdot 60 = 0{,}3333 \cdot 60 = 20{,}0 = 20$$

Tiande trinn:

$$n_3 = \frac{132}{450} \cdot 60 = 0{,}2933 \cdot 60 = 17{,}6 \approx 18$$

Kontroll: $22 + 20 + 18 = 60$. Det stemmer.

Svar a): $22$ frå 8. trinn, $20$ frå 9. trinn og $18$ frå 10. trinn.

(Avrundinga må sjekkast kvar gong. Blir summen $59$ eller $61$, justerer vi
det stratumet der avrundinga var nærast ein halv.)

b) Vi reknar delen som blir trekt i kvart trinn:

$$\frac{22}{168} = 0{,}1310 = 13{,}1\ \%$$

$$\frac{20}{150} = 0{,}1333 = 13{,}3\ \%$$

$$\frac{18}{132} = 0{,}1364 = 13{,}6\ \%$$

Svar b): Omtrent $13\ \%$ i alle tre — praktisk talt likt
trekksannsyn, slik proporsjonal allokering skal gi. (Dei små skilnadene
kjem berre av avrundinga.)

c) Med $20$ frå kvart trinn blir delane

$$\frac{20}{168} = 11{,}9\ \%, \qquad \frac{20}{150} = 13{,}3\ \%, \qquad \frac{20}{132} = 15{,}2\ \%$$

Ein elev på 10. trinn har altså nesten $30\ \%$ høgare sjanse for å bli med enn
ein på 8. trinn.

Proporsjonal allokering speglar populasjonen; lik allokering gjer det ikkje. Trekksannsynet blir då ulikt — 11,9 % på 8. trinn mot 15,2 % på 10. trinn — og utvalet må vektast før det kan seie noko om heile skulen.

Svar c): 10. trinn blir overrepresentert i utvalet. Skal tala likevel
brukast samla, må kvart trinn vektast med sin rette del av populasjonen — og
gjer ein ikkje det, dreg svara frå 10. trinn for mykje.

Andre moglegheiter: Lik allokering er rett val når kvart trinn skal ha
sitt eige resultat med omtrent lik presisjon. Då er poenget ikkje eitt
samla tal, men tre samanliknbare.

Svar a): $75$ elevar — like mange som i eit enkelt tilfeldig utval på $75$.

b) Fordi vi berre må oppsøkje tre stader i staden for $75$.

Ved eit enkelt tilfeldig utval ville dei $75$ elevane vore spreidde på alle $18$
klassane. Undersøkinga måtte då avtalast med $18$ lærarar, gjennomførast i $18$
timar, og elevane måtte hentast ut av undervisninga éin og éin.

Med klyngeutval tek vi tre klassar i tre skuletimar.

Svar b): Talet på stader å oppsøkje er det som kostar, ikkje talet på
einingar.

c) Tala seier kor mykje anslaget sprikjer frå gong til gong.

Ved enkelt tilfeldig utval sprikjer anslaga med $0{,}051$; ved klyngeutval
med $0{,}112$ — altså meir enn dobbelt så mykje, med nøyaktig same $n = 75$.

Forholdet mellom kvadrata er

$$\frac{0{,}112^2}{0{,}051^2} \approx 4{,}8$$

Det betyr at klyngeutvalet på $75$ elevar gir omtrent like mykje informasjon som
eit enkelt tilfeldig utval på

$$\frac{75}{4{,}8} \approx 16 \text{ elevar}$$

Svar c): Klyngeutvalet er mykje mindre presist. Dei $75$ elevane tel i
praksis som rundt $16$.

Her ser vi at «$n = 75$» ikkje betyr det same i to ulike design.
Klyngeutval må difor vere større enn eit enkelt tilfeldig utval for å gi
same presisjon — og valet står mellom pris og presisjon, ikkje mellom rett og
gale.

Andre moglegheiter: I praksis blir det ofte brukt ein mellomting: trekk mange klynger,
men berre nokre få einingar frå kvar. Det gir mykje av innsparinga og lite av
presisjonstapet.