3.1 Populasjon og utval | Statistikk

Skilnaden på populasjon og utval, og kvifor vi treng utval.

45 min

6 oppgaver

PopulasjonUtval

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Vi kan ikkje spørje alle

Så langt har vi rekna på tal vi hadde. No spør vi kvar tala kjem frå —
og kvifor det avgjer kor mykje dei er verde.

Nesten all statistikk vi møter, byggjer på at nokre få er spurde eller målte, og at
svaret deira blir brukt til å seie noko om mange fleire. Ei meiningsmåling spør omtrent
$1\,000$ personar og seier noko om over fire millionar røysteføre.
Reisevaneundersøkinga spør nokre tusen og seier noko om reisevanane i heile landet.

Det kan høyrast dristig ut. Poenget med dette kapittelet er å vise at det er
forsvarleg — når utvalet er trekt rett — og kvifor det går gale når
det ikkje er det.

Populasjon, eining og utval

n

Parameter og estimat

\mu

Storleik	I populasjonen (parameter)	I utvalet (estimat)
Gjennomsnitt	$\mu$ (my)	$\bar{x}$
Standardavvik	$\sigma$ (sigma)	$s$
Andel	$p$	$\hat{p}$ (p-hatt)

✏️Døme 1 – Frå utval til anslag

Ein kommune har $2\,400$ hushald. Kommunen vil vite kor stor andel som
sorterer matavfall. Dei trekkjer $150$ hushald frå eigedomsregisteret og
spør dei. $96$ svarer at dei sorterer.

a) Kva er populasjonen, eininga, utvalsramma og utvalet?

b) Finn estimatet $\hat{p}$ .

c) Anslå kor mange av dei $2\,400$ hushalda som sorterer.

d) Kva er parameteren i denne undersøkinga, og kjenner vi han?

a) Vi tek omgrepa i tur og orden:

- Populasjon: alle dei $2\,400$ hushalda i kommunen.
- Eining: eitt hushald. (Ikkje éin person — spørsmålet gjeld hushaldet.)
- Utvalsramme: eigedomsregisteret, altså lista dei trekte frå.
- Utval: dei $150$ hushalda som vart trekte. Her er $n = 150$ .

b) Estimatet er andelen i utvalet:

$\hat{p} = \frac{\text{talet som sorterer}}{n} = \frac{96}{150} = 0{,}64$

Svar b): $\hat{p} = 0{,}64$ , altså $64\ \%$ av dei spurde.

c) Vi går ut frå at andelen i populasjonen er omtrent den same som i utvalet,
og gongar opp:

$0{,}64 \cdot 2\,400 = 1\,536$

Svar c): Omtrent $1\,500$ hushald.

(Vi rundar av. Å svare « $1\,536$ hushald» ville gitt inntrykk av ein
nøyaktigheit vi ikkje har — anslaget byggjer på $150$ svar.)

d) Parameteren er $p$ , den sanne andelen blant alle dei $2\,400$
hushalda.

Han kjenner vi ikkje, og vi får han ikkje vite utan å spørje alle. Det vi har,
er eitt anslag på han, rekna ut frå eitt bestemt utval. Hadde kommunen trekt
$150$ andre hushald, ville dei fått eit litt anna tal.

Svar d): Parameteren er $p$ . Han er ukjend, og $\hat{p} = 0{,}64$ er
anslaget vårt på han.

📝Oppgave 1

For kvar situasjon: skildre populasjonen, eininga, utvalsramma og utvalet,
og sei kva som er parameteren.

Ein skule med $450$ elevar spør $60$ tilfeldig valde elevar om dei syklar til skulen.

Eit meieri måler feittinnhaldet i $20$ tilfeldig valde pakkar frå ein produksjon på $50\,000$ pakkar.

Ei avis spør lesarane sine på nettsida kva dei meiner om ein ny bomring. $4\,300$ svarer.

SSB hentar lønsopplysningar for alle lønstakarar i Noreg frå A-ordninga.

Kvifor er det viktig å avgrense populasjonen før dataa blir samla inn?

Utvalsvariasjon

Trekkjer vi to utval frå same populasjon, med nøyaktig same metode, får vi to
litt ulike svar. Ikkje fordi nokon har gjort noko gale, men fordi det er ulike
einingar som hamna i dei to utvala.

Denne variasjonen blir kalla utvalsvariasjon, og han er sjølve grunnen til at
statistikk treng eit mål på uvisse.

To ting er verde å merkje seg med ein gong:

1. Estimata samlar seg rundt parameteren. Dei bommar, men dei bommar ikkje
systematisk i éi retning — så lenge utvalet er trekt tilfeldig.
2. Spreiinga minkar når $n$ veks. Større utval gir svar som ligg
tettare rundt det sanne talet.

✏️Døme 2 – Tjue utval frå den same populasjonen

I ein tenkt populasjon er den sanne andelen

p = 0{,}40

. Vi trekkjer

20

utval
på

n = 100

, og deretter

20

utval på

n = 400

, og reknar ut

\hat{p}

kvar
gong. Resultata er teikna i figuren under.

Dei tjue andelane med $n = 100$ vart

$0{,}45;\ 0{,}38;\ 0{,}34;\ 0{,}43;\ 0{,}38;\ 0{,}37;\ 0{,}53;\ 0{,}37;\ 0{,}38;\ 0{,}37;$
$0{,}38;\ 0{,}46;\ 0{,}45;\ 0{,}41;\ 0{,}36;\ 0{,}40;\ 0{,}40;\ 0{,}48;\ 0{,}36;\ 0{,}37$

a) Kor mykje sprikjer anslaga med $n = 100$ ?

b) Med $n = 400$ vart minste andel $0{,}345$ og største $0{,}4375$ . Samanlikn.

c) Kva seier dette om eitt einskilt meiningsmålingsresultat?

a) Vi finn variasjonsbreidda (kapittel 1.3):

$0{,}53 - 0{,}34 = 0{,}19$

Svar a): Anslaga spenner frå $34\ \%$ til $53\ \%$ — eit spenn på
$19$ prosentpoeng, sjølv om alle kjem frå den same populasjonen med
$p = 0{,}40$ , og sjølv om alle er trekte heilt rett.

Gjennomsnittet av dei tjue anslaga er $0{,}4035$ — altså svært nær den sanne
verdien $0{,}40$ . Metoden bommar ikkje systematisk; det er det einskilde utvalet
som sprikjer.

b) Med $n = 400$ :

$0{,}4375 - 0{,}345 = 0{,}0925$

Svar b): Variasjonsbreidda er omtrent halvert, frå $0{,}19$ til $0{,}09$ .

Her ser vi at ei firedobling av utvalet halverte spreiinga. Det er ikkje
tilfeldig, og vi kjem tilbake til kvifor i døme 3.

c) At eitt einskilt resultat kan liggje eit godt stykke frå sanninga, utan at
nokon har gjort noko gale.

Ser du ei måling der eit parti går fram $2$ prosentpoeng, kan det vere ei reell
endring — eller det kan vere nøyaktig det som skjedde mellom utval nummer $5$
og utval nummer $7$ i figuren, der ingenting hadde endra seg i det heile.

Svar c): Eitt måleresultat er eitt trekk frå ei fordeling av moglege
resultat. Det skal alltid lesast saman med ein feilmargin, og helst saman med
fleire målingar over tid.

📝Oppgave 2

Del 2 (digitale verktøy). I eit rekneark kan du trekkje eit tilfeldig utval
med =TILFELDIGMELLOM(1;100). Lèt vi tala

1

–

55

bety «ja» og

56

–

100

bety «nei», simulerer vi ein populasjon med

p = 0{,}55

Lag $25$ slike celler, og tel kor mange som vart «ja». Rekn ut $\hat{p}$ .

Gjenta ti gonger. Kva er den minste og den største andelen du får?

Gjer det same med $n = 100$ og med $n = 400$ . Kva skjer med variasjonsbreidda?

Rekn ut gjennomsnittet av dei ti andelane for kvar $n$ . Kva ligg dei nær?

Kvifor er ei slik simulering nyttig, når vi jo veit svaret på førehand?

Løs oppgaven

📜Presisjonen veks med

\sqrt{n}

Spreiinga mellom utvala minkar ikkje med

n

, men med

\sqrt{n}

For ein andel er den teoretiske spreiinga

$\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

og for eit gjennomsnitt er ho $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Begge blir grunngitte i
kapittel 5.7 og brukte i kapittel 7.

Tommelfingerregel for feilmargin. Er utvalet tilfeldig trekt, ligg den
sanne andelen med omtrent $95\ \%$ tryggleik innanfor

$\hat{p} \pm \frac{1}{\sqrt{n}}$

Regelen er litt for varsam når andelen er langt frå $50\ \%$ ; den eksakte
formelen kjem i kapittel 3.3.

Konsekvensen er ubehageleg, men viktig: for å halvere feilmarginen må
utvalet firedoblast. Det er difor nesten alle meiningsmålingar har mellom
$600$ og $1\,200$ svar — under det blir marginen for stor, over det blir prisen
høg og vinninga lita.

✏️Døme 3 – Kva kostar presisjon?

Eit analysebyrå vurderer fire utvalsstorleikar.

a) Finn den grove feilmarginen $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}$ for $n = 100$ , $400$ ,
$1\,000$ og $2\,500$ .

b) Kor mykje må utvalet aukast for å gå frå $5$ til $2{,}5$ prosentpoeng?

c) Byrået spør: «Kor mange av dei fire millionar veljarane i landet må vi ha med?»
Kva er svaret?

a) Vi set inn i formelen, eitt tal om gongen:

$n = 100: \quad \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} = 0{,}100 = 10{,}0 \text{ prosentpoeng}$

$n = 400: \quad \frac{1}{\sqrt{400}} = \frac{1}{20} = 0{,}050 = 5{,}0 \text{ prosentpoeng}$

$n = 1\,000: \quad \frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 0{,}0316 \approx 3{,}2 \text{ prosentpoeng}$

$n = 2\,500: \quad \frac{1}{\sqrt{2500}} = \frac{1}{50} = 0{,}020 = 2{,}0 \text{ prosentpoeng}$

Svar a): $10{,}0$ ; $5{,}0$ ; $3{,}2$ og $2{,}0$ prosentpoeng.

b) Vi vil at $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}$ skal bli $0{,}025$ :

$\frac{1}{\sqrt{n}} = 0{,}025$

$\sqrt{n} = \frac{1}{0{,}025} = 40 \qquad \text{(vi byter om brøkane)}$

$n = 40^2 = 1\,600$

Svar b): Frå $400$ til $1\,600$ — utvalet må firedoblast for at marginen
skal halverast.

c) Like mange som i ein liten kommune. Storleiken på populasjonen står ikkje i formelen.

Det som bestemmer presisjonen, er kor mange vi spør, ikkje kor stor
gruppa vi spør om, er. Eit utval på $1\,000$ gir like god presisjon i ein
kommune med $20\,000$ innbyggjarar som i eit land med fire millionar
røysteføre.

Svar c): Det er $n$ , ikkje storleiken på populasjonen, som avgjer presisjonen. $1\,000$ svar gir omtrent
$\pm 3{,}2$ prosentpoeng både i ein kommune og blant fire millionar veljarar, så lenge utvalet er
ein liten del av populasjonen.

NB: Dette overraskar dei fleste. Tenk på ei suppegryte: for å smake om
suppa er passeleg salt, rører du om og tek éi skei. Skeia treng ikkje vere
større fordi gryta er det — men du må røre om, elles smakar du berre på
toppen. Omrøringa er den tilfeldige trekkinga.

📝Oppgave 3

Ein skule med $450$ elevar spurde $60$ tilfeldig trekte elevar om dei syklar til
skulen. $27$ svarte ja.

Finn $\hat{p}$ .

Anslå kor mange av dei $450$ elevane som syklar.

Kor stor del av populasjonen er faktisk spurd?

Finn den grove feilmarginen og oppgi eit intervall for $p$ .

Rektor seier: «Nesten halvparten syklar.» Er utsegna dekkjande?

Løs oppgaven

✏️Døme 4 – Utval eller totalteljing?

Ein kommune med $12\,000$ innbyggjarar vil undersøkje kor nøgde folk er med
renovasjonen. Kvart svar kostar omtrent $180$ kroner å samle inn.

a) Kva kostar ei totalteljing?

b) Kva kostar eit utval på $400$ , og kva feilmargin gir det?

c) Når er totalteljing likevel det rette?

12\,000 \cdot 180 \text{ kr} = 2\,160\,000 \text{ kr}

Svar a): Over to millionar kroner — og då har vi gått ut frå at alle svarer, noko
ingen gjer.

b) $400 \cdot 180 \text{ kr} = 72\,000 \text{ kr}$

Det er $\displaystyle \frac{72\,000}{2\,160\,000} \approx 0{,}033 = 3{,}3\ \%$ av kostnaden ved
ei totalteljing. Feilmarginen blir

$\frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05 = 5 \text{ prosentpoeng}$

Svar b): $72\,000$ kroner og ein margin på omtrent $5$ prosentpoeng.

Her ser vi at $3\ \%$ av pengane gir eit svar som er godt nok til dei fleste
avgjerder. Det er difor utval blir brukte: ikkje fordi dei er betre, men fordi dei
er gode nok til ein brøkdel av prisen — og fordi pengane som blir spart, kan brukast
på å få høg svarprosent i det utvalet ein har.

c) Totalteljing er rett når

- kvar einskild eining skal ha eit resultat: karakterar, skattelikning, val.
Her er ikkje poenget å anslå eit gjennomsnitt, men å avgjere noko for kvar
einskild.
- populasjonen er lita: ein klasse på $28$ elevar treng ikkje utval.
- dataa finst alt: SSB hentar løn frå A-ordninga og folketal frå
folkeregisteret. Då kostar totalteljinga nesten ingenting.
- små undergrupper skal samanliknast: skal tala brytast ned på $30$
bydelar, må kvar bydel ha nok svar for seg. Då veks kravet til $n$ fort.

Svar c): Når kvar eining skal ha sitt eige resultat, når populasjonen er
lita, når dataa alt finst, eller når materialet skal delast i mange små
grupper.

Andre moglegheiter: Ein mellomting er å hente registerdata for alle, og berre
spørje eit utval om det registera ikkje veit. Det er slik mykje offentleg
statistikk blir laga i dag.

📝Oppgave 4

Ein organisasjon med $12\,000$ medlemer skal gjennomføre ei undersøking.
Kvart svar kostar $180$ kroner.

Kva kostar det å spørje $1\,000$ medlemer?

Kva grov feilmargin gir $n = 1\,000$ ?

Kor mykje ville det kosta å kome ned i $1{,}6$ prosentpoeng?

Organisasjonen vil bryte svara ned på seks regionar. Kva nytt krav gir det?

Er det betre å bruke $720\,000$ kroner på $4\,000$ svar enn $180\,000$ på $1\,000$ ?

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Del 2 (digitale verktøy). Ein tenkt populasjon består av

2\,000

hushald med straumforbruk som har

\mu = 16\,000

kWh og

\sigma = 4\,000

kWh.

Trekk tolv utval på $n = 10$ og rekn ut gjennomsnittet i kvart. Kor mykje sprikjer dei?

Gjer det same med $n = 50$ og $n = 200$ .

Samanlikn med den teoretiske spreiinga $\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .

Kor stort må utvalet vere for at gjennomsnitta skal spreie seg med omtrent $200$ kWh?

Kva ville skjedd med desse tala om populasjonen hadde vore $200\,000$ hushald i staden for $2\,000$ ?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

UndersøkelsesoppgaveDenne oppgaven krever at du undersøker kilder utenfor læreboka

Drøftingsoppgåve. Ei nettside skriv: «I undersøkinga vår svarte

18\,000

personar. Dette er den største undersøkinga som er gjord om saka,
og resultatet er difor svært påliteleg.»

Kva er rett i resonnementet?

Kva er gale?

Kva ville du heller hatt: $18\,000$ sjølvrekrutterte svar eller $800$ tilfeldig trekte? Grunngi.

Finn ei formulering nettsida kunne brukt som er dekkjande.

Under kva for forhold kunne ei så stor sjølvrekruttert undersøking likevel vere verdfull?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

Omgrep	Tyding
Populasjon	Alle einingane vi vil seie noko om
Utval	Dei einingane vi faktisk undersøkjer, $n$ i talet
Utvalsramme	Lista vi trekkjer frå — sjeldan heilt lik populasjonen
Parameter	Tal som skildrar populasjonen: $\mu$ , $\sigma$ , $p$
Estimat	Tal rekna ut frå utvalet: $\bar{x}$ , $s$ , $\hat{p}$
Utvalsvariasjon	At estimatet endrar seg frå utval til utval
Feilmargin (grovt)	$\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ for ein andel
Totalteljing	Alle einingane er med — då er talet sjølve parameteren

Hugs

- Parameteren er fast og ukjend. Estimatet blir rekna ut og varierer.
- Utvalsvariasjon er ikkje ein feil; han er ein eigenskap ved å trekkje eit utval.
- Presisjonen veks med

\sqrt{n}

: firedoble utvalet for å halvere
feilmarginen.
- Storleiken på populasjonen betyr nesten ingenting — det er

n

som tel.
- Eit stort utval fjernar tilfeldig variasjon, men aldri systematisk skeivskap.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.