2.3 Lineær regresjon | Statistikk

Minste kvadrats metode, regresjonslinja og bruk av henne til å anslå verdiar.

45 min

6 oppgaver

RegresjonslinjeMinste kvadrats metodePrediksjon

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Frå punktsky til linje

Korrelasjonen $r$ seier kor godt punkta følgjer ei rett linje. Men han seier
ikkje kva linje det er — og det er linja vi treng når vi skal svare på
spørsmål som

- Kor mykje stig bustadprisen per kvadratmeter?
- Kva er ein bruktbil med $100\,000$ kilometer på verd?
- Kor mykje straum bruker barnehagen i ein månad med $8$ grader?

Å finne denne linja blir kalla lineær regresjon. Linja blir kalla
regresjonslinja, og ho blir skriven på den forma du kjenner frå før:

$y = ax + b$

der $a$ er stigingstalet og $b$ konstantleddet.

Minste kvadrats metode

Gjennom ei punktsky kan vi teikne uendeleg mange linjer. Vi treng ein regel som
peikar ut éi.

For kvart datapunkt måler vi kor mykje linja bommar. Den loddrette avstanden frå
punktet ned eller opp til linja blir kalla residualet:

$e_i = y_i - (ax_i + b)$

Er punktet over linja, er residualet positivt; er det under, er det
negativt.

Vi kan ikkje berre leggje saman residuala — dei positive og negative ville
oppheve kvarandre, og ei elendig linje kunne fått summen null. Difor
kvadrerer vi dei først, akkurat som vi gjorde med avvika i
standardavviket (kapittel 1.3):

$S = e_1^2 + e_2^2 + \ldots + e_n^2 = \sum_{i=1}^{n} \bigl(y_i - (ax_i + b)\bigr)^2$

Minste kvadrats metode vel dei $a$ og $b$ som gjer $S$ så liten som
mogleg. Kvadreringa gjer òg at eitt stort bom blir straffa hardare enn to små —
det er ein medviten eigenskap ved metoden, og grunnen til at også
regresjonslinja er kjenslevar for uteliggjarar.

📜Regresjonslinja

For

n

talpar

(x_i, y_i)

er regresjonslinja

y = ax + b

bestemd ved

$a = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$

$b = \bar{y} - a \cdot \bar{x}$

Legg merke til teljaren: han er nøyaktig den same summen som i teljaren for
$r$ (kapittel 2.2). Har du rekna ut $r$ med avvikstabellen, har du alt dei
tala du treng.

To eigenskapar som er verde å kjenne:

1. Regresjonslinja går alltid gjennom punktet $(\bar{x}, \bar{y})$ . Det følgjer
direkte av formelen for $b$ : set vi $x = \bar{x}$ , får vi
$y = a\bar{x} + (\bar{y} - a\bar{x}) = \bar{y}$ .
2. Summen av residuala er alltid $0$ .

NB: Stigingstalet $a$ og korrelasjonen $r$ har alltid same forteikn —
begge arvar forteiknet frå den same teljaren. Men dei er ikkje det same talet:
$a$ har nemning (kroner per kvadratmeter), $r$ har inga.

✏️Døme 1 – Regresjonslinja for hand

Vi bruker butikkane frå kapittel 2.2:

Tilsette $x$	2	4	6	8	10	12	14	16
Omsetnad $y$ (mill. kr)	3	5	4	7	6	9	8	10

a) Finn regresjonslinja.
b) Tolk

a

b

c) Kva anslår modellen for ein butikk med $11$ tilsette?

a) Frå avvikstabellen i kapittel 2.2 har vi alt det vi treng:

$\bar{x} = 9, \qquad \bar{y} = 6{,}5$

$\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = 78, \qquad \sum (x_i-\bar{x})^2 = 168$

Stigingstalet. Formelen tom, så med tal:

$a = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$

$a = \frac{78}{168} = \frac{13}{28} = 0{,}4642\ldots \approx 0{,}464$

Konstantleddet. Formelen tom, så med tal:

$b = \bar{y} - a \cdot \bar{x}$

$b = 6{,}5 - \frac{13}{28} \cdot 9 = \frac{182}{28} - \frac{117}{28} = \frac{65}{28} = 2{,}3214\ldots \approx 2{,}321$

Kontroll. Linja skal gå gjennom $(\bar{x}, \bar{y}) = (9;\ 6{,}5)$ :

$0{,}4643 \cdot 9 + 2{,}3214 = 4{,}1786 + 2{,}3214 = 6{,}5$

Det stemmer.

Svar a): $y = 0{,}464x + 2{,}321$

b) Stigingstalet $a \approx 0{,}464$ : for kvar ekstra tilsett aukar
omsetnaden med omtrent $0{,}46$ millionar kroner, altså $464\,000$ kroner —
i gjennomsnitt, for butikkane i dette materialet.

Konstantleddet $b \approx 2{,}32$ : modellen gir $2{,}32$ millionar kroner
for ein butikk med null tilsette. Det talet skal vi ikkje tolke som noko verkeleg.
Ingen av butikkane har færre enn to tilsette, så $x = 0$ ligg utanfor
materialet; $b$ er først og fremst den høgda linja må ha for å liggje rett i
området $2 \le x \le 16$ .

c) Vi set $x = 11$ inn i modellen:

$y = 0{,}4643 \cdot 11 + 2{,}3214 = 5{,}1071 + 2{,}3214 = 7{,}4286$

Svar c): Modellen anslår omtrent $7{,}4$ millionar kroner.

$x = 11$ ligg mellom dei minste og største $x$ -verdiane i materialet, så dette
er interpolering, og anslaget er rimeleg. Men det er eit anslag om eit
gjennomsnitt: ein konkret butikk med $11$ tilsette kan godt liggje ein million over
eller under, slik dei åtte butikkane i materialet gjer.

📝Oppgave 1

Del 1 (utan hjelpemiddel). Vi bruker dei fem personane frå kapittel 2.2:

Treningsøkter $x$	1	2	3	4	5
Kvilepuls $y$	72	74	70	68	66

Der fann vi

\bar{x} = 3

\bar{y} = 70

\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = -18

\sum (x_i-\bar{x})^2 = 10

Finn stigingstalet $a$ .

Finn konstantleddet $b$ .

Skriv opp regresjonslinja.

Tolk stigingstalet i samanhengen.

Kva gir modellen for ein person med $6$ økter i veka? Er anslaget til å stole på?

Løs oppgaven

Rekneark. Legg

x

i kolonne A og

y

i kolonne B — inntil kvarandre,
slik at begge kan markerast i eitt drag. Merk rekkjefølgja på argumenta:

y

kjem først.

=STIGNINGSTALL(B2:B9;A2:A9)
=SKJÆRINGSPUNKT(B2:B9;A2:A9)
=KORRELASJON(A2:A9;B2:B9)

Legg så ei trendlinje i punktdiagrammet, og huk av for å vise likninga. Då ser
du linja oppå punkta — og det er den kontrollen som avslører om ein lineær
modell i det heile passar.

GeoGebra.

L = {(2, 3), (4, 5), (6, 4), (8, 7), (10, 6), (12, 9), (14, 8), (16, 10)}
RegLin(L)
Korrelasjonskoeffisient({2,4,6,8,10,12,14,16}, {3,5,4,7,6,9,8,10})

RegLin gir linja direkte i grafikkfeltet, teikna oppå punkta.

NB: Verktøya gir mange desimalar. Rund av til to eller tre i svaret, sei at
du har runda av — og rekn vidare med det uavrunda talet om du skal bruke
modellen til noko etterpå.

✏️Døme 2 – Bruktbil: regresjon i rekneark

Åtte bilar av same modell og årgang er til sals. Tabellen viser køyrelengda
og prisen.

Køyrelengd (10 000 km)	2	4	5	7	9	11	13	15
Pris (1000 kr)	290	248	244	198	186	146	138	92

a) Finn regresjonslinja og korrelasjonen med rekneark.
b) Tolk stigingstalet.

c) Kva anslår modellen for ein bil som har gått $100\,000$ km?

a) Køyrelengda i kolonne A, prisen i kolonne B, begge frå rad 2 til rad 9.

=STIGNINGSTALL(B2:B9;A2:A9)     →  -14,360824...
=SKJÆRINGSPUNKT(B2:B9;A2:A9)    →  311,226804...
=KORRELASJON(A2:A9;B2:B9)       →  -0,991178...

Avrunda til tre desimalar:

$y = -14{,}361x + 311{,}227, \qquad r \approx -0{,}991$

Svar a): $y = -14{,}361x + 311{,}227$ med $r \approx -0{,}991$ — ein svært
sterk negativ lineær samanheng.

b) Vi må halde tunga rett i munnen med einingane: $x$ blir målt i
$10\,000$ km og $y$ i $1\,000$ kr.

Stigingstalet $-14{,}361$ betyr at når $x$ aukar med $1$ — altså
$10\,000$ køyrde kilometer — søkk prisen med $14{,}361$ tusen kroner.

Per kilometer blir det

$\frac{14\,361 \text{ kr}}{10\,000 \text{ km}} = 1{,}44 \text{ kr/km}$

Svar b): Bilen fell omtrent $14\,400$ kroner i verdi per
$10\,000$ køyrde kilometer, altså rundt $1{,}44$ kroner per kilometer.

c) $100\,000$ km svarer til $x = 10$ :

$y = -14{,}361 \cdot 10 + 311{,}227 = -143{,}61 + 311{,}227 = 167{,}62$

Svar c): Modellen anslår omtrent $168\,000$ kroner.

$x = 10$ ligg mellom $9$ og $11$ i materialet, så dette er interpolering.
Anslaget er eit gjennomsnitt for slike bilar; den einskilde bilen avheng
òg av stand, utstyr og servicehistorikk.

📝Oppgave 2

Del 2 (digitale verktøy). Ti kommunar har oppgitt kor mange abonnentar
vass- og avløpstenesta har, og kva årsgebyret er.

Abonnentar	1200	1850	2400	3100	3900	4600	5400	6200	7100	8000
Årsgebyr (kr)	6100	5800	5500	5400	5100	4950	4700	4600	4450	4300

Lag eit punktdiagram og finn regresjonslinja. Oppgi $a$ med tre desimalar og $b$ med éin.

Finn korrelasjonen.

Kor mykje lågare blir gebyret per $1000$ nye abonnentar, ifølgje modellen?

Kva anslår modellen for ein kommune med $5000$ abonnentar?

Gi ei rimeleg forklaring på den negative samanhengen.

Løs oppgaven

Interpolering, ekstrapolering og gyldigheitsområde

Modellen er laga av data i eit bestemt område. Å bruke han

- innanfor dette området blir kalla interpolering, og er som regel greitt,
- utanfor blir kalla ekstrapolering, og er alltid ein påstand om noko vi ikkje
har målt.

Ingen data fortel oss kva som skjer utanfor der dataa sluttar. Går vi
langt nok utanfor, bryt modellen saman: prisen på ein bruktbil blir negativ,
eit barn blir to og ein halv meter høgt, ein barnehage får negativt straumforbruk.

Difor skal svaret alltid følgjast av ei vurdering av gyldigheitsområdet: kor
langt vi meiner modellen kan brukast, og kvifor.

✏️Døme 3 – Når modellen bryt saman

Vi bruker bruktbilmodellen $y = -14{,}361x + 311{,}227$ frå døme 2, der
$x$ er køyrelengda i $10\,000$ km og $y$ prisen i $1\,000$ kr.

a) Kva gir modellen for ein bil med $300\,000$ km?

b) Ved kva køyrelengd gir modellen prisen null?

c) Kor langt vil du seie modellen kan brukast?

300\,000

km svarer til

x = 30

$y = -14{,}361 \cdot 30 + 311{,}227 = -430{,}83 + 311{,}227 \approx -119{,}60$

Svar a): Modellen gir $-119{,}6$ tusen kroner, altså at bilen skulle koste
$119\,600$ kroner å bli kvitt. Det er meiningslaust som pris.

b) Vi set $y = 0$ og løyser likninga:

$-14{,}361x + 311{,}227 = 0$

$-14{,}361x = -311{,}227 \qquad \text{(vi trekkjer frå } 311{,}227 \text{ på begge sider)}$

$x = \frac{311{,}227}{14{,}361} \approx 21{,}67$

Svar b): Ved $x \approx 21{,}7$ , altså omtrent $217\,000$ kilometer.

c) Materialet dekkjer $x$ frå $2$ til $15$ , altså $20\,000$ til
$150\,000$ km. Innanfor dette området er anslaga interpolering, og modellen
er god ( $r = -0{,}991$ ).

Utanfor må vi vere varsame. Modellen kunne i beste fall vore gyldig til
$x \approx 21{,}7$ , der prisen blir null — lenger kan han umogleg brukast, sidan
svaret då skiftar forteikn. Men han ryk truleg lenge før: ein bruktbil fell
ikkje like mange kroner i verdi for kvar mil heile livet. Dei første
$10\,000$ kilometerane kostar mest, og mot slutten flatar kurva ut mot ein
låg, men positiv restverdi. Sjølve føresetnaden om konstant verdifall er
feilen som slår sterkast inn nær grensa.

Regresjonslinja forlengd utanfor materialet. Innanfor det grøne feltet er anslaga interpolering; utanfor hamnar linja til slutt under null, og ein negativ pris viser at modellen har brote saman.

Svar c): Modellen bør brukast i området $20\,000$ – $150\,000$ km, og med
atterhald litt utanfor. Han kunne i beste fall vore gyldig til rundt
$217\,000$ km, men er i praksis ubrukeleg lenge før det.

Andre moglegheiter: Skal heile levetida til bilen modellerast, passar ein
eksponentiell modell betre — då fell prisen med ein fast prosent per
$10\,000$ km i staden for eit fast kronebeløp, og modellen nærmar seg null
utan å krysse.

📝Oppgave 3

Del 1 (utan hjelpemiddel). Ein kommune har laga modellen

$y = 4{,}2x + 38$

for talet på offentlege ladepunkt for elbil, der $x$ er talet på år etter 2015.
Modellen er laga av tal frå 2015 til 2025.

Kor mange ladepunkt hadde kommunen i 2015 ifølgje modellen?

Kva gir modellen for 2023?

Tolk stigingstalet.

Når passerer modellen $100$ ladepunkt?

Kvifor bør svaret i d) lesast med atterhald?

Løs oppgaven

Forklaringsgraden $r^2$ . Kvadratet av korrelasjonen blir ofte brukt som eit mål
på kor godt modellen passar. For butikkane i døme 1 er

$r^2 = 0{,}9286^2 \approx 0{,}862$

Tolkinga er at omtrent $86\ \%$ av variasjonen i omsetnad kan knytast til
variasjonen i talet på tilsette gjennom den lineære modellen. Dei resterande
$14\ \%$ kjem av alt anna — og eventuelle tilfeldigheiter.

$r^2$ er alltid eit tal mellom $0$ og $1$ , og har same svakheit som $r$ : ein
høg $r^2$ betyr ikkje at modellen er rett, berre at den rette linja treffer
godt. Sjå på residuala òg.

✏️Døme 4 – Residual avslører feil modellform

Modellen $y = 0{,}464x + 2{,}321$ frå døme 1 skal vurderast.

a) Rekn ut residuala for dei tre butikkane med $6$ , $8$ og $12$ tilsette.

b) Kva seier forteikna til alle dei åtte residuala?

a) Residualet er observert verdi minus modellverdi:

$e = y - (ax + b)$

$x = 6$ , observert $y = 4$ :

$0{,}4643 \cdot 6 + 2{,}3214 \approx 2{,}7857 + 2{,}3214 = 5{,}1071$

$e = 4 - 5{,}1071 = -1{,}1071$

$x = 8$ , observert $y = 7$ :

$0{,}4643 \cdot 8 + 2{,}3214 \approx 3{,}7143 + 2{,}3214 = 6{,}0357$

$e = 7 - 6{,}0357 = 0{,}9643$

$x = 12$ , observert $y = 9$ :

$0{,}4643 \cdot 12 + 2{,}3214 \approx 5{,}5714 + 2{,}3214 \approx 7{,}8929$

$e = 9 - 7{,}8929 = 1{,}1071$

Svar a): $-1{,}11$ , $0{,}96$ og $1{,}11$ millionar kroner. Butikken med $6$
tilsette omset altså $1{,}11$ millionar mindre enn modellen ventar, dei to
andre meir.

b) Alle dei åtte residuala er

$-0{,}25;\quad 0{,}82;\quad -1{,}11;\quad 0{,}96;\quad -0{,}96;\quad 1{,}11;\quad -0{,}82;\quad 0{,}25$

Tre mønster å kjenne att: A viser at ein lineær modell passar, B ein krum samanheng og C ulik spreiing. A er dei åtte residuala frå døme 4 b); dei to andre er mønstera teksten skildrar i ord. Eit mønster i residuala er eit varsel — også når r er høg.

Svar b): Forteikna vekslar pent — minus, pluss, minus, pluss — og summen
er $0$ , slik teorien seier. Det er ikkje noko mønster der alle residuala først
er negative og så positive, slik vi ville sett om den sanne samanhengen var
krum.

Slik les du kritisk: Eit mønster i residuala er eit varsel. Ligg dei
først under, så over, så under igjen, bøyer den verkelege samanhengen — og ei
rett linje er feil modellform, same kor høg $r$ er. Veks residuala
jamt i storleik mot høgre, er spreiinga ulik i ulike delar av materialet,
og anslag i den høgre enden er meir usikre enn i den venstre.

📝Oppgave 4

Ein modell er laga av desse seks talpara:

$x$	1	2	3	4	5	6
$y$	12	15	21	22	27	31

Finn regresjonslinja med verktøy. Oppgi $a$ og $b$ med tre desimalar.

Rekn ut residualet for $x = 3$ .

Rekn ut residualet for $x = 4$ .

Finn $r$ og $r^2$ , og vurder kor godt modellen passar.

Kor stor blir summen av alle dei seks residuala? Svar utan å rekne dei ut.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Del 2 (digitale verktøy). Vi bruker barnehagetala frå kapittel 2.1:

Temperatur (°C)	−4,2	−3,5	0,8	4,6	10,2	14,1	16,8	15,4	11,0	5,9	0,4	−2,8
Straum (kWh)	4200	3950	3500	2800	2150	1700	1400	1550	2050	2650	3250	4000

Finn regresjonslinja. Oppgi $a$ med éin desimal og $b$ med éin.

Tolk stigingstalet med eining.

Kva anslår modellen for ein månad med $8{,}0$ °C?

Kva gir modellen for ein månad med $-10$ °C, og kor mykje kan vi stole på det?

Ved kva temperatur gir modellen null straumforbruk, og kva fortel det om gyldigheitsområdet?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

UndersøkelsesoppgaveDenne oppgaven krever at du undersøker kilder utenfor læreboka

Drøftingsoppgåve. To elevar har laga kvar sin modell av det same
materialet. Den eine har sett

x

= talet på tilsette og

y

= omsetnad. Den andre
har bytt om:

x

= omsetnad og

y

= talet på tilsette.

Får dei to same korrelasjon $r$ ?

Får dei same regresjonslinje?

Kva for ei av dei to er den rette?

Ein tredje elev seier: «Sidan $r = 0{,}93$ , kan eg bruke modellen til å anslå omsetnaden for ein butikk med $40$ tilsette.» Vurder.

Kva for fire opplysningar bør alltid følgje med når ein regresjonsmodell blir presentert?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

Omgrep	Formel eller regel
Regresjonslinje	$y = ax + b$
Stigingstal	$a = \dfrac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2}$
Konstantledd	$b = \bar{y} - a \cdot \bar{x}$
Residual	$e_i = y_i - (ax_i + b)$
Minste kvadrats metode	Vel $a$ og $b$ som gjer $\sum e_i^2$ minst
Forklaringsgrad	$r^2$ , mellom $0$ og $1$
Rekneark	`=STIGNINGSTALL(B2:B9;A2:A9)`, `=SKJÆRINGSPUNKT(B2:B9;A2:A9)`
GeoGebra	`RegLin(L)`

Framgangsmåte

1. Teikn spreiingsplottet og sjå om forma er lineær.
2. Finn

a

b

— for hand frå avvikstabellen, eller med verktøy.
3. Kontroller at linja går gjennom

(\bar{x}, \bar{y})

.
4. Tolk

a

med eining, og vurder om

b

i det heile betyr noko.
5. Sei om eit anslag er interpolering eller ekstrapolering, og oppgi
gyldigheitsområdet.

Hugs

a

r

har alltid same forteikn, men er ikkje det same talet.

- Summen av residuala er alltid $0$ ; det er summen av kvadrata som
blir gjord minst.
- Konstantleddet $b$ er sjeldan meiningsfullt i seg sjølv når $x = 0$ ligg
utanfor materialet.
- Byter du om $x$ og $y$ , blir linja endra — men ikkje $r$ .
- Ein modell er ein modell, ikkje ein spådom.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.