2.2 Korrelasjonskoeffisienten | Statistikk

Pearsons r: utrekning, tolking og fallgruver.

45 min

6 oppgaver

KorrelasjonskoeffisientPearsons r

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Frå skjønn til tal

I kapittel 2.1 las vi spreiingsplott med auga og sa «sterk», «moderat» og
«svak». No skal vi rekne ut talet som seier det same — Pearsons
korrelasjonskoeffisient $r$ — og sjå kvar det kjem frå.

Tanken bak $r$ er enkel, og han er verd å forstå før formelen kjem: vi ser
ikkje på kor store $x$ og $y$ er, men på kor langt frå sitt eige gjennomsnitt
kvar av dei ligg.

Ideen: avvik gonga med avvik

Teikn to hjelpelinjer i spreiingsplottet: ei loddrett linje ved $\bar{x}$ og ei
vassrett linje ved $\bar{y}$ . Dei deler figuren i fire felt.

For kvart punkt reknar vi ut dei to avvika $x_i - \bar{x}$ og $y_i - \bar{y}$ ,
og gongar dei saman. Forteiknet på produktet fortel kva felt punktet
ligg i:

Punktet ligg	$x_i - \bar{x}$	$y_i - \bar{y}$	Produktet
oppe til høgre	$+$	$+$	$+$
nede til venstre	$-$	$-$	$+$
oppe til venstre	$-$	$+$	$-$
nede til høgre	$+$	$-$	$-$

Her ser vi at punkt som «følgjer» ein stigande samanheng — begge verdiane
over snittet, eller begge under — gir positive produkt. Punkt som går
motsett veg, gir negative.
Summerer vi alle produkta, får vi eit tal som er stort og positivt når
punkta stig, stort og negativt når dei fell, og nær null når felta

opphevar kvarandre.
Eitt problem står att: summen veks både med talet på punkt og med
måleeiningane. Byter vi kroner mot tusen kroner, blir summen tusen gonger

mindre — utan at figuren har endra form. Difor deler vi summen på noko som
veks like fort, og då står vi att med eit reint tal mellom $-1$ og $1$ .

📜Korrelasjonskoeffisienten

r

For

n

talpar

(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)

$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum (y_i - \bar{y})^2}}$

Teljaren er summen av produkta frå førre avsnitt — han bestemmer
forteiknet.

Nemnaren er så stor som teljaren i det heile kan bli. Difor er

$-1 \le r \le 1$

alltid oppfylt, og $r = \pm 1$ berre når alle punkta ligg nøyaktig på éi rett
linje.

Same formel, skriven med standardavvik. Deler vi både over og under
brøkstreken på $n - 1$ , får vi

$r = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}$

der $s_x$ og $s_y$ er utvalsstandardavvika frå kapittel 1.3, og
$\displaystyle s_{xy} = \frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ blir kalla
kovariansen.

NB: Faktoren $n - 1$ står både over og under brøkstreken og blir forkorta bort.
Difor speler det inga rolle for $r$ om vi reknar med $\sigma$ (deler på $n$ )
eller med $s$ (deler på $n - 1$ ) — $r$ blir det same talet.

✏️Døme 1 –

r

for hand, med avvikstabell

Ei kjede har åtte butikkar. Tabellen viser talet på tilsette og omsetnaden i fjor.

Tilsette $x$	2	4	6	8	10	12	14	16
Omsetnad $y$ (mill. kr)	3	5	4	7	6	9	8	10

Rekn ut korrelasjonskoeffisienten for hand.

Gjennomsnitta. Alt i formelen blir målt frå gjennomsnitta, så dei
må vi ha først.

$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16}{8} = \frac{72}{8} = 9$

$\bar{y} = \frac{3 + 5 + 4 + 7 + 6 + 9 + 8 + 10}{8} = \frac{52}{8} = 6{,}5$

Vi deler på $8$ fordi det er $8$ butikkar.

Avvikstabellen. Éi rad per butikk, og vi fyller kolonne for
kolonne. Tre nye kolonnar: produktet, og dei to kvadrata.

$x_i$	$y_i$	$x_i - \bar{x}$	$y_i - \bar{y}$	$(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$	$(x_i-\bar{x})^2$	$(y_i-\bar{y})^2$
2	3	$-7$	$-3{,}5$	$24{,}5$	$49$	$12{,}25$
4	5	$-5$	$-1{,}5$	$7{,}5$	$25$	$2{,}25$
6	4	$-3$	$-2{,}5$	$7{,}5$	$9$	$6{,}25$
8	7	$-1$	$0{,}5$	$-0{,}5$	$1$	$0{,}25$
10	6	$1$	$-0{,}5$	$-0{,}5$	$1$	$0{,}25$
12	9	$3$	$2{,}5$	$7{,}5$	$9$	$6{,}25$
14	8	$5$	$1{,}5$	$7{,}5$	$25$	$2{,}25$
16	10	$7$	$3{,}5$	$24{,}5$	$49$	$12{,}25$
Sum	0	0	78	168	42

(Kontroll som har eit poeng: dei to avvikskolonnane skal begge summere til $0$ .
Gjer dei ikkje det, er gjennomsnittet eller eit avvik rekna feil — og då er det
ingen vits i å gå vidare.)
Legg merke til dei to radene med negativt produkt: butikkane med

8

10

tilsette er dei to punkta som ligg i minus-felta i figuren over.
Set inn i formelen. Først formelen tom:

r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum (y_i - \bar{y})^2}}

Så med tala frå sumrada:

r = \frac{78}{\sqrt{168 \cdot 42}} = \frac{78}{\sqrt{7056}} = \frac{78}{84}

r = \frac{78}{84} = \frac{13}{14} = 0{,}9285\ldots \approx 0{,}929

Svar: $r \approx 0{,}929$ . Det er ein sterk positiv lineær samanheng mellom
talet på tilsette og omsetnad.
Tolking: Butikkar med fleire tilsette omset for meir — men ikkje heilt

regelmessig. To av dei åtte butikkane bryt mønsteret (den med $8$ tilsette
omset meir enn den med $10$ ), og det er nettopp difor $r$ ikkje er $1$ .

NB: Det er uvanleg at $\sqrt{168 \cdot 42}$ går opp i eit heilt tal. Gjer

det ikkje det, reknar vi berre vidare med desimalar — svaret skal uansett rundast

av til to eller tre desimalar.

📝Oppgave 1

Del 1 (utan hjelpemiddel). Fem personar har oppgitt kor mange
treningsøkter dei har i veka, og kvilepulsen sin.

Treningsøkter $x$	1	2	3	4	5
Kvilepuls $y$	72	74	70	68	66

Finn $\bar{x}$ og $\bar{y}$ .

Set opp avvikstabellen og finn $\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ .

Finn $\sum (x_i-\bar{x})^2$ og $\sum (y_i-\bar{y})^2$ .

Rekn ut $r$ .

Tolk svaret. Kan vi seie at trening senkar kvilepulsen?

Løs oppgaven

✏️Døme 2 – Kovarians, standardavvik og måleeining

Vi bruker butikktala frå døme 1, der vi fann

$\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = 78, \qquad \sum (x_i-\bar{x})^2 = 168, \qquad \sum (y_i-\bar{y})^2 = 42$

a) Finn kovariansen $s_{xy}$ og standardavvika $s_x$ og $s_y$ , og vis at
$r = \dfrac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}$ gir det same svaret som før.

b) Omsetnaden blir ført om frå millionar kroner til kroner. Kva skjer med
$s_{xy}$ , og kva skjer med $r$ ?

a) Alle tre storleikane blir delte på

n - 1 = 7

, sidan dei åtte butikkane er eit
utval (kapittel 1.3).

Kovariansen — formelen tom, så med tal:

$s_{xy} = \frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = \frac{78}{7} = 11{,}142\ldots$

Standardavvika:

$s_x = \sqrt{\frac{168}{7}} = \sqrt{24} = 4{,}898\ldots$

$s_y = \sqrt{\frac{42}{7}} = \sqrt{6} = 2{,}449\ldots$

Produktet av dei to blir eit heilt tal, fordi $24 \cdot 6 = 144$ :

$s_x \cdot s_y = \sqrt{24} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{144} = 12$

No set vi inn:

$r = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y} = \frac{78/7}{12} = \frac{78}{84} = 0{,}9285\ldots \approx 0{,}929$

Svar a): $\displaystyle s_{xy} = \frac{78}{7} \approx 11{,}14$ , $s_x = \sqrt{24} \approx 4{,}90$ og $s_y = \sqrt{6} \approx 2{,}45$ — og $r \approx 0{,}929$ ,
nøyaktig som i døme 1.

b) Éin million kroner er $1\,000\,000$ kroner, så kvar $y$ -verdi blir gonga med
$10^6$ . Då blir kvart avvik $y_i - \bar{y}$ gonga med $10^6$ òg.

Kovariansen inneheld avviket éin gong, så han blir gonga med $10^6$ :

$s_{xy} = 11{,}142\ldots \cdot 10^6 \approx 11\,142\,857$

Standardavviket $s_y$ inneheld avviket éin gong under rotteiknet etter
kvadreringa, så også det blir gonga med $10^6$ :

$s_y = 2{,}449\ldots \cdot 10^6$

$s_x$ er uendra — vi har ikkje rørt talet på tilsette.

Korrelasjonen har $10^6$ både i teljaren og i nemnaren:

$r = \frac{11{,}142\ldots \cdot 10^6}{4{,}898\ldots \cdot 2{,}449\ldots \cdot 10^6} = \frac{11{,}142\ldots}{12} \approx 0{,}929$

Svar b): Kovariansen blir ein million gonger større, medan $r$ er nøyaktig
det same.

Her ser vi at kovariansen ikkje kan brukast til å samanlikne to ulike
materiale — han avheng av kva eining vi måler i. Det er nettopp difor vi
deler på $s_x \cdot s_y$ : divisjonen gjer talet einingslaust, og dermed
samanliknbart.

Rekneark. Legg

x

i kolonne A og

y

i kolonne B, og skriv i ei ledig celle:

=KORRELASJON(A2:A9;B2:B9)

For butikkane i døme 1 svarer reknearket $0{,}9285714\ldots$ — nøyaktig
det same som handrekninga.

GeoGebra.

L1 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
L2 = {3, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 10}
Korrelasjonskoeffisient(L1, L2)

Kalkulator. Dei fleste kalkulatorar med statistikkmodus har $r$ under
regresjon; slå opp i bruksrettleiinga kva tastar som gjeld for din.

På eksamen er reknearket hovudverktøyet i Del 2. Rekn likevel eitt døme for
hand no og då — det er utrekninga som forklarer kva talet betyr.

📝Oppgave 2

Vurder kvar av påstandane. Er dei rette? Grunngi.

« $r = 0{,}62$ betyr at $62\ \%$ av punkta ligg på linja.»

« $r = -0{,}95$ er ein svakare samanheng enn $r = 0{,}80$ , sidan $-0{,}95 < 0{,}80$ .»

« $r$ endrar seg om vi byter om kva som står på førsteaksen og andreaksen.»

« $r = 1{,}2$ betyr ein ekstra sterk samanheng.»

«Er $r$ nær $0$ , finst det ingen samanheng mellom variablane.»

NB: Fire ting

r

ikkje seier

1. $r$ seier ikkje kor bratt linja er. To materiale kan begge ha $r = 1$ og
likevel ha heilt ulike stigingstal. $r$ måler kor godt punkta følgjer
linja, ikkje kor mykje $y$ endrar seg.
2. $r$ seier ikkje om forma er rett. Ein perfekt boge kan gi $r = 0$ .
3. $r$ toler ikkje uteliggjarar. Eitt einskilt punkt langt ute kan dra $r$ frå
nær null til nær éin — eller motsett.
4. $r$ seier ingenting om årsak. Det er tema i kapittel 2.4.

Alle fire fellene har same motgift: sjå på spreiingsplottet.

✏️Døme 3 – Éin uteliggjar snur konklusjonen

Ein nettbutikk har registrert kor mange gonger kvar kunde besøkte nettsida i
løpet av ein månad, og kor mykje kunden handla for.

Besøk	2	3	3	4	4	5	5	6	6	7
Beløp (kr)	520	410	640	350	700	480	610	390	560	450

Så blir ein ellevte kunde lagd inn: ein bedriftskunde med

28

besøk og

3\,100

kroner.

a) Kva er $r$ utan bedriftskunden, og kva er $r$ med?
b) Kva konklusjon ville ein som berre såg på $r$ , trekkje?

c) Kva bør butikken gjere?

a) Vi legg tala i reknearket og bruker =KORRELASJON(...) på dei to
utvala.

Utan bedriftskunden ( $n = 10$ ):

$r = -0{,}1855\ldots \approx -0{,}186$

Med bedriftskunden ( $n = 11$ ):

$r = 0{,}9635\ldots \approx 0{,}964$

Svar a): $r$ går frå $-0{,}186$ til $0{,}964$ når eitt punkt blir lagt til.

b) Ein som berre las talet $0{,}964$ , ville konkludert: «Sterk positiv
samanheng — kundar som besøkjer sida ofte, handlar for mykje meir. Vi bør få folk
til å besøkje sida oftare.»

Ser vi på figuren, held ikkje konklusjonen. Dei ti vanlege kundane viser ingen
samanheng i det heile; punktskya er ein klump. Heile korrelasjonen kjem
frå den eine bedriftskunden, som både besøkjer sida ofte og handlar mykje —
fordi det er ei bedrift, ikkje fordi besøka fører til kjøp.

Svar b): At fleire besøk gir større kjøp — ein konklusjon som byggjer på eitt
einaste punkt.

c) Butikken bør gjere tre ting, i denne rekkjefølgja:

- Sjå på figuren. Då blir uteliggjaren oppdaga med éin gong.
- Finne ut kva punktet er. Er det ein tastefeil, skal det rettast. Er det ein
ekte, men annleis kunde, høyrer han ikkje heime i same materiale.
- Rapportere begge tala om kunden blir halden på: « $r = 0{,}96$ for alle
dei $11$ kundane, men $r = -0{,}19$ for dei $10$ privatkundane.»

Svar c): Skilje bedriftskundar frå privatkundar og analysere gruppene kvar
for seg.

Andre moglegheiter: Uteliggjaren kan òg handterast ved å bruke ein metode som
er robust mot einskildpunkt, eller ved å samle inn fleire bedriftskundar — éi
eining kan uansett aldri bere ein konklusjon åleine.

📝Oppgave 3

Del 2 (digitale verktøy). Tolv kommunar har oppgitt kor stor del av dei vaksne
som har fagbrev, og arbeidsløysa.

Fagbrev (%)	18,2	19,5	20,1	21,4	22,0	22,8	23,5	24,1	25,0	26,2	27,4	28,6
Arbeidsløyse (%)	3,8	3,5	3,6	3,2	3,3	2,9	3,0	2,7	2,6	2,4	2,2	2,0

Lag eit spreiingsplott og finn $r$ . Rund av til tre desimalar.

Skildre samanhengen med ord.

Ein trettande kommune blir lagd til: $34{,}5\ \%$ fagbrev og $4{,}6\ \%$ arbeidsløyse. Kva blir $r$ no?

Forklar kvifor eitt punkt kan endre $r$ så mykje.

Kva ville du gjort med den trettande kommunen?

Løs oppgaven

✏️Døme 4 – Same

r

, ulik røynd

a) To modellar gir talpara

$A: (1;\ 10{,}5),\ (2;\ 11),\ (3;\ 11{,}5),\ (4;\ 12),\ (5;\ 12{,}5)$
$B: (1;\ 15),\ (2;\ 20),\ (3;\ 25),\ (4;\ 30),\ (5;\ 35)$

Finn $r$ i begge og forklar kva det viser.

b) Bustadmaterialet frå kapittel 2.1 hadde $r = 0{,}971$ for alle dei ti bustadene.
Kva blir $r$ om vi berre ser på dei fem bustadene mellom $64$ og
$92\ \text{m}^2$ — altså $(64;\ 3{,}2)$ , $(70;\ 3{,}9)$ , $(78;\ 3{,}8)$ ,
$(85;\ 4{,}5)$ og $(92;\ 4{,}3)$ ?

a) I begge tilfella ligg punkta nøyaktig på ei rett linje: i A aukar

y

med

0{,}5

kvar gong

x

aukar med

1

, i B aukar

y

med

5

$r_A = 1 \qquad \text{og} \qquad r_B = 1$

Svar a): Begge har $r = 1$ , sjølv om linja i B er ti gonger så bratt.

Her ser vi at $r$ måler kor godt punkta følgjer linja, ikkje kor mykje $y$
endrar seg. Skal vi seie noko om kor mykje $y$ endrar seg per eining $x$ , treng vi
stigingstalet — og det finn vi i kapittel 2.3.

b) Vi reknar med rekneark:

$r = 0{,}8689\ldots \approx 0{,}869$

Ingen talverdi er endra — berre kor breitt x spenner. Når materialet blir avgrensa til dei fem midtarste bustadene, fell r frå 0,971 til 0,869.

Svar b): $r$ fell frå $0{,}971$ til $0{,}869$ når vi berre held på dei fem
midtarste bustadene.

NB: Punkta ligg like langt frå linja som før — vi har ikkje endra
eitt einaste tal. Men $x$ -verdiane spenner no berre over $28\ \text{m}^2$ i
staden for $67$ . Då blir avvika $x_i - \bar{x}$ små, medan den tilfeldige
variasjonen i pris er den same. Støyen utgjer ein større del av det vi måler,
og $r$ søkk.

Slik les du kritisk: Ein låg $r$ kan kome av at utvalet dekkjer eit for
smalt område, ikkje at samanhengen er svak. Spør alltid kva område
$x$ -verdiane dekkjer.

📝Oppgave 4

Del 1 (utan hjelpemiddel). For kvart tilfelle: bestem

r

, eller forklar
kvifor

r

ikkje kan bestemmast.

x = 1, 2, 3, 4, 5

y = 3x - 2

x = 1, 2, 3, 4, 5

y = -0{,}2x + 9

x = 1, 2, 3, 4, 5

y = 4

for alle.

To materiale har $r_1 = 0{,}9$ og $r_2 = -0{,}9$ . Kva for eitt har den sterkaste lineære samanhengen?

Eit materiale har $r = 0{,}95$ . Kor mykje aukar $y$ når $x$ aukar med $1$ ?

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Del 2 (digitale verktøy). Ein by har talt sykkelturar og registrert
sykkelskadar i ni år.

Sykkelturar (tusen)	120	135	148	160	178	195	210	232	255
Registrerte skadar	42	44	47	46	51	54	55	60	63

Finn korrelasjonen mellom talet på turar og talet på skadar.

Ei avis skriv: «Sykling har vorte farlegare — skadane aukar år for år.» Er slutninga haldbar?

Lag ein ny kolonne med skadar per $100\,000$ turar, og finn korrelasjonen mellom talet på turar og denne raten.

Kva er no konklusjonen, og kvifor er han motsett av konklusjonen til avisa?

Kva atterhald må stå i ein slik analyse?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

UndersøkelsesoppgaveDenne oppgaven krever at du undersøker kilder utenfor læreboka

Drøftingsoppgåve. Ein elev skriv i ein rapport: «Vi fann

r = 0{,}87

mellom talet på timar lese og karakter. Samanhengen er sterk, så lesing verkar.»

Kva for opplysningar manglar før $r$ -verdien kan vurderast?

Set opp tre ulike forklaringar på eit slikt funn, der berre den eine er «lesing verkar».

Materialet til eleven har $n = 8$ . Kva tyding har det?

Føreslå korleis undersøkinga kunne vore lagd opp for å seie noko om årsak.

Skriv om setninga til eleven slik at ho er dekkjande for det som faktisk er målt.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

Omgrep	Formel eller regel
Korrelasjonskoeffisienten	$r = \dfrac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2 \cdot \sum (y_i-\bar{y})^2}}$
Med standardavvik	$r = \dfrac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}$
Moglege verdiar	$-1 \le r \le 1$
Retning	Forteiknet til $r$
Styrke	Talverdien $\lvert r \rvert$
Rekneark	`=KORRELASJON(A2:A9;B2:B9)`
GeoGebra	`Korrelasjonskoeffisient(L1, L2)`

Framgangsmåte for hand

1. Rekn ut

\bar{x}

\bar{y}

.
2. Set opp avvikstabellen med kolonnane

x_i-\bar{x}

y_i-\bar{y}

,
produktet og dei to kvadrata.
3. Kontroller at begge avvikskolonnane summerer til

0

.
4. Set dei tre tala frå sumrada inn i formelen.

Hugs

n - 1

blir forkorta bort, så

\sigma

eller

s

gir same

r

- $r$ er symmetrisk: det speler inga rolle kva variabel som blir kalla $x$ .
- $r$ er utan nemning og blir ikkje endra av måleeining.
- Éin uteliggjar kan snu $r$ heilt. Eit smalt $x$ -område kan senke $r$ utan at
samanhengen er svakare.
- Sjå alltid på spreiingsplottet.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.