2.1 Spreiingsplott og korrelasjon

Svar a): Arealet er forklaringsvariabelen og skal stå på førsteaksen.
Prisen er responsvariabelen og står på andreaksen.

b) Vi byggjer figuren i tre steg.

Vel aksane. Areala ligg mellom $45$ og $112$, prisane mellom
$2{,}7$ og $5{,}2$. Vi lèt førsteaksen gå frå $0$ til $120\ \text{m}^2$ med ein delestrek per
$10$ og tal for kvar $20$, og andreaksen frå $0$ til $6$ millionar med eitt tal per million.

Set av punkta. Første bustad gir punktet $(45;\ 2{,}7)$, den
neste $(52;\ 2{,}8)$, og slik vidare til $(112;\ 5{,}2)$. Ti par gir ti punkt.

Merk aksane. «Bruksareal (m²)» og «Pris (mill. kr)» blir skrivne på
aksane, slik at lesaren veit kva tala er. Punkta blir ikkje bundne saman.

Figuren under viser resultatet.

Eitt punkt per bustad. Punkta stig mot høgre — større bustad, høgare pris — og dei ligg tett, men ikkje nøyaktig, rundt ei rett linje.

c) Punkta stig frå venstre mot høgre, og dei ligg nokså tett rundt ei
tenkt rett linje. Store bustader er altså dyrare enn små — men ikkje heilt
regelmessig: bustaden på $70\ \text{m}^2$ kosta $3{,}9$ millionar, medan den på
$78\ \text{m}^2$ kosta $3{,}8$.

For å anslå stiginga bruker vi dei to ytste bustadene:

$$\frac{5{,}2 - 2{,}7}{112 - 45} = \frac{2{,}5}{67} = 0{,}0373\ldots$$

Talet står i millionar kroner per kvadratmeter. Vi gjer det om:

$$0{,}0373 \text{ mill. kr} = 37\,300 \text{ kr}$$

Svar c): Samanhengen er positiv og nesten lineær. Prisen stig med
omtrent $37\,000$ kroner per kvadratmeter.

NB: Anslaget byggjer på berre to av dei ti bustadene — nettopp dei to som ligg
ytst, og som difor slår hardast ut om ein av dei er spesiell. I kapittel
2.3 finn vi stigingstalet som bruker alle punkta.

Vi tek dei i tur og orden, med dei tre spørsmåla i same rekkjefølgje kvar gong.

Panel A. Retning: positiv — punkta stig mot høgre. Form: rett linje.
Styrke: sterk; punkta ligg tett inntil linja. Her kan vi anslå $y$ ganske
presist når vi kjenner $x$.

Panel B. Retning: negativ. Form: rett linje. Styrke: moderat; punkta
ligg spreidde, men fallet er tydeleg. Retninga er til å stole på; det einskilde
anslaget er det ikkje.

Panel C. Retning: ingen. Punkta verken stig eller fell. Om form og
styrke er det då ikkje mykje å seie. Å kjenne $x$ hjelper oss ikkje til å gjette
$y$.

Panel D. Retning: stigande, men minkande. Form: krum — først bratt,
så flatare. Styrke: sterk; punkta ligg tett rundt bogen.

Svar: A sterk positiv og lineær, B moderat negativ og lineær, C ingen
samanheng, D sterk, men ikkje lineær.

Her ser vi at «sterk» og «lineær» er to ulike ting. Punkta i panel D
ligg like tett rundt den krumme banen sin som punkta i A ligg rundt den rette
linja si — samanhengen er altså like sterk. Men han er ikkje lineær: tvingar vi ei
rett linje gjennom D, blir avvika omtrent fire gonger så store som når vi følgjer
bogen. «Sterk» seier kor tett punkta ligg rundt mønsteret; «lineær» seier kva
mønster det er.

=KORRELASJON(A2:A11;B2:B11)

$$r = 0{,}9713\ldots \approx 0{,}971$$
I GeoGebra gjer vi det same med tala i reknearkfana, eller direkte med
kommandolinjene:

L1 = {45, 52, 58, 64, 70, 78, 85, 92, 100, 112}
L2 = {2.7, 2.8, 3.4, 3.2, 3.9, 3.8, 4.5, 4.3, 5.1, 5.2}
Korrelasjonskoeffisient(L1, L2)

GeoGebra gir det same talet, $0{,}9713$.

Svar: $r \approx 0{,}971$. Samanhengen mellom areal og pris er sterk,

positiv og lineær.

NB: $r$ har inga nemning. Det står ikkje «$0{,}971$ kroner» eller
«$0{,}971$ kvadratmeter» — $r$ er eit reint forholdstal, og det endrar seg ikkje

om vi byter frå millionar kroner til kroner, eller frå kvadratmeter til

kvadratfot.

=KORRELASJON(A2:A10;B2:B10)

Svaret er

$$r = 0$$

Kvifor det blir nøyaktig null: gjennomsnittet av gjødselmengdene er $5$, og
tabellen er spegelsymmetrisk om $x = 5$. Til kvart avvik $x - 5 = 2$ finst
eit like stort avvik $x - 5 = -2$ med same avling. Dei to bidraga til
teljaren i $r$ er like store og har motsett forteikn, og summen blir null.

Svar a): $r = 0$.

b) Nei — tvert om. Teiknar vi spreiingsplottet, ser vi ein tydeleg boge:
avlinga stig til $2\,500$ kg per dekar ved $5$ kg gjødsel, og søkk
deretter like jamt igjen. For mykje gjødsel skadar avlinga.

Samanhengen er så tett som han kan bli — kvart punkt ligg nøyaktig på bogen
$y = 25 - (x-5)^2$ — men han er ikkje lineær, og $r$ måler berre det lineære.

Samanhengen er så tett som han kan bli — kvart punkt ligg nøyaktig på bogen — men han er ikkje lineær, og difor er r = 0. Spegelsymmetrien om x = 5 er grunnen til at teljaren i r blir null.

Svar b): Nei. $r = 0$ betyr at inga rett linje skildrar punkta, ikkje at
gjødsel er utan verknad. Her er verknaden krum, og den ville ei rett
regresjonslinje bomme fullstendig på.

Andre moglegheiter: Skal ein slik samanheng talfestast, kan vi bruke
kvadratisk regresjon i staden, eller dele materialet i to — $1$–$5$ kg og
$5$–$9$ kg — og rekne korrelasjonen i kvar del for seg. I kvar halvdel er
samanhengen nesten perfekt lineær.