1.3 Spreiingsmål | Statistikk

Variasjonsbreidd, kvartilar og kvartilbreidd, varians og standardavvik rekna for hand og med rekneark.

45 min

6 oppgaver

VariasjonsbreiddKvartilarStandardavvik

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Gjennomsnittet er ikkje nok

To fotballag har spela åtte kampar kvar. Talet på mål per kamp var

Gjennomsnitt
Lag A	2	3	2	3	2	3	2	3	2,5
Lag B	0	6	1	5	0	6	1	1	2,5

Begge laga har nøyaktig same gjennomsnitt,

2{,}5

mål per kamp. Likevel er
laga heilt ulike: lag A scorar to eller tre mål kvar einaste kamp, medan
lag B anten scorar nesten ingenting eller renn over.

Skilnaden er spreiinga — kor mykje observasjonane varierer rundt midten.
Eit sentralmål åleine er difor aldri nok. Vi treng alltid eit spreiingsmål
ved sida av.

I dette kapittelet møter du fire spreiingsmål: variasjonsbreidd, kvartilbreidd,
varians og standardavvik.

Variasjonsbreidd

\text{variasjonsbreidd} = x_{\text{maks}} - x_{\text{min}}

✏️Døme 1 – Variasjonsbreidd for dei to laga

Finn variasjonsbreidda for lag A og lag B i tabellen over, og forklar kva
tala fortel.

Lag A: Vi sorterer for å sjå ytterpunkta:

2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3

$\text{variasjonsbreidd} = x_{\text{maks}} - x_{\text{min}} = 3 - 2 = 1$

Lag B: Sortert: $0, 0, 1, 1, 1, 5, 6, 6$ .

$\text{variasjonsbreidd} = 6 - 0 = 6$

Svar: Lag A har variasjonsbreidd $1$ mål, lag B har $6$ mål.

Her ser vi at dei to laga, som hadde identisk gjennomsnitt, skil seg
kraftig når vi ser på spreiinga. Lag B er seks gonger så «uføreseieleg» målt
på denne måten.

NB: Variasjonsbreidda bryr seg ikkje om kva som skjer mellom ytterpunkta.
Byter vi ut dei åtte kampane til lag B med $0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 6$ , er
variasjonsbreidda framleis $6$ — sjølv om laget no er langt jamnare. Det er
grunnen til at vi treng spreiingsmål som bruker alle observasjonane.

📝Oppgave 1

Middagstemperaturen vart målt sju dagar på rad i to byar (i $^\circ$ C):

By A	3	5	4	6	5	4	8
By B	$-4$	12	1	9	$-2$	10	9

Finn gjennomsnittstemperaturen i kvar by.

Finn variasjonsbreidda i kvar by.

Kva for ein by vil du seie har det mest stabile vêret? Grunngi med tala.

Kvifor held det ikkje å oppgi gjennomsnittstemperaturen åleine i ei vêrmelding?

Løs oppgaven

Kvartilar og kvartilbreidd

Q_1

✏️Døme 2 – Kvartilar for ventetid

Elleve pasientar vart spurde kor mange minutt dei venta på legevakta:

$12,\quad 9,\quad 35,\quad 4,\quad 15,\quad 22,\quad 7,\quad 14,\quad 6,\quad 18,\quad 11$

Finn medianen, kvartilane, kvartilbreidda og variasjonsbreidda.

Sorter. Utan sortering blir alt etterpå feil:

$4,\quad 6,\quad 7,\quad 9,\quad 11,\quad \mathbf{12},\quad 14,\quad 15,\quad 18,\quad 22,\quad 35$

Medianen. Her er $n = 11$ , eit oddetal, så medianen ligg på plass

$\frac{n+1}{2} = \frac{11+1}{2} = 6$

Verdien på sjette plass er $Q_2 = 12$ minutt.

Nedre kvartil. Den nedre halvdelen er dei fem verdiane framfor
medianen (medianen sjølv blir halden utanfor):

$4,\quad 6,\quad \mathbf{7},\quad 9,\quad 11 \qquad \Rightarrow \qquad Q_1 = 7$

Øvre kvartil. Den øvre halvdelen er dei fem verdiane etter medianen:

$14,\quad 15,\quad \mathbf{18},\quad 22,\quad 35 \qquad \Rightarrow \qquad Q_3 = 18$

Breidder.

$\text{kvartilbreidd} = Q_3 - Q_1 = 18 - 7 = 11$

$\text{variasjonsbreidd} = 35 - 4 = 31$

Ei tallinje merkt ventetid i minutt frå 0 til 36. Dei elleve sorterte ventetidene 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 18, 22 og 35 er markerte som svarte prikkar. Tre loddrette strekar er merkte Q1 lik 7 og Q3 lik 18 i blått og Q2 lik 12 i grønt. Under tallinja ligg to målestrekar: ein blå frå 7 til 18 merkt 11 og merkt kvartilbreidd, og ein grå frå 4 til 35 merkt 31 og merkt variasjonsbreidd.

Kvartilane deler materialet i fire. Den eine lange ventetida på 35 minutt blæs opp variasjonsbreidda til 31 minutt, medan kvartilbreidda på 11 minutt knapt merkar henne.

Svar: $Q_1 = 7$ , $Q_2 = 12$ , $Q_3 = 18$ minutt. Kvartilbreidda er $11$
minutt og variasjonsbreidda $31$ minutt.

Tolking: Halvparten av pasientane venta mellom $7$ og $18$ minutt. Den
store variasjonsbreidda kjem i hovudsak av den eine som venta $35$ minutt —
kvartilbreidda merkar knapt den observasjonen.

NB: Verktøy kan gi andre kvartilar enn du får for hand

Det finst fleire måtar å plassere kvartilane på når $n$ ikkje er deleleg med
fire. Metoden over er den vi bruker for hand, og det er òg den GeoGebra bruker:
Q1(liste) og Q3(liste) gir $7$ og $18$ for ventetidene over.

Rekneark (KVARTIL) bruker ein metode som reknar seg fram til ein verdi mellom to
observasjonar, og kan difor gi eit litt anna tal: for ventetidene over gir
reknearket $Q_1 = 8$ og $Q_3 = 16{,}5$ , medan vi for hand fekk $7$ og $18$ .

Ingen av metodane er feil — det er to ulike definisjonar. Du må berre seie kva for ein
du har brukt, og bruke den same heile vegen når du samanliknar
datamateriale.

📝Oppgave 2

Tolv elevar fekk desse poengsummane på ei prøve:

$21,\quad 33,\quad 15,\quad 24,\quad 45,\quad 19,\quad 27,\quad 12,\quad 30,\quad 22,\quad 25,\quad 18$

Gjer den same oppgåva som i døme 2. Bruk metoden for hand.

Sorter materialet og finn medianen.

Finn $Q_1$ .

Finn $Q_3$ .

Finn kvartilbreidda og variasjonsbreidda.

Forklar kvifor dei to breiddene er så ulike her.

Løs oppgaven

Varians og standardavvik

Variasjonsbreidda bruker to observasjonar, kvartilbreidda bruker to kvartilar.
No vil vi ha eit spreiingsmål som bruker alle observasjonane.

Tanken er enkel: mål kor langt kvar observasjon ligg frå gjennomsnittet, og
finn den typiske avstanden. Avstanden frå gjennomsnittet kallar vi avviket:

$\text{avvik} = x_i - \bar{x}$

Men her møter vi eit problem. Legg vi saman avvika, blir summen alltid $0$ —
dei negative avvika et opp dei positive. (Det er faktisk ein av definisjonane
på gjennomsnittet: det er punktet der avvika vel kvarandre opp.)

Løysinga er å kvadrere avvika før vi summerer. Då blir alle ledd positive,
og store avvik tel ekstra mykje. Til slutt tek vi kvadratrota, slik at svaret
får same eining som observasjonane igjen.

Varians og standardavvik

n

Spør kva tala dine er:

- «Dette er alle eg vil seie noko om» — dei $28$ elevane i klassen, alle dei $24$
timane i døgeret: bruk $\sigma$ (del på $n$ ).
- «Dette er eit utval, og eg vil seie noko om alle» — $80$ av $640$ elevar,
$200$ av hushalda i landet: bruk $s$ (del på $n - 1$ ).

Oppgåveteksten seier som regel kva situasjon du er i. Er han uklar, skriv
du kva du har valt og kvifor. Er $n$ stor, betyr valet lite: for
$n = 100$ skil $\sigma$ og $s$ seg med ein halv prosent.

✏️Døme 3 – Standardavvik for hand

Fem laksefileter frå same parti vart vegne. Vektene var (i gram)

$48,\quad 52,\quad 50,\quad 46,\quad 54$

a) Finn standardavviket $\sigma$ når vi ser på desse fem som heile materialet.

b) Finn utvalsstandardavviket $s$ når dei fem er eit utval frå heile partiet.

Gjennomsnittet. Standardavviket måler avstand frå gjennomsnittet,
så det må vi ha først:

$\bar{x} = \frac{48 + 52 + 50 + 46 + 54}{5} = \frac{250}{5} = 50$

Vi deler på $5$ fordi det er $5$ fileter.

Avvikstabellen. Vi set opp éi rad per observasjon, og fyller
kolonne for kolonne:

$x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$
48	$48 - 50 = -2$	$(-2)^2 = 4$
52	$52 - 50 = 2$	$2^2 = 4$
50	$50 - 50 = 0$	$0^2 = 0$
46	$46 - 50 = -4$	$(-4)^2 = 16$
54	$54 - 50 = 4$	$4^2 = 16$
Sum	0	40

(Kontroll som har eit poeng: summen i midtkolonnen skal alltid bli $0$ . Blir han
ikkje det, har vi rekna feil gjennomsnitt eller feil avvik — og då er det ingen
vits i å gå vidare.)

Ei tallinje merkt vekt i gram frå 44 til 56, med dei fem filetvektene 46, 48, 50, 52 og 54 markerte som blå prikkar. Ei raud stipla loddrett linje står ved gjennomsnittet 50 gram. Over tallinja går fire raude piler ut frå den stipla linja, éi til kvar av dei fire prikkane som ikkje ligg i 50, merkte minus 4, minus 2, pluss 2 og pluss 4. Pilene står parvis i same høgd — minus 4 og pluss 4 øvst, minus 2 og pluss 2 under — så kvart par ser ut som éi dobbelpil gjennom gjennomsnittslinja. Under tallinja er avvika teikna som kvadrat med sidekant lik avviket: to store blå kvadrat med side 4 og areal 16, og inni dei to mindre oransje kvadrat med side 2 og areal 4. Areala 16, 4, 4 og 16 er skrivne inn. Nedst står: avvika summerer til 0, areala til 40.

Avviket er avstanden frå gjennomsnittet, og kvadratet har avviket som sidekant. Avvika sjølve summerer til null — areala gjer det ikkje, og det er difor vi kvadrerer før vi summerer.
a) Standardavviket $\sigma$ . Formelen først, tom:

\sigma = \sqrt{\frac{\text{summen av kvadrerte avvik}}{n}}

og så med tal:
$\sigma = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt{8} = 2{,}828\ldots \approx 2{,}83$
Svar a): $\sigma \approx 2{,}83$ gram.

b) Utvalsstandardavviket $s$ . Same sum over brøkstreken, men vi

deler på $n - 1 = 4$ :

$s = \sqrt{\frac{40}{5 - 1}} = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} = 3{,}162\ldots \approx 3{,}16$

Svar b): $s \approx 3{,}16$ gram.

Her ser vi at $s > \sigma$ , slik det alltid er: vi deler den same summen på

eit mindre tal. Skilnaden er stor her fordi $n$ berre er $5$ .

Alle kalkulatorar med statistikkmeny og alle rekneark har eigne funksjonar for
standardavvik — og dei har to av dei, éin for kvar formel:

Rekneark	GeoGebra
$\sigma$ (del på $n$ )	`=STDAV.P(område)`	`SD(liste)`
$s$ (del på $n-1$ )	`=STDAV.S(område)`	`SampleSD(liste)`

I norsk GeoGebra blir dei to kommandoane viste som stavvp(liste) og stavv(liste).
I reknearket står bokstaven P for populasjon og S for stikkprøve (utval). Vel du feil
funksjon, får du eit tal som ser rett ut, men som svarer på eit anna spørsmål.

Skriv likevel opp formelen og avvikstabellen når oppgåva ber om utrekning —

verktøyet gir svaret, føringa viser at du veit kva svaret betyr.

📝Oppgave 3

Seks elevar i ein klasse har skostorleikane

$38,\quad 40,\quad 41,\quad 39,\quad 42,\quad 40$

Gjer den same utrekninga som i døme 3. Set opp avvikstabellen.

Finn gjennomsnittet.

Set opp avvikstabellen og finn summen av dei kvadrerte avvika.

Finn $\sigma$ når dei seks er heile materialet. Rund av til to desimalar.

Finn $s$ når dei seks er eit utval frå heile skulen. Rund av til to desimalar.

Kvifor skal summen i midtkolonnen bli null?

Løs oppgaven

✏️Døme 4 – Å samanlikne to datamateriale

To butikkar i same kjede talde kundar kvar dag i éi veke:

man	tys	ons	tor	fre	lau	sun
Butikk A	102	98	105	101	99	103	100
Butikk B	70	135	88	150	62	120	83

Begge butikkane hadde

708

kundar i løpet av veka.
a) Finn gjennomsnitt og standardavvik

\sigma

for kvar butikk.
b) Kva konsekvensar har skilnaden for korleis butikkane bør bemannast?

a) Gjennomsnittet er det same for begge, sidan begge hadde

708

kundar på
sju dagar:

$\bar{x} = \frac{708}{7} = 101{,}14\ldots \approx 101{,}1 \text{ kundar per dag}$

Standardavvika reknar vi med STDAV.P i rekneark (vi ser på veka som heile
materialet vi vil skildre):

$\sigma_A \approx 2{,}23 \qquad \sigma_B \approx 31{,}38$

Svar a): Begge butikkane har $\approx 101{,}1$ kundar per dag i gjennomsnitt.
Standardavviket er $\approx 2{,}2$ kundar i butikk A og $\approx 31{,}4$ kundar i
butikk B.

b) Vi forklarer konklusjonen med tala:

I butikk A ligg alle dagane innanfor $98$ – $105$ kundar — eit spenn på berre $7$
kundar. To standardavvik er $2 \cdot 2{,}23 = 4{,}46$ , så alle sju dagane ligg
innanfor to standardavvik frå gjennomsnittet ( $101{,}1 \pm 4{,}5$ , altså frå
$96{,}7$ til $105{,}6$ ). Bemanninga kan vere den same kvar dag.

I butikk B svingar dagane frå $62$ til $150$ kundar. Standardavviket på $31{,}4$
er nesten ein tredjedel av gjennomsnittet. Set butikk B opp same bemanning
kvar dag, står dei med for mange tilsette på måndag og fredag og for få på tysdag
og torsdag.

Same gjennomsnitt, heilt ulikt bemanningsbehov. Butikk A held seg innanfor eit band på ni kundar, butikk B innanfor eit på 125 — og det er bandbreidda, ikkje gjennomsnittet, som avgjer kor mange som må vere på jobb.

Svar b): Butikk A kan bemanne likt kvar dag; butikk B må bemanne etter
vekedag. Gjennomsnittet åleine ville ha løynt heile skilnaden.

Andre moglegheiter: Butikk B kunne òg skildrast med kvartilbreidda
( $Q_3 - Q_1 = 135 - 70 = 65$ kundar), eller med to gjennomsnitt — eitt for
kvardagar og eitt for helg — dersom mønsteret gjentek seg frå veke til veke.

📝Oppgave 4

Eit datamateriale består av tala

$10,\quad 12,\quad 14,\quad 16,\quad 18$

Gjennomsnittet er $14$ og standardavviket er $\sigma = 2{,}83$ (avrunda).

Legg $5$ til kvar verdi. Kva blir det nye gjennomsnittet?

Kva blir standardavviket etter at du har lagt til $5$ ? Forklar utan å rekne alt på nytt.

Gong i staden kvar verdi med $2$ . Kva blir gjennomsnittet og standardavviket?

Ein elev seier: «Standardavviket kan aldri bli negativt.» Har eleven rett?

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Del 2 (digitale verktøy). Ein nettbutikk har registrert leveringstida i
dagar for

20

bestillingar:

$2,\ 3,\ 2,\ 4,\ 3,\ 2,\ 5,\ 3,\ 4,\ 2,\ 3,\ 6,\ 4,\ 3,\ 2,\ 3,\ 4,\ 3,\ 2,\ 14$

Dei $20$ bestillingane er eit utval frå alle bestillingane i året.

Finn gjennomsnitt, median og kvartilbreidd med rekneark.

Finn standardavviket. Kva for ein av funksjonane STDAV.P og STDAV.S skal du bruke her, og kvifor?

Fjern observasjonen $14$ og rekn ut gjennomsnitt, median og $s$ på nytt. Kva for nokre av måla endrar seg mest?

Butikken lovar «levering innan $5$ dagar». Kor stor del av bestillingane i utvalet heldt lovnaden?

Butikken vil oppgi eitt tal for leveringstida på nettsida. Kva bør dei oppgi, og kva bør dei eventuelt seie i tillegg?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Drøftingsoppgåve. To bedrifter tilbyr deg jobb. Du får sjå årsløna (i tusen
kroner) til fem tilsette i kvar bedrift:

Bedrift 1	480	490	500	510	520
Bedrift 2	380	420	500	580	620

Finn gjennomsnitt og median i kvar bedrift.

Finn $\sigma$ for kvar bedrift (dei fem er alle vi har tal for). Rund av til to desimalar.

Kva fortel standardavvika om dei to bedriftene?

Kva for ei bedrift ville du valt, og kva tilleggsinformasjon ville du bede om først?

Bedrift 2 skriv i annonsen: «Hos oss tener dei tilsette i gjennomsnitt $500\ 000$ kroner — akkurat som hos konkurrenten.» Er det ei dekkjande skildring?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

Spreiingsmål	Formel	Bruker	Robust mot uteliggjarar?
Variasjonsbreidd	$x_{\text{maks}} - x_{\text{min}}$	2 observasjonar	Nei
Kvartilbreidd	$Q_3 - Q_1$	midtarste $50\ \%$	Ja
Varians	$\displaystyle \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$	alle	Nei
Standardavvik	$\sqrt{\text{varians}}$	alle	Nei

- Kvartilane deler eit sortert materiale i fire like store delar.

Q_1

er
medianen i nedre halvdel,

Q_3

er medianen i øvre halvdel.
- Avvika

x_i - \bar{x}

summerer seg alltid til

0

. Difor kvadrerer vi
dei før vi summerer — og tek kvadratrota til slutt, så eininga stemmer igjen.
- $\sigma$ deler på $n$ (heile materialet), $s$ deler på $n - 1$ (utval

som skal seie noko om ein større populasjon). $s$ er alltid størst. I rekneark:
STDAV.P og STDAV.S.
- Å samanlikne to materiale: oppgi alltid både eit sentralmål og eit
spreiingsmål, og forklar konklusjonen med tala.

Hugs

- Sjekk at avvika summerer seg til

0

før du går vidare.
- Standardavviket er aldri negativt. Er

\sigma = 0

, er alle observasjonane like.
- Å leggje det same talet til alle observasjonane endrar ikkje spreiinga.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.