1.2 Sentralmål

Kva veit vi? Åtte observasjonar. Kva må vi finne? Gjennomsnittet $\bar{x}$.

Vi skriv formelen først, tom:

$$\bar{x} = \frac{\text{summen av observasjonane}}{\text{talet på observasjonar}}$$

Så set vi inn. Heile plusstykket står over brøkstreken før vi reknar det ut —
då ser vi at ingen observasjon er gløymd:

$$\bar{x} = \frac{12 + 25 + 18 + 32 + 15 + 22 + 40 + 20}{8}$$

Vi deler på $8$ fordi det er $8$ elevar. Så legg vi saman over brøkstreken:

$$\bar{x} = \frac{184}{8} = 23$$

Svar: Gjennomsnittleg reisetid er $23$ minutt.

Kontroll som har eit poeng: Den kortaste reisetida er $12$ og den lengste er
$40$. Gjennomsnittet må liggje mellom desse to — og $23$ gjer det. Eit gjennomsnitt
utanfor $[12, 40]$ ville vore ein reknefeil, same kor pent det såg ut.

a) Først sorterer vi. Dette steget hoppar mange over, og då blir svaret feil:

$$3,\quad 4,\quad 4,\quad \mathbf{5},\quad 7,\quad 8,\quad 9$$

Her er $n = 7$, som er eit oddetal. Medianen ligg på plass nummer

$$\frac{n+1}{2} = \frac{7+1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Verdien på fjerde plass er $5$.

Svar: Medianen er $5$ treningar.

(Kontroll: det står tre verdiar framfor og tre bak — like mange på kvar side.)

b) Vi sorterer:

$$12,\quad 15,\quad 18,\quad \mathbf{20},\quad \mathbf{22},\quad 25,\quad 32,\quad 40$$

Her er $n = 8$, som er eit partal. Då finst det ingen midtarste verdi — det er
to av dei, på plass $\displaystyle \frac{8}{2} = 4$ og plass $5$. Medianen er gjennomsnittet av
desse to:

$$\text{median} = \frac{20 + 22}{2} = \frac{42}{2} = 21$$

Svar: Medianen er $21$ minutt.

Her ser vi at medianen ($21$) og gjennomsnittet ($23$) ikkje er like. Dei svarer
på ulike spørsmål: gjennomsnittet deler alt likt, medianen står midt i køen.

a) Gjennomsnittet:

$$\bar{x} = \frac{420 + 440 + 455 + 460 + 470 + 485 + 500 + 520 + 1450}{9} = \frac{5200}{9} = 577{,}7\ldots \approx 577{,}8$$

Vi deler på $9$ fordi det er $9$ tilsette.

Medianen: materialet er alt sortert, og $n = 9$ er eit oddetal. Medianen
ligg på plass $\displaystyle \frac{9+1}{2} = 5$, altså

$$\text{median} = 470$$

Materialet har ikkje noko typetal — alle dei ni lønningane er ulike.

Svar a): Gjennomsnittet er $\approx 577{,}8$ tusen kroner, medianen er $470$
tusen kroner.

b) Påstanden er sann: reknestykket stemmer. Men han er ikkje dekkjande.

Her ser vi kvifor: $8$ av dei $9$ tilsette tener mindre enn gjennomsnittet.
Den eine løna på $1450$ dreg gjennomsnittet kraftig opp, fordi gjennomsnittet
reknar med sjølve talverdien til kvar observasjon. Ein slik observasjon, som ligg
langt frå resten, kallar vi ein uteliggjar (ekstremverdi).

Medianen merkar knapt uteliggjaren: byter vi $1450$ mot $2450$, blir medianen
framleis $470$, medan gjennomsnittet stig til over $688$. Vi seier at medianen er
robust mot uteliggjarar.

Éin uteliggjar flyttar gjennomsnittet, men nesten ikkje medianen. Gjennomsnittet hamnar til høgre for åtte av dei ni lønningane — påstanden i stillingsannonsen er sann, men ikkje dekkjande.

Svar b): Sann, men ikkje dekkjande. Ein søkjar som vil vite kva ho kan vente
å tene, er betre tent med medianen $470$ tusen kroner.

Andre moglegheiter: Firmaet kunne oppgitt begge tala, eller oppgitt
gjennomsnittet utan leiarløna — $468{,}75$ tusen kroner — så lenge det står
tydeleg kven som er tekne med.

a) Fordelinga er høgreskeiv: dei fleste ligg mellom $400$ og $600$
tusen, men nokre få ligg heilt ute på $1100$ og $1300$ tusen. Gjennomsnittet
reknar med sjølve talverdiane, og dei store verdiane dreg summen opp. Medianen
tel berre kor mange som ligg på kvar side, og flyttar seg difor knapt.

b) Søylene $400$–$500$ og $500$–$600$ ligg heilt til venstre for den raude linja ved $603{,}75$:

$$14 + 12 = 26 \text{ tilsette}$$

$$\frac{26}{40} = 0{,}65 = 65\ \%$$

Søyla $600$–$700$ har $5$ tilsette. Nokre av dei kan tene mellom $600$ og $603{,}75$ tusen, men figuren viser berre klassane, ikkje dei einskilde lønningane. Det kan vi difor ikkje avgjere.

Svar b): Minst $26$ av $40$ tilsette ($65\ \%$) tener mindre enn gjennomsnittet, og høgst $26 + 5 = 31$.

c) For medianen talar at han skildrar den typiske tilsette: halvparten
tener meir, halvparten mindre. For gjennomsnittet talar at det er det einaste
målet som heng saman med den samla lønsutbetalinga — gjennomsnittet gonga
med $40$ gir akkurat heile lønsbudsjettet, og det gjer ikkje medianen.

Svar c): Begge tala er rette. Dei svarer på ulike spørsmål: «kva tener ein
vanleg tilsett?» (median) og «kva kostar dei tilsette til saman?» (gjennomsnitt).
Den ærlege framstillinga oppgir begge.