8.5 Vekstmodellar i økonomi | Matematikk S2

Lær om eksponentiell og logistisk vekst, kapitalakkumulering, nåverdi, realverdiar og økonomiske vekstmodellar.

60 min

19 oppgaver

Eksponentiell vekst og rentes renteDoblingstid og halveringstidNåverdiLogistisk vekstmodellKontinuerleg inntektsstraum

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Optimering

Økonomisk vekst

Mange økonomiske storleikar endrar seg over tid: BNP, folketal, aksjeverdiar, gjeld. For å skildre og føreseie slik utvikling brukar vi vekstmodellar baserte på eksponentialfunksjonar og differensiallikningar.

I dette kapittelet knyter vi saman det vi har lært om eksponentialfunksjonar, derivasjon og integrasjon med praktiske økonomiske problemstillingar som rentes rente, inflasjon og berekraftig vekst.

Eksponentiell vekst og rentes rente

r

📜Doblingstid og halveringstid

For eksponentiell vekst

K(t) = K_0 \cdot e^{rt}

med

r > 0

er doblingstida:

T_2 = \frac{\ln 2}{r} \approx \frac{0{,}693}{r}

For eksponentiell vekst $K(t) = K_0 \cdot (1+r)^t$ er doblingstida:
$T_2 = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$

Tilnærmingsformel (72-regelen): $\displaystyle T_2 \approx \frac{72}{p}$ der $p$ er renta i prosent. Regelen kjem av at $\ln 2 \approx 0{,}693$ og $\displaystyle \ln\left(1 + \frac{p}{100}\right) \approx \frac{p}{100}$ for små $p$ , slik at $\displaystyle T_2 \approx \frac{69{,}3}{p}$ . Talet 72 gir ei betre tilnærming for vanlege renter og er lett å dele.

Døme: Med 6 % rente er doblingstida ca. $\displaystyle \frac{72}{6} = 12$ år.

Halveringstid (for $r < 0$ ): $\displaystyle T_{1/2} = \frac{\ln 2}{|r|}$

✏️Sparekonto med rentes rente

Du set inn 50 000 kr på ein konto med 4 % årleg rente.

a) Set opp ein modell for kapitalen $K(t)$ etter $t$ år.
b) Kor mykje har du etter 10 år?
c) Finn doblingstida.
d) Kor lang tid tek det å nå 100 000 kr?

a) Modell:

K(t) = 50\,000 \cdot 1{,}04^t

b) Etter 10 år:
$\begin{aligned} K(10) &= 50\,000 \cdot 1{,}04^{10} \\ &= 50\,000 \cdot 1{,}4802 \\ &\approx 74\,012 \text{ kr} \end{aligned}$

c) Doblingstid:
$T_2 = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}04} = \frac{0{,}6931}{0{,}03922} \approx 17{,}7 \text{ år}$

72-regelen: $\displaystyle \frac{72}{4} = 18$ år (god tilnærming).

d) Tid til 100 000 kr:
$50\,000 \cdot 1{,}04^t = 100\,000$
$1{,}04^t = 2$
$t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}04} \approx 17{,}7 \text{ år}$

Svar: a) $K(t) = 50\,000 \cdot 1{,}04^t$ . b) Om lag 74 012 kr. c) Doblingstida er om lag 17,7 år. d) Det tek om lag 17,7 år å nå 100 000 kr, altså doblingstida.

Nåverdi og realverdi

Nåverdi er verdien i dag av ei framtidig utbetaling, diskontert med ei kalkulasjonsrente.

Dersom du skal motta beløpet $B$ om $t$ år og kalkulasjonsrenta er $r$ , er nåverdien:
$NV = \frac{B}{(1+r)^t} = B \cdot (1+r)^{-t}$

Nåverdi av ei betalingsrekkje $a_1, a_2, \ldots, a_n$ motteke etter 1, 2, ..., $n$ år:
$NV = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{(1+r)^k}$

For like betalingar $a$ i $n$ år (annuitet):
$NV = a \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}$

Realverdi tek omsyn til inflasjon. Med inflasjon $i$ er realrenta ca. $r_{\text{real}} \approx r - i$ (eksakt: $\displaystyle r_{\text{real}} = \frac{1+r}{1+i} - 1$ ).

Nåverdi

B

✏️Nåverdi av investering

Ei bedrift vurderer ei investering på 500 000 kr som gir følgjande inntekter:
- År 1: 150 000 kr
- År 2: 200 000 kr
- År 3: 250 000 kr

Kalkulasjonsrenta er 8 %. Er investeringa lønsam?

Nåverdi av inntektene:

NV = \frac{150\,000}{1{,}08^1} + \frac{200\,000}{1{,}08^2} + \frac{250\,000}{1{,}08^3}

$= \frac{150\,000}{1{,}08} + \frac{200\,000}{1{,}1664} + \frac{250\,000}{1{,}259712}$

$\approx 138\,889 + 171\,468 + 198\,458 \approx 508\,815 \text{ kr}$

Netto nåverdi (NNV):
$NNV \approx 508\,815 - 500\,000 = 8\,815 \text{ kr}$

Svar: $NNV \approx 8\,815$ kr $> 0$ , så investeringa er lønsam, men berre så vidt. Avkastninga er litt over 8 % (om lag 8,9 %).

Logistisk vekst

Eksponentiell vekst er urealistisk over lang tid fordi han går ut frå ubegrensa vekst. I praksis blir veksten avgrensa av ressursar, marknadsstorleik eller kapasitet.

Logistisk vekst modellerer avgrensa vekst:
$P(t) = \frac{L}{1 + ae^{-kt}}$

der:
- $L$ er bereevna (øvre grense / metningsverdi)
- $\displaystyle a = \frac{L - P_0}{P_0}$ blir bestemt av startverdien $P_0 = P(0)$
- $k > 0$ er vekstkonstanten

Eigenskapar:
- $P(t) \to L$ når $t \to \infty$ (nærmar seg bereevna)
- Veksten er raskast når $\displaystyle P = \frac{L}{2}$ (vendepunktet)
- S-forma kurve (sigmoid)

Differensiallikninga for logistisk vekst i definisjonen under, oppgåve 9 (differensiallikningar) og oppgåve 12 (delvis integrasjon) høyrer ikkje til læreplanen i matematikk S2 (MAT04-02). Dette er stoff frå R2. Du treng det ikkje til S2-eksamen. Funksjonsuttrykket $\displaystyle P(t) = \frac{L}{1 + ae^{-kt}}$ , bereevna og vendepunktet høyrer til S2.

Logistisk vekstmodell

P(t) = \frac{L}{1 + ae^{-kt}}

✏️Logistisk vekst i marknadspenetrasjon

Talet på brukarar av ein ny app blir modellert med $\displaystyle P(t) = \frac{100\,000}{1 + 99e^{-0{,}5t}}$ der $t$ er talet på månadar etter lansering.

a) Kor mange brukarar er det ved lansering ( $t = 0$ )?
b) Kva er det maksimale talet på brukarar?
c) Når er veksten raskast, og kor mange nye brukarar per månad får appen då?

a) Ved lansering:

P(0) = \frac{100\,000}{1 + 99} = \frac{100\,000}{100} = 1000 \text{ brukarar}

b) Maksimalt tal:
$\lim_{t \to \infty} P(t) = \frac{100\,000}{1 + 0} = 100\,000 \text{ brukarar}$

Bereevna er $L = 100\,000$ .

c) Raskast vekst:
Vendepunktet er der $\displaystyle P = \frac{L}{2} = 50\,000$ .

Tidspunktet: $\displaystyle t_v = \frac{\ln 99}{0{,}5} = \frac{4{,}595}{0{,}5} \approx 9{,}2$ månadar.

Veksthastigheita i vendepunktet:
$\begin{aligned} P'(t_v) &= kP\left(1 - \frac{P}{L}\right) \\ &= 0{,}5 \cdot 50\,000 \cdot \left(1 - \frac{50\,000}{100\,000}\right) \\ &= 0{,}5 \cdot 50\,000 \cdot 0{,}5 \\ &= 12\,500 \end{aligned}$

Svar: a) 1000 brukarar. b) 100 000 brukarar. c) Veksten er raskast etter om lag 9,2 månader, med om lag 12 500 nye brukarar per månad.

✏️Logistisk modell frå salstal

Tabellen viser samla sal (i tusen einingar) av ein ny mobilmodell $x$ veker etter lansering.

$x$	Sal
0	2,7
4	6,1
8	16,0
12	31,5
16	50,9
20	66,1
24	70,0
28	77,3

a) Bruk logistisk regresjon til å lage ein modell

S

for det samla salet.
b) Kva fortel talet

a

i modellen?
c) Salet aukar raskast når

S(x) = \dfrac{a}{2}

, altså ved

x = \dfrac{\ln b}{k}

(vendepunktet i definisjonen over, der

a

b

i GeoGebra heiter

L

a

). Finn når dette skjer, vis at salet då aukar med

\dfrac{a\,k}{4}

per veke, og finn veksten.

a)
liste1 = {(0, 2.7), (4, 6.1), (8, 16), (12, 31.5), (16, 50.9), (20, 66.1), (24, 70), (28, 77.3)}
S(x) = RegLogist(liste1)
$S(x) \approx \dfrac{77{,}7}{1 + 29{,}4\,e^{-0{,}251x}}$

Svar: $S(x) = \dfrac{77{,}7}{1 + 29{,}4\,e^{-0{,}251x}}$

b)
Når $x \to \infty$ , går $S(x) \to 77{,}7$ .

Svar: $a$ er bereevna. Ifølgje modellen blir det samla salet aldri større enn om lag 77 700 einingar.

c)
$x = \dfrac{\ln b}{k} = \dfrac{\ln 29{,}4}{0{,}251} \approx 13{,}5$

$S'(x) = \dfrac{a\,b\,k\,e^{-kx}}{(1 + b\,e^{-kx})^2}$
Når $b\,e^{-kx} = 1$ :
$S'\left(\dfrac{\ln b}{k}\right) = \dfrac{a\,k}{(1 + 1)^2} = \dfrac{a\,k}{4}$
$\dfrac{77{,}7 \cdot 0{,}251}{4} \approx 4{,}88$

Svar: Salet aukar raskast om lag 13,5 veker etter lansering, med om lag 4 900 einingar per veke.

📜Kontinuerleg inntektsstraum (nåverdi med integral)

Dersom ei investering gir ein kontinuerleg inntektsstraum

R(t)

kroner per år i

T

år, og kalkulasjonsrenta er

r

(kontinuerleg), er nåverdien:

$NV = \int_0^T R(t) \cdot e^{-rt} \, dt$

Spesialtilfelle: Konstant inntekt $R(t) = R$ :
$NV = R \int_0^T e^{-rt} \, dt = R \cdot \frac{1 - e^{-rT}}{r}$

Når $T \to \infty$ (evig inntektsstraum):
$NV = \frac{R}{r}$

Dette blir kalla kapitaliseringsformelen.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Du set inn 100 000 kr med 5 % årleg rente. Kor mykje har du etter 15 år?

Finn doblingstida med 72-regelen og med den eksakte formelen.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn nåverdien av 200 000 kr som blir motteke om 5 år med kalkulasjonsrente 6 %.

Kva er nåverdien av 50 000 kr per år i 3 år med 8 % rente?

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Ein kapital veks ifølgje $K(t) = 80\,000 \cdot e^{0{,}06t}$ . Finn startkapitalen og den kontinuerlege renta.

Kva er den tilsvarande årlege renta?

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Renta på ein sparekonto er 3 % og inflasjonen er 2 %. Kva er realrenta?

Du har 500 000 kr. Kva er realverdien etter 10 år med 3 % nominell rente og 2 % inflasjon?

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Talet på abonnentar på ei strøymeteneste blir modellert med $\displaystyle P(t) = \frac{500\,000}{1 + 49e^{-0{,}3t}}$ der $t$ er i månadar. Finn $P(0)$ og bereevna $L$ .

Når har tenesta 250 000 abonnentar? Kva er veksten per månad då?

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Ei bedrift gir ein konstant inntektsstraum på 80 000 kr per år i 10 år. Finn nåverdien med kontinuerleg diskontering og rente $r = 0{,}05$ .

Kva ville nåverdien vore dersom inntektsstraumen varte evig?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Ei investering på 1 000 000 kr gir inntektsstraum $R(t) = 200\,000 e^{-0{,}02t}$ kr/år i 10 år. Finn nåverdien med $r = 0{,}06$ .

Er investeringa lønsam?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

BNP-et i Noreg i 2020 var ca. 3500 milliardar kr. Gå ut frå ein årleg vekst på 2 %. Set opp ein modell og finn BNP i 2030.

Når doblar BNP seg?

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

(Fordjuping) Løys oppgåvene:

Vis at løysinga av differensiallikninga $K'(t) = rK(t)$ med $K(0) = K_0$ er $K(t) = K_0 e^{rt}$ .

Ein konto har kontinuerleg forrenting med $r = 0{,}04$ og du gjer òg løpande innskot på $s$ kr per år. Set opp differensiallikninga og finn $K(t)$ .

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Ein salsmarknad er modellert med $\displaystyle S(t) = \frac{2000}{1 + 19e^{-0{,}4t}}$ einingar per veke. Finn tidspunktet for raskast salsvekst og den maksimale vekstraten.

Vis at $S'(t) = 0{,}4 S(t)(1 - S(t)/2000)$ ved å derivere $S(t)$ .

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Du vurderer to investeringar med rente $r = 0{,}05$ . A: 100 000 kr no. B: 110 000 kr om 2 år. Kva for ei er best (basert på nåverdi)?

For kva for ei rente $r$ er dei to investeringane likeverdige?

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

(Fordjuping) Løys oppgåvene:

Ei bedrift har årleg inntektsstraum $R(t) = 100\,000(1 + 0{,}03t)$ kr/år (lineært veksande). Finn nåverdien over 5 år med $r = 0{,}06$ (kontinuerleg).

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Forklar skilnaden mellom eksponentiell og logistisk vekst med eigne ord.

Nemn to døme på økonomiske fenomen som passar best med logistisk vekst.

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Ein kapital veks med kontinuerleg rente 7 %. Finn den eksakte årlege renta.

Ei investering gir 4 % årleg avkastning. Finn den kontinuerlege renta.

Løs oppgaven

Oppsummering

Eksponentiell vekst: $K(t) = K_0(1+r)^t$ eller $K(t) = K_0 e^{r_k t}$
- Doblingstid: $\displaystyle T_2 = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$ (72-regelen: $\displaystyle \approx \frac{72}{p}$ der $p$ er renta i prosent)

Nåverdi: $\displaystyle NV = \frac{B}{(1+r)^t}$ (verdien i dag av eit framtidig beløp)
- Kontinuerleg inntektsstraum: $NV = \int_0^T R(t) e^{-rt} \, dt$
- Evig konstant inntekt: $\displaystyle NV = \frac{R}{r}$

Logistisk vekst: $\displaystyle P(t) = \frac{L}{1 + ae^{-kt}}$
- S-forma kurve med bereevne $L$
- Raskast vekst ved $P = L/2$

Realverdi: $r_{\text{real}} \approx r_{\text{nominell}} - \text{inflasjon}$

Samanheng: $(1+r)^t = e^{t \ln(1+r)}$ , altså er kontinuerleg rente $r_k = \ln(1+r)$ .

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.