8.5 Optimering med bibetingelser | Matematikk S2

Løse optimeringsproblemer med liknings- og ulikhetsbibetingelser.

60 min

19 oppgaver

OptimeringBibetingelserLagrange-multiplikatorerLineær programmering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Optimering

Økonomisk vekst

Mange økonomiske storleikar endrar seg over tid: BNP, folketal, aksjeverdiar, gjeld. For å skildre og føreseie slik utvikling brukar vi vekstmodellar baserte på eksponentialfunksjonar og differensiallikningar.

I dette kapittelet knyter vi saman det vi har lært om eksponentialfunksjonar, derivasjon og integrasjon med praktiske økonomiske problemstillingar som rentes rente, inflasjon og berekraftig vekst.

Eksponentiell vekst og rentes rente

r

📜Doblingstid og halveringstid

For eksponentiell vekst

K(t) = K_0 \cdot e^{rt}

med

r > 0

er doblingstida:

T_2 = \frac{\ln 2}{r} \approx \frac{0{,}693}{r}

For eksponentiell vekst $K(t) = K_0 \cdot (1+r)^t$ er doblingstida:
$T_2 = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$

Tilnærmingsformel (72-regelen): $\displaystyle T_2 \approx \frac{72}{r \cdot 100}$ der $r$ er renta i prosent.

Døme: Med 6 % rente er doblingstida ca. $\displaystyle \frac{72}{6} = 12$ år.

Halveringstid (for $r < 0$ ): $\displaystyle T_{1/2} = \frac{\ln 2}{|r|}$

✏️Sparekonto med rentes rente

Du set inn 50 000 kr på ein konto med 4 % årleg rente.

a) Set opp ein modell for kapitalen $K(t)$ etter $t$ år.
b) Kor mykje har du etter 10 år?
c) Finn doblingstida.
d) Kor lang tid tek det å nå 100 000 kr?

a) Modell:

K(t) = 50\,000 \cdot 1{,}04^t

b) Etter 10 år:
$K(10) = 50\,000 \cdot 1{,}04^{10} = 50\,000 \cdot 1{,}4802 \approx 74\,012 \text{ kr}$

c) Doblingstid:
$T_2 = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}04} = \frac{0{,}6931}{0{,}03922} \approx 17{,}7 \text{ år}$

72-regelen: $\displaystyle \frac{72}{4} = 18$ år (god tilnærming).

d) Tid til 100 000 kr:
$50\,000 \cdot 1{,}04^t = 100\,000$
$1{,}04^t = 2$
$t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}04} \approx 17{,}7 \text{ år}$

(Same som doblingstida, naturlegvis.)

Nåverdi og realverdi

Nåverdi er verdien i dag av ei framtidig utbetaling, diskontert med ei kalkulasjonsrente.

Dersom du skal motta beløpet $B$ om $t$ år og kalkulasjonsrenta er $r$ , er nåverdien:
$NV = \frac{B}{(1+r)^t} = B \cdot (1+r)^{-t}$

Nåverdi av ei betalingsrekkje $a_1, a_2, \ldots, a_n$ motteke etter 1, 2, ..., $n$ år:
$NV = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{(1+r)^k}$

For like betalingar $a$ i $n$ år (annuitet):
$NV = a \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}$

Realverdi tek omsyn til inflasjon. Med inflasjon $i$ er realrenta ca. $r_{\text{real}} \approx r - i$ (eksakt: $\displaystyle r_{\text{real}} = \frac{1+r}{1+i} - 1$ ).

Nåverdi

B

✏️Nåverdi av investering

Ei bedrift vurderer ei investering på 500 000 kr som gir følgjande inntekter:
- År 1: 150 000 kr
- År 2: 200 000 kr
- År 3: 250 000 kr

Kalkulasjonsrenta er 8 %. Er investeringa lønsam?

Nåverdi av inntektene:

NV = \frac{150\,000}{1{,}08^1} + \frac{200\,000}{1{,}08^2} + \frac{250\,000}{1{,}08^3}

$= \frac{150\,000}{1{,}08} + \frac{200\,000}{1{,}1664} + \frac{250\,000}{1{,}2597}$

$\approx 138\,889 + 171\,468 + 198\,456 = 508\,813 \text{ kr}$

Netto nåverdi (NNV):
$NNV = 508\,813 - 500\,000 = 8\,813 \text{ kr}$

Sidan $NNV > 0$ er investeringa lønsam (men berre marginalt). Ho gir ei avkastning litt over 8 %.

Logistisk vekst

Eksponentiell vekst er urealistisk over lang tid fordi han går ut frå ubegrensa vekst. I praksis blir veksten avgrensa av ressursar, marknadsstorleik eller kapasitet.

Logistisk vekst modellerer avgrensa vekst:
$P(t) = \frac{L}{1 + ae^{-kt}}$

der:
- $L$ er bereevna (øvre grense / metningsverdi)
- $\displaystyle a = \frac{L - P_0}{P_0}$ blir bestemt av startverdien $P_0 = P(0)$
- $k > 0$ er vekstkonstanten

Eigenskapar:
- $P(t) \to L$ når $t \to \infty$ (nærmar seg bereevna)
- Veksten er raskast når $\displaystyle P = \frac{L}{2}$ (vendepunktet)
- S-forma kurve (sigmoid)

Logistisk vekstmodell

P(t) = \frac{L}{1 + ae^{-kt}}

✏️Logistisk vekst i marknadspenetrasjon

Talet på brukarar av ein ny app blir modellert med $\displaystyle P(t) = \frac{100\,000}{1 + 99e^{-0{,}5t}}$ der $t$ er talet på månadar etter lansering.

a) Kor mange brukarar er det ved lansering ( $t = 0$ )?
b) Kva er det maksimale talet på brukarar?
c) Når er veksten raskast, og kor mange nye brukarar per månad får appen då?

a) Ved lansering:

P(0) = \frac{100\,000}{1 + 99} = \frac{100\,000}{100} = 1000 \text{ brukarar}

b) Maksimalt tal:
$\lim_{t \to \infty} P(t) = \frac{100\,000}{1 + 0} = 100\,000 \text{ brukarar}$

Bereevna er $L = 100\,000$ .

c) Raskast vekst:
Vendepunktet er der $\displaystyle P = \frac{L}{2} = 50\,000$ .

Tidspunktet: $\displaystyle t_v = \frac{\ln 99}{0{,}5} = \frac{4{,}595}{0{,}5} \approx 9{,}2$ månadar.

Veksthastigheita i vendepunktet:
$P'(t_v) = kP\left(1 - \frac{P}{L}\right) = 0{,}5 \cdot 50\,000 \cdot \left(1 - \frac{50\,000}{100\,000}\right) = 0{,}5 \cdot 50\,000 \cdot 0{,}5 = 12\,500$

Appen veks raskast etter ca. 9,2 månadar med ca. 12 500 nye brukarar per månad.

📜Kontinuerleg inntektsstraum (nåverdi med integral)

Dersom ei investering gir ein kontinuerleg inntektsstraum

R(t)

kroner per år i

T

år, og kalkulasjonsrenta er

r

(kontinuerleg), er nåverdien:

$NV = \int_0^T R(t) \cdot e^{-rt} \, dt$

Spesialtilfelle: Konstant inntekt $R(t) = R$ :
$NV = R \int_0^T e^{-rt} \, dt = R \cdot \frac{1 - e^{-rT}}{r}$

Når $T \to \infty$ (evig inntektsstraum):
$NV = \frac{R}{r}$

Dette blir kalla kapitaliseringsformelen.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Du set inn 100 000 kr med 5 % årleg rente. Kor mykje har du etter 15 år?

Finn doblingstida med 72-regelen og med den eksakte formelen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn nåverdien av 200 000 kr som blir motteke om 5 år med kalkulasjonsrente 6 %.

Kva er nåverdien av 50 000 kr per år i 3 år med 8 % rente?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Ein kapital veks ifølgje $K(t) = 80\,000 \cdot e^{0{,}06t}$ . Finn startkapitalen og den kontinuerlege renta.

Kva er den tilsvarande årlege renta?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Renta på ein sparekonto er 3 % og inflasjonen er 2 %. Kva er realrenta?

Du har 500 000 kr. Kva er realverdien etter 10 år med 3 % nominell rente og 2 % inflasjon?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Talet på abonnentar på ei strøymeteneste blir modellert med $\displaystyle P(t) = \frac{500\,000}{1 + 49e^{-0{,}3t}}$ der $t$ er i månadar. Finn $P(0)$ og bereevna $L$ .

Når har tenesta 250 000 abonnentar? Kva er veksten per månad då?

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Ei bedrift gir ein konstant inntektsstraum på 80 000 kr per år i 10 år. Finn nåverdien med kontinuerleg diskontering og rente $r = 0{,}05$ .

Kva ville nåverdien vore dersom inntektsstraumen varte evig?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Ei investering på 1 000 000 kr gir inntektsstraum $R(t) = 200\,000 e^{-0{,}02t}$ kr/år i 10 år. Finn nåverdien med $r = 0{,}06$ .

Er investeringa lønsam?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

BNP-et i Noreg i 2020 var ca. 3500 milliardar kr. Gå ut frå ein årleg vekst på 2 %. Set opp ein modell og finn BNP i 2030.

Når doblar BNP seg?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Vis at løysinga av differensiallikninga $K'(t) = rK(t)$ med $K(0) = K_0$ er $K(t) = K_0 e^{rt}$ .

Ein konto har kontinuerleg forrenting med $r = 0{,}04$ og du gjer òg løpande innskot på $s$ kr per år. Set opp differensiallikninga og finn $K(t)$ .

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Ein salsmarknad er modellert med $\displaystyle S(t) = \frac{2000}{1 + 19e^{-0{,}4t}}$ einingar per veke. Finn tidspunktet for raskast salsvekst og den maksimale vekstraten.

Vis at $S'(t) = 0{,}4 S(t)(1 - S(t)/2000)$ ved å derivere $S(t)$ .

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Du vurderer to investeringar med rente $r = 0{,}05$ . A: 100 000 kr no. B: 110 000 kr om 2 år. Kva for ei er best (basert på nåverdi)?

For kva for ei rente $r$ er dei to investeringane likeverdige?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Ei bedrift har årleg inntektsstraum $R(t) = 100\,000(1 + 0{,}03t)$ kr/år (lineært veksande). Finn nåverdien over 5 år med $r = 0{,}06$ (kontinuerleg).

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Forklar skilnaden mellom eksponentiell og logistisk vekst med eigne ord.

Nemn to døme på økonomiske fenomen som passar best med logistisk vekst.

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Ein kapital veks med kontinuerleg rente 7 %. Finn den eksakte årlege renta.

Ei investering gir 4 % årleg avkastning. Finn den kontinuerlege renta.

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Eksponentiell vekst: $K(t) = K_0(1+r)^t$ eller $K(t) = K_0 e^{r_k t}$
- Doblingstid: $\displaystyle T_2 = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$ (72-regelen: $\displaystyle \approx \frac{72}{r \cdot 100}$ )

Nåverdi: $\displaystyle NV = \frac{B}{(1+r)^t}$ (verdien i dag av eit framtidig beløp)
- Kontinuerleg inntektsstraum: $NV = \int_0^T R(t) e^{-rt} \, dt$
- Evig konstant inntekt: $\displaystyle NV = \frac{R}{r}$

Logistisk vekst: $\displaystyle P(t) = \frac{L}{1 + ae^{-kt}}$
- S-forma kurve med bereevne $L$
- Raskast vekst ved $P = L/2$

Realverdi: $r_{\text{real}} \approx r_{\text{nominell}} - \text{inflasjon}$

Samanheng: $(1+r)^t = e^{t \ln(1+r)}$ , altså er kontinuerleg rente $r_k = \ln(1+r)$ .

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.