8.2 Optimering av overskot | Matematikk S2

Lær om maksimering av overskotet, regelen $I'(x) = K'(x)$, marginalanalyse, lønsemd og korleis ein finn optimalt produksjonsnivå med derivasjon.

55 min

21 oppgaver

OverskotsfunksjonenI'(x) = K'(x)Nullpunkt for overskotetMarginalanalyseLønsemd og einingskostnad

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Kostnads- og inntektsfunksjoner

Overskot og optimering

Overskot er skilnaden mellom inntekt og kostnad. Ei bedrift ønskjer å maksimere overskotet, og vi kan bruke derivasjon til å finne det produksjonsnivået som gjev størst overskot.

Overskotsfunksjonen er definert som:
$O(x) = I(x) - K(x)$

der $I(x)$ er totalinntekta og $K(x)$ er totalkostnaden. Maksimering av overskotet er kanskje den viktigaste bruken av derivasjon i økonomisk analyse.

Overskotsfunksjonen

O(x)

📜Størst overskot:

I'(x) = K'(x)

Overskotet

O(x) = I(x) - K(x)

er størst når:

$\begin{aligned} &O'(x) = 0 \\ \Leftrightarrow {}&I'(x) - K'(x) = 0 \\ \Leftrightarrow {}&I'(x) = K'(x) \end{aligned}$

Det vil seie: Overskotet er maksimalt der grenseinntekta $I'(x)$ er lik grensekostnaden $K'(x)$ .

I tillegg må vi ha $O''(x) < 0$ , altså $I''(x) < K''(x)$ for at det skal vere eit maksimum.

Regelen $I'(x) = K'(x)$ :
- Så lenge $I'(x) > K'(x)$ : kvar ekstra eining gjev meir inntekt enn han kostar $\Rightarrow$ auk produksjonen
- Når $I'(x) < K'(x)$ : kvar ekstra eining kostar meir enn han gjev i inntekt $\Rightarrow$ reduser produksjonen
- Optimalt: $I'(x) = K'(x)$

✏️Maksimering av overskotet med fast pris

Ei bedrift sel ei vare til fast pris $p = 60$ kroner per eining. Kostnadsfunksjonen er $K(x) = 0{,}02x^3 - 1{,}5x^2 + 50x + 400$ .

a) Finn overskotsfunksjonen $O(x)$ .
b) Finn det optimale produksjonsnivået.
c) Rekn ut det maksimale overskotet.

a) Overskotsfunksjon:

I(x) = 60x

\begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= 60x - 0{,}02x^3 + 1{,}5x^2 - 50x - 400 \end{aligned}

O(x) = -0{,}02x^3 + 1{,}5x^2 + 10x - 400

b) Optimalt produksjonsnivå:
$O'(x) = -0{,}06x^2 + 3x + 10 = 0$

Alternativt: $I'(x) = K'(x)$ :
$60 = 0{,}06x^2 - 3x + 50$
$0{,}06x^2 - 3x - 10 = 0$

Med abc-formelen:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 2{,}4}}{0{,}12} = \frac{3 \pm \sqrt{11{,}4}}{0{,}12}$

$x = \frac{3 + 3{,}376}{0{,}12} \approx 53{,}1 \quad \text{(forkastar negativ løysing)}$

Optimalt produksjonsnivå: om lag 53 einingar.

c) Maksimalt overskot:
Vi verifiserer at $O''(53{,}1) = -0{,}12 \cdot 53{,}1 + 3 = -3{,}37 < 0$ . Det er maksimum.

$O(53) = -0{,}02 \cdot 148877 + 1{,}5 \cdot 2809 + 530 - 400$
$\approx -2977{,}5 + 4213{,}5 + 530 - 400 = 1366 \text{ kroner}$

Svar: a) $O(x) = -0{,}02x^3 + 1{,}5x^2 + 10x - 400$ . b) Optimalt produksjonsnivå er om lag 53 einingar. c) Det maksimale overskotet er om lag 1366 kroner.

Grafisk tolking av maksimering av overskotet

Grafisk kan vi forstå maksimering av overskotet på to måtar:

Grafen til overskotsfunksjonen $O(x)$ :
Største overskot er toppunktet på grafen til $O(x)$ . Vi finn det ved å setje $O'(x) = 0$ .

Kostnad og inntekt i same koordinatsystem:
Overskotet $O(x) = I(x) - K(x)$ er den vertikale avstanden mellom inntektskurva og kostnadskurva. Denne avstanden er størst der tangentane til $I(x)$ og $K(x)$ er parallelle, altså der $I'(x) = K'(x)$ .

Nullpunkt for overskotet:
Bedrifta har overskot ( $O(x) > 0$ ) i det intervallet der $I(x) > K(x)$ . Nullpunkta til $O(x)$ vert kalla overskotsgrenser og angir produksjonsnivåa der inntekta akkurat dekkjer kostnadene.

Nullpunkt for overskotet

O(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad I(x) = K(x)

✏️Maksimering av overskotet med variabel pris

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = x^2 + 20x + 200$ og etterspurnadsfunksjonen $p(x) = 100 - x$ .

a) Finn overskotsfunksjonen $O(x)$ .
b) Finn det produksjonsnivået som gjev størst overskot.
c) Finn nullpunkta for overskotet.

a) Overskotsfunksjon:

I(x) = (100 - x)x = 100x - x^2

\begin{aligned} O(x) &= 100x - x^2 - x^2 - 20x - 200 \\ &= -2x^2 + 80x - 200 \end{aligned}

b) Maksimering av overskotet:
$O'(x) = -4x + 80 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 20$

$O''(x) = -4 < 0$ , så $x = 20$ gjev maksimum.

Alternativt med $I'(x) = K'(x)$ :
$\begin{aligned} &I'(x) = K'(x) \\ \Rightarrow {}&100 - 2x = 2x + 20 \\ \Rightarrow {}&x = 20 \end{aligned}$

$\begin{aligned} O(20) &= -2 \cdot 400 + 80 \cdot 20 - 200 \\ &= -800 + 1600 - 200 \\ &= 600 \text{ kroner} \end{aligned}$

Optimal produksjon er 20 einingar med overskot 600 kroner. Prisen vert $p(20) = 80$ kr.

c) Nullpunkt for overskotet:
$\begin{aligned} &O(x) = 0: \quad -2x^2 + 80x - 200 = 0 \\ \Rightarrow {}&x^2 - 40x + 100 = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} x &= \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 400}}{2} \\ &= \frac{40 \pm \sqrt{1200}}{2} \\ &= 20 \pm 10\sqrt{3} \end{aligned}$

$x_1 \approx 2{,}7 \quad \text{og} \quad x_2 \approx 37{,}3$

Bedrifta har overskot for $x \in \langle 2{,}7;\ 37{,}3 \rangle$ .

Svar: a) $O(x) = -2x^2 + 80x - 200$ . b) 20 einingar gir størst overskot, 600 kroner, til pris 80 kroner. c) Nullpunkta for overskotet er $x = 20 - 10\sqrt{3} \approx 2{,}7$ og $x = 20 + 10\sqrt{3} \approx 37{,}3$ .

📜Maksimering av overskotet ved fast pris

Dersom ei bedrift sel til fast pris

p

(fullkomen konkurranse), er

I(x) = px

I'(x) = p

$I'(x) = K'(x)$ gjev:
$p = K'(x)$

Overskotet er maksimalt der prisen er lik grensekostnaden.

Kravet til den dobbeltderiverte: $O''(x) = -K''(x) < 0$ , altså $K''(x) > 0$ , som tyder at grensekostnaden skal vere veksande i det optimale punktet.

✏️Overskot med tredjegradskostnad

Ei bedrift har $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 20x + 300$ og sel til fast pris $p = 20$ . Finn det produksjonsnivået som gjev størst overskot.

Overskotsfunksjon:

O(x) = 20x - (0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 20x + 300)

O(x) = -0{,}01x^3 + 0{,}6x^2 - 300

$I'(x) = K'(x)$ :
$20 = 0{,}03x^2 - 1{,}2x + 20$
$0{,}03x^2 - 1{,}2x = 0$
$0{,}03x(x - 40) = 0$
$x = 0 \quad \text{eller} \quad x = 40$

$O''(x) = -0{,}06x + 1{,}2$ . $O''(40) = -2{,}4 + 1{,}2 = -1{,}2 < 0$ : maksimum.
$O''(0) = 1{,}2 > 0$ : minimum.

Optimalt produksjonsnivå er $x = 40$ .

$\begin{aligned} O(40) &= -0{,}01 \cdot 64000 + 0{,}6 \cdot 1600 - 300 \\ &= -640 + 960 - 300 \\ &= 20 \text{ kroner} \end{aligned}$

Svar: Overskotet er størst ved $x = 40$ einingar, og då er overskotet 20 kroner.

✏️Marginalanalyse med variabel pris

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 2x^2 + 20x + 500$ og etterspurnadsfunksjonen $p(x) = 120 - x$ .

a) Finn grensekostnaden og grenseinntekta.
b) Avgjer det optimale produksjonsvolumet og den tilhøyrande prisen.
c) Er $O'(30)$ positiv eller negativ? Tolk svaret.

a) Grensestorleikar:

$K'(x) = 4x + 20$ (grensekostnad)

$I(x) = (120 - x)x = 120x - x^2$
$I'(x) = 120 - 2x$ (grenseinntekt)

b) Optimalt volum ( $I'(x) = K'(x)$ ):

$120 - 2x = 4x + 20$
$100 = 6x$
$\displaystyle x = \frac{100}{6} \approx 16{,}7$

Sidan $x$ bør vere eit heilt tal, samanliknar vi: $O(16) = 332$ og $O(17) = 333$ , så $x = 17$ .
$p(17) = 120 - 17 = 103$ kr per eining.

Sjekk: $O''(x) = I''(x) - K''(x) = -2 - 4 = -6 < 0$ , altså toppunkt.

c) Grenseoverskot ved $x = 30$ :

$O'(30) = I'(30) - K'(30) = (120 - 60) - (120 + 20) = 60 - 140 = -80$

$O'(30) < 0$ : ved $x = 30$ løner det seg ikkje å auke produksjonen. Bedrifta bør redusere til ca. 17 einingar.

Svar: a) $K'(x) = 4x + 20$ og $I'(x) = 120 - 2x$ . b) 17 einingar til pris 103 kr. c) $O'(30) = -80 < 0$ : overskotet minkar ved $x = 30$ , så produksjonen bør ned mot 17 einingar.

✏️Einingskostnad og lønsemd

Ei bedrift har $K(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 200$ og sel vara til fast pris $p = 40$ kroner per eining.

a) Finn einingskostnaden $E(x)$ og avgjer for kva for ein $x$ han er minst.
b) Er bedrifta lønsam ved minimum einingskostnad? Grunngi svaret.

a) Einingskostnad:

$E(x) = \frac{K(x)}{x} = 0{,}5x + 10 + \frac{200}{x}$

$\begin{aligned} &E'(x) = 0{,}5 - \frac{200}{x^2} = 0 \\ \Rightarrow {}&x^2 = 400 \\ \Rightarrow {}&x = 20 \end{aligned}$

$E(20) = 10 + 10 + 10 = 30 \text{ kr/eining}$

b) Lønsemd:

Ved $x = 20$ er einingskostnaden $E(20) = 30$ kr, som er lågare enn prisen $p = 40$ kr.

Overskot per eining: $p - E(20) = 40 - 30 = 10$ kr/eining.

Totalt overskot: $O(20) = 40 \cdot 20 - K(20) = 800 - (200 + 200 + 200) = 800 - 600 = 200$ kr.

Ja, bedrifta er lønsam. Den minimale einingskostnaden (30 kr) er lågare enn salsprisen (40 kr), så bedrifta tener pengar.

Strategi for overskotsoppgåver på eksamen

Framgangsmåte:
- Set opp $O(x) = I(x) - K(x)$
- Deriver: $O'(x) = I'(x) - K'(x)$
- Løys $O'(x) = 0$ (eller $I'(x) = K'(x)$ )
- Sjekk at $O''(x) < 0$ for å stadfeste maksimum
- Rekn ut $O(x)$ i det optimale punktet

Hugs: Oppgåva kan be om ulike ting:
- «Finn optimalt produksjonsnivå» $\Rightarrow$ finn $x$ der $O'(x) = 0$
- «Finn det maksimale overskotet» $\Rightarrow$ rekn ut $O(x)$ i optimalt punkt
- «Finn prisen ved optimal produksjon» $\Rightarrow$ set $x$ inn i $p(x)$
- «Finn nullpunkta for overskotet» $\Rightarrow$ løys $O(x) = 0$

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Ei bedrift har $K(x) = x^2 + 10x + 100$ og sel til fast pris $p = 50$ . Set opp overskotsfunksjonen $O(x)$ .

Finn det optimale produksjonsnivået og det maksimale overskotet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Bruk regelen $I'(x) = K'(x)$ til å finne optimalt produksjonsnivå for $K(x) = 2x^2 + 8x + 200$ med fast pris $p = 40$ .

Rekn ut overskotet ved optimalt produksjonsnivå.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Forklar med eigne ord kvifor overskotet er maksimalt der $I'(x) = K'(x)$ .

Kva er skilnaden mellom å maksimere inntekta og å maksimere overskotet? Gje eit døme.

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Finn nullpunkta for overskotet for $O(x) = -x^2 + 30x - 200$ .

For kva produksjonsnivå har bedrifta overskot?

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Ei bedrift har etterspurnad $p(x) = 200 - 4x$ og kostnad $K(x) = 2x^2 + 40x + 100$ . Finn overskotsfunksjonen og optimalt produksjonsnivå.

Finn det maksimale overskotet og prisen ved optimal produksjon.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Ei bedrift har $K(x) = 0{,}05x^3 - 3x^2 + 80x + 500$ og fast pris $p = 50$ . Set opp overskotsfunksjonen og finn stasjonære punkt.

Avgjer kva løysing som gjev største overskot, og rekn ut overskotet.

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Ei bedrift har $K(x) = 0{,}5x^2 + 20x + 450$ og etterspurnad $p(x) = 80 - 0{,}5x$ . Finn nullpunkta for overskotet.

Finn det optimale produksjonsnivået og vis at det ligg mellom nullpunkta for overskotet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Ei bedrift har $K(x) = 3x^2 + 30x + c$ og sel til fast pris $p = 90$ . Finn den verdien av $c$ (faste kostnader) som gjer at det maksimale overskotet er akkurat null.

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Ein monopolist har etterspurnad $p(x) = 150 - 3x$ og kostnad $K(x) = 0{,}5x^3 - 10x^2 + 80x + 100$ . Finn det overskotsmaksimerande produksjonsnivået.

Rekn ut det maksimale overskotet og prisen til monopolisten.

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Ei bedrift med kostnad $K(x) = 2x^2 + bx + 500$ sel til pris $p = 100$ . Optimalt produksjonsnivå er $x = 20$ . Bestem $b$ .

Finn nullpunkta for overskotet med den funne $b$ -verdien.

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Ei bedrift har $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 15x + 200$ og etterspurnad $p(x) = 35 - 0{,}2x$ . Set opp overskotsfunksjonen.

Finn det optimale produksjonsnivået med $I'(x) = K'(x)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Vis at for ei bedrift med andregradskostnad $K(x) = ax^2 + bx + c$ og lineær etterspurnad $p(x) = d - ex$ , er det overskotsmaksimerande produksjonsnivået $\displaystyle x = \frac{d-b}{2(a+e)}$ .

Vis at det maksimale overskotet er $\displaystyle O_{\max} = \frac{(d-b)^2}{4(a+e)} - c$ .

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Ei bedrift har $I(x) = 60x$ og $K(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 200$ . Teikn grafane til $I(x)$ og $K(x)$ i CAS og finn nullpunkta for overskotet grafisk.

Finn optimalt produksjonsnivå og maksimalt overskot.

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Ei bedrift har $K(x) = 3x^2 + 20x + 600$ og sel til fast pris $p = 80$ kr. Finn det optimale produksjonsvolumet.

Rekn ut det maksimale overskotet. Kva seier resultatet?

Løs oppgaven

📝Oppgave 15

Løys oppgåvene:

Ei bedrift har $K(x) = 2x^2 + 10x + 800$ og etterspurnadsfunksjonen $p(x) = 90 - x$ . Finn $I(x)$ og $O(x)$ .

Finn nullpunkta for overskotet (bruk diskriminanten).

Ei bedrift har $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 15x + 300$ og fast pris $p = 25$ kr. Finn det optimale produksjonsvolumet ved å setje $O'(x) = 0$ (bruk CAS).

Løs oppgaven

Oppsummering

Overskotsfunksjonen:
$O(x) = I(x) - K(x)$

Regelen $I'(x) = K'(x)$ :
Overskotet er maksimalt der grenseinntekta er lik grensekostnaden:
$I'(x) = K'(x)$

Sjekk at $O''(x) < 0$ for å stadfeste at det er eit maksimumspunkt.

Ved fast pris $p$ :
$p = K'(x) \quad \text{(pris = grensekostnad)}$

Nullpunkt for overskotet:
$O(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad I(x) = K(x)$

Bedrifta har overskot i intervallet mellom nullpunkta for overskotet.

Strategi: Bruk $I'(x) = K'(x)$ som hovudverktøy. Det er ofte enklare enn å derivere heile overskotsfunksjonen.

Lønsemd: Ved produksjonsnivået $x$ går bedrifta med overskot når prisen er høgare enn einingskostnaden, $\displaystyle p > E(x) = \frac{K(x)}{x}$ .

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.