7.5 Rekursive samanhengar | Matematikk S2

Lær om rekursive formlar, samanhengen mellom rekursive og eksplisitte uttrykk, og berømte følgjer som Fibonacci.

50 min

19 oppgaver

Rekursiv formelFibonacci-følgjaLineære rekursive samanhengar av første ordenStabil og ustabil likevekt

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.3Uendelige geometriske rekker

Brukes videre i

9.2Figurtall og rekursive sammenhenger 9.3Programmering med følger og rekker

Å definere følgjer steg for steg

Til no har vi i hovudsak brukt eksplisitte formlar for å skildre følgjer: ein formel som gjev $a_n$ direkte som funksjon av $n$ . Men nokre gonger er det meir naturleg å skildre ei følgje ved å fortelje korleis kvart ledd vert rekna ut frå dei(t) føregåande. Ei slik skildring vert kalla ein rekursiv formel.

I ein rekursiv definisjon treng vi:
1. Ein startverdi (eller fleire): $a_1 = \ldots$
2. Ein rekursiv samanheng: $a_{n+1} = f(a_n)$

Rekursive modellar vert mykje brukte i biologi, økonomi og informatikk.

Rekursiv formel

a_1

Samanhengen mellom rekursiv og eksplisitt form

For aritmetiske og geometriske følgjer kan vi alltid finne ein eksplisitt formel:

Følgjetype	Rekursiv form	Eksplisitt form
Aritmetisk	$a_{n+1} = a_n + d$	$a_n = a_1 + (n-1)d$
Geometrisk	$a_{n+1} = k \cdot a_n$	$a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$

For meir kompliserte rekursive samanhengar er det ikkje alltid mogleg å finne ein eksplisitt formel. Då må vi rekne ut ledda steg for steg.

✏️Frå rekursiv til eksplisitt formel

Ei følgje er definert ved $a_1 = 7$ og $a_{n+1} = a_n + 4$ . Finn ein eksplisitt formel for $a_n$ og rekn ut $a_{50}$ .

Vi kjenner att dette som ei aritmetisk følgje med

a_1 = 7

d = 4

Eksplisitt formel:
$a_n = 7 + (n-1) \cdot 4 = 4n + 3$

Kontroll: $a_1 = 4 \cdot 1 + 3 = 7$ , $a_2 = 4 \cdot 2 + 3 = 11 = 7 + 4$

Utrekning:
$a_{50} = 4 \cdot 50 + 3 = 203$

Svar: $a_n = 4n + 3$ og $a_{50} = 203$

Fibonacci-følgja

F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n

📜Lineære rekursive samanhengar av første orden

Ein lineær rekursiv samanheng av første orden har forma:

$a_{n+1} = p \cdot a_n + q$

der $p$ og $q$ er konstantar.

- Dersom $q = 0$ : geometrisk følgje med $k = p$
- Dersom $p = 1$ : aritmetisk følgje med $d = q$
- Generelt ( $p \neq 1$ ): følgja har eit likevektspunkt $\displaystyle a^* = \frac{q}{1 - p}$ , og den eksplisitte formelen er:

$a_n = (a_1 - a^*) \cdot p^{n-1} + a^*$

Følgja konvergerer mot $a^*$ dersom $|p| < 1$ .

✏️Rekursiv modell: medisinering

Ein pasient tek 100 mg av eit medikament dagleg. Kroppen bryt ned $40\%$ av medikamentet i løpet av eit døgn. Lat $a_n$ vere mengda medisin i kroppen rett etter den $n$ -te dosen. Set opp ein rekursiv formel og finn den stabile mengda.

Rekursiv formel:
Etter ein dag er

60\%

av førre mengd att, pluss ny dose:

a_1 = 100, \quad a_{n+1} = 0{,}6 \cdot a_n + 100

Rekn ut dei første ledda:
- $a_1 = 100$
- $a_2 = 0{,}6 \cdot 100 + 100 = 160$
- $a_3 = 0{,}6 \cdot 160 + 100 = 196$
- $a_4 = 0{,}6 \cdot 196 + 100 = 217{,}6$

Likevektspunkt (stabil mengd):
$a^* = \frac{q}{1 - p} = \frac{100}{1 - 0{,}6} = \frac{100}{0{,}4} = 250 \text{ mg}$

Sidan $|p| = 0{,}6 < 1$ , konvergerer mengda mot 250 mg.

Eksplisitt formel:
$\begin{aligned} a_n &= (100 - 250) \cdot 0{,}6^{n-1} + 250 \\ &= 250 - 150 \cdot 0{,}6^{n-1} \end{aligned}$

Svar: $a_1 = 100$ , $a_{n+1} = 0{,}6 \cdot a_n + 100$ . Den stabile mengda er 250 mg.

Rekursive modellar i praksis

Rekursive modellar er kraftige verktøy for å skildre system som utviklar seg over tid:

- Folkesetnadsmodellar: logistisk vekst $\displaystyle P_{n+1} = P_n + r \cdot P_n \left(1 - \frac{P_n}{K}\right)$ , der $K$ er bereevna
- Medisinering: Dagleg dose med nedbryting
- Økonomi: Lån med renter og avdrag: $R_{n+1} = R_n \cdot (1+r) - T$
- Rekursive algoritmar: Mange algoritmar i informatikk er naturleg rekursive

Ein fordel med rekursive modellar er at dei er lette å implementere i rekneark eller programmering. Du treng berre å kjenne startverdien og regelen for å rekne ut neste ledd.

✏️Logistisk vekst rekursivt og med program

Ein fiskebestand i eit vatn har bereevne

K = 1000

fisk. Bestanden blir modellert med

$P_{n+1} = P_n + 0{,}5 \cdot P_n \left(1 - \frac{P_n}{1000}\right), \qquad P_1 = 100$

der $P_n$ er talet på fisk i år $n$ .

a) Rekn ut $P_2$ og $P_3$ .

b) Finn likevektene til modellen.

c) Lag eit program som reknar ut $P_n$ for $n \le 15$ , og beskriv utviklinga.

$\displaystyle P_2 = 100 + 0{,}5 \cdot 100 \cdot \left(1 - \frac{100}{1000}\right) = 100 + 45 = 145$

$\displaystyle P_3 = 145 + 0{,}5 \cdot 145 \cdot \left(1 - \frac{145}{1000}\right) \approx 145 + 62{,}0 = 207{,}0$

Svar: $P_2 = 145$ og $P_3 \approx 207$

Likevekt: $\displaystyle P = P + 0{,}5 \cdot P \left(1 - \frac{P}{1000}\right)$

$\displaystyle 0{,}5 \cdot P \left(1 - \frac{P}{1000}\right) = 0$

$P = 0 \quad \vee \quad P = 1000$

Svar: Likevektene er $P = 0$ og $P = K = 1000$ .

K = 1000  # bereevne
# vekstrate ved liten bestand
r = 0.5
P = 100  # P_1
print(f"P_1 = {P:.1f}")
for n in range(2, 16):
    P = P + r * P * (1 - P / K)
    print(f"P_{n} = {P:.1f}")

Utskrift (utval):

$n$	$P_n$
1	100,0
2	145,0
3	207,0
4	289,1
5	391,8
6	511,0
8	751,7
10	910,5
12	974,4
15	996,7

Veksten er størst rundt

P_n \approx 500

(halve bereevna) og avtek når bestanden nærmar seg 1000.
Svar: Bestanden veks først raskt og flatar så ut mot bereevna

K = 1000

. Etter 15 år er det ca. 997 fisk.

✏️Rekursiv modell: folkesetnadsvekst

Ein dyrepopulasjon veks med $10\%$ per år, men det vert hausta 50 individ kvart år. Ved start er det 400 dyr. Set opp ein rekursiv modell og finn likevektspunktet.

Rekursiv formel:

a_1 = 400, \quad a_{n+1} = 1{,}1 \cdot a_n - 50

Her er $p = 1{,}1$ og $q = -50$ .

Likevektspunkt:
$a^* = \frac{-50}{1 - 1{,}1} = \frac{-50}{-0{,}1} = 500$

Analyse: Sidan $|p| = 1{,}1 > 1$ , er likevektspunktet ustabilt:
- Dersom $a_n > 500$ : populasjonen veks utan grense
- Dersom $a_n < 500$ : populasjonen avtek mot null

Sjekk med startverdien $a_1 = 400 < 500$ :
- $a_2 = 1{,}1 \cdot 400 - 50 = 390$
- $a_3 = 1{,}1 \cdot 390 - 50 = 379$

Populasjonen avtek.

Svar: $a_1 = 400$ , $a_{n+1} = 1{,}1 \cdot a_n - 50$ . Likevektspunktet er 500 dyr, og det er ustabilt: med færre enn 500 dyr døyr bestanden ut.

Stabil og ustabil likevekt

a_{n+1} = p \cdot a_n + q

Binets formel (teoremet under og oppgåve 11) og prov ved induksjon (oppgåve 8 b) høyrer ikkje til læreplanen i matematikk S2 (MAT04-02). Det er fordjupingsstoff; induksjon høyrer heime i R2. Du treng det ikkje til S2-eksamen.

📜Binets formel for Fibonacci-tal (fordjuping)

Det

n

-te Fibonacci-talet kan uttrykkjast eksplisitt:

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right] = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$

der $\displaystyle \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ (det gylne snittet) og $\displaystyle \psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0{,}618$ .

Sidan $|\psi| < 1$ , er $\psi^n \to 0$ , slik at $\displaystyle F_n \approx \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}$ for store $n$ .

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Finn dei fem første ledda i følgja gjeven ved $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = 3a_n - 1$ .

Er følgja i a) aritmetisk eller geometrisk?

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Skriv opp ein rekursiv formel for den aritmetiske følgja $10, 16, 22, 28, \ldots$

Skriv opp ein rekursiv formel for den geometriske følgja $3, 12, 48, 192, \ldots$

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Finn dei ti første Fibonacci-tala.

Rekn ut forholdet $\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_n}$ for $n = 5, 6, 7, 8, 9$ og observer at det nærmar seg det gylne snittet.

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Ei følgje er gjeven ved $a_1 = 5$ , $a_{n+1} = 0{,}5 \cdot a_n + 3$ . Rekn ut $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ og $a_5$ .

Finn likevektspunktet og forklar kva som skjer med følgja.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Finn ein eksplisitt formel for følgja $a_1 = 10$ , $a_{n+1} = 0{,}8 \cdot a_n + 4$ .

Rekn ut $\lim_{n \to \infty} a_n$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Eit vassbasseng inneheld 1000 liter. Kvar dag vert $20\%$ av vatnet fjerna og det vert tilsett 150 liter ferskt vatn. Set opp ein rekursiv modell.

Finn den stabile vassmengda i bassenget.

Finn ein eksplisitt formel for $a_n$ og rekn ut $a_{10}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Ei følgje er gjeven ved $a_1 = 200$ , $a_{n+1} = 1{,}05 \cdot a_n - 20$ . Finn likevektspunktet.

Er likevekta stabil? Grunngjev svaret.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Vis at summen av to påfølgjande Fibonacci-tal $F_n + F_{n+1}$ gjev det neste Fibonacci-talet $F_{n+2}$ .

(Fordjuping) Vis at $F_1 + F_2 + F_3 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$ .

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Restgjelda på eit annuitetslån kan skildrast rekursivt: $R_0 = L$ , $R_{n+1} = R_n \cdot (1+r) - T$ . Vis at dette er ein lineær rekursjon av forma $a_{n+1} = p \cdot a_n + q$ og finn likevektspunktet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Ein fiskepopulasjon vert modellert med $P_1 = 500$ , $P_{n+1} = 1{,}15 \cdot P_n - 80$ . Finn likevektspunktet og avgjer om det er stabilt.

Kor mange fiskar må haustast årleg (i staden for 80) for at ein startpopulasjon på 500 fiskar skal vere i likevekt?

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

(Fordjuping) Bruk Binets formel til å rekne ut $F_{10}$ og sjekk svaret mot den rekursive utrekninga.

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Ein epidemimodell er gjeven ved $S_{n+1} = S_n - 0{,}001 \cdot S_n \cdot I_n$ og $I_{n+1} = I_n + 0{,}001 \cdot S_n \cdot I_n - 0{,}1 \cdot I_n$ , der $S_n$ er talet på mottakelege og $I_n$ er talet på smitta. Med $S_1 = 990$ og $I_1 = 10$ , rekn ut $S_2$ , $I_2$ , $S_3$ og $I_3$ .

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Lat $a_1 = c$ og $a_{n+1} = p \cdot a_n + q$ . Vis at den eksplisitte formelen er $a_n = (c - a^*) \cdot p^{n-1} + a^*$ der $\displaystyle a^* = \frac{q}{1-p}$ for $p \neq 1$ .

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Tårna i Hanoi: med $n$ skiver, er minimum tal på trekk gjeve ved $T_1 = 1$ , $T_{n+1} = 2T_n + 1$ . Finn dei fem første ledda.

Finn ein eksplisitt formel for $T_n$ .

Løs oppgaven

Oppsummering

Rekursiv formel: Definerer $a_{n+1}$ ut frå $a_n$ (og eventuelt $a_{n-1}$ , ...).

Lineær rekursjon: $a_{n+1} = p \cdot a_n + q$
- Likevektspunkt: $\displaystyle a^* = \frac{q}{1-p}$ (for $p \neq 1$ )
- Eksplisitt: $a_n = (a_1 - a^*) \cdot p^{n-1} + a^*$
- Stabil likevekt: $|p| < 1$

Fibonacci-følgja: $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ , $F_1 = F_2 = 1$
- Forholdet $F_{n+1}/F_n \to \varphi \approx 1{,}618$

Bruksområde: Medisinering, folkesetnadsmodellar, økonomi (lån), algoritmar. Rekursive modellar er ideelle for implementering i rekneark og programmering.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.