7.1 Aritmetiske rekker | Matematikk S2

Aritmetiske følger og rekker med sum-formler.

45 min

19 oppgaver

Aritmetisk følgeAritmetisk rekkeSumformelDifferanse

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

7.2Geometriske rekker

Kva er ei følgje?

Ei følgje er ei ordna liste med tal som følgjer eit bestemt mønster. Vi skriv følgja som $a_1, a_2, a_3, \ldots$ der $a_n$ står for det $n$ -te leddet.

I dette kapittelet skal vi studere aritmetiske følgjer, der differansen mellom kvart ledd og det føregåande er konstant. Denne konstante differansen kallar vi $d$ . Aritmetiske følgjer dukkar opp i mange samanhengar, til dømes i lineær vekst, avdrag på serielån og nummerering.

Aritmetisk følgje

a_{n+1} - a_n = d \quad \text{for alle } n \geq 1

Eksplisitt formel for aritmetisk følgje

n

✏️Finn formel og bestemte ledd

Ei aritmetisk følgje har $a_1 = 4$ og $d = 3$ . Finn det 20. leddet og det $n$ -te leddet.

Vi bruker formelen

a_n = a_1 + (n-1) \cdot d

Det $n$ -te leddet:
$a_n = 4 + (n-1) \cdot 3 = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$

Det 20. leddet:
$a_{20} = 3 \cdot 20 + 1 = 61$

Kontroll: Dei første ledda er $4, 7, 10, 13, \ldots$ som stemmer med $a_n = 3n + 1$ .

Frå følgjer til rekkjer

Når vi legg saman ledda i ei følgje, får vi ei rekkje. Summen av dei $n$ første ledda i ei aritmetisk følgje kallar vi $S_n$ :

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$

Gauss oppdaga som barn ein elegant formel for denne summen. Trikset er å skrive summen to gonger - éin gong forlengs og éin gong baklengs - og leggje dei saman. Då blir kvart par lik $a_1 + a_n$ , og det er $n$ slike par.

📜Sum av aritmetisk rekkje

Summen av dei

n

første ledda i ei aritmetisk følgje er:

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)$

Bevis: Skriv summen forlengs og baklengs:
$S_n = a_1 + (a_1 + d) + \cdots + a_n$
$S_n = a_n + (a_n - d) + \cdots + a_1$
Legg saman: $2S_n = n(a_1 + a_n)$ , altså $\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ .

✏️Rekn ut sum av aritmetisk rekkje

Finn summen $S_{50}$ av dei 50 første ledda i følgja $3, 7, 11, 15, \ldots$

Vi identifiserer

a_1 = 3

d = 4

Finn $a_{50}$ :
$a_{50} = 3 + (50-1) \cdot 4 = 3 + 196 = 199$

Rekn ut summen:
$S_{50} = \frac{50}{2}(a_1 + a_{50}) = 25 \cdot (3 + 199) = 25 \cdot 202 = 5050$

Alternativ metode:
$S_{50} = \frac{50}{2}(2 \cdot 3 + 49 \cdot 4) = 25 \cdot (6 + 196) = 25 \cdot 202 = 5050$

Summeteiknet (sigma-notasjon)

\Sigma

Bruk av aritmetiske rekkjer

Aritmetiske rekkjer dukkar opp i mange praktiske samanhengar:

- Serielån: Avdraga er like store, og terminbeløpet avtek med ein fast differanse
- Lineær vekst: Talet på nye kundar per månad aukar med eit fast tal
- Trappemønster: Talet på blokker i ein trappefigur med jamt aukande rader

Nøkkelen er å identifisere at differansen mellom etterfølgjande verdiar er konstant. Då kan du bruke formlane for aritmetiske følgjer og rekkjer.

✏️Praktisk bruk: møtesal med rader

Ein møtesal har rader med stolar. Første rad har 12 stolar, og kvar rad har 2 stolar meir enn raden framanfor. Det er 20 rader totalt. Kor mange stolar er det i salen?

Dette er ei aritmetisk rekkje med

a_1 = 12

d = 2

n = 20

Tal på stolar i siste rad:
$a_{20} = 12 + (20-1) \cdot 2 = 12 + 38 = 50$

Totalt tal på stolar:
$S_{20} = \frac{20}{2}(12 + 50) = 10 \cdot 62 = 620$

Det er 620 stolar i salen.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Avgjer om følgja $5, 9, 13, 17, 21, \ldots$ er aritmetisk. Bestem i så fall $d$ .

Finn det 30. leddet i følgja frå oppgåve a).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Ei aritmetisk følgje har $a_1 = 100$ og $d = -7$ . Finn ein formel for $a_n$ .

For kva verdi av $n$ er $a_n = 2$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Finn summen $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$ .

Finn summen $2 + 4 + 6 + \cdots + 200$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Skriv ut dei fem første ledda i følgja gitt ved $a_n = 3n - 2$ .

Vis at følgja i a) er aritmetisk og bestem $d$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

I ei aritmetisk følgje er $a_3 = 14$ og $a_7 = 30$ . Finn $a_1$ og $d$ .

Finn $S_{20}$ for følgja i a).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\sum_{k=1}^{40}(3k + 2)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Summen av dei $n$ første ledda i ei aritmetisk rekkje er $S_n = 2n^2 + 3n$ . Finn $a_1$ og $d$ .

Finn ein formel for $a_n$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Eit amfiteater har 30 rader. Første rad har 20 sete, og kvar rad har 3 sete meir enn den føregåande. Finn det totale talet på sete.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Tre tal i ei aritmetisk følgje har sum 27 og produkt 504. Finn tala.

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Vis at summen av dei $n$ første oddetala er $n^2$ .

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

I ei aritmetisk følgje er $S_{10} = 200$ og $S_{20} = 800$ . Finn $a_1$ og $d$ .

Finn $S_{30}$ for følgja i a).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Ei bedrift planlegg å auke produksjonen lineært. I januar blir det produsert 500 einingar, og produksjonen aukar med 30 einingar per månad. Finn total produksjon for heile året.

Etter kor mange månader har bedrifta produsert totalt 10\,000 einingar?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Finn verdien av $\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$ uttrykt ved $n$ .

Bruk resultatet i a) til å finne $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Vis at dersom $a$ , $b$ og $c$ er tre etterfølgjande ledd i ei aritmetisk følgje, så er $\displaystyle b = \frac{a+c}{2}$ .

Oppsummering

Aritmetisk følgje: Differansen $d = a_{n+1} - a_n$ er konstant.

Eksplisitt formel: $a_n = a_1 + (n-1)d$

Sum av aritmetisk rekkje:
$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$

Tips for oppgåveløysing:
- Identifiser $a_1$ og $d$ frå oppgåveteksten
- Bruk den eksplisitte formelen for å finne enkeltledd
- Bruk sumformelen for å finne summen av fleire ledd
- Sjekk svaret ved å rekne ut dei første ledda manuelt

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.