6.5 Modellvalidering og residualanalyse

Lær å vurdere regresjonsmodellar med residualplott, uteliggjarar og justert R-kvadrat.

55 min

13 oppgaver

Residualar og residualplottUteliggjarar og innverknadsrike punkt

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.1Lineær regresjon

Er modellen god nok?

Høg $R^2$ tyder ikkje nødvendigvis god modell. Vi må sjekke føresetnadene via residualanalyse.

Eit residual: $e_i = y_i - \hat{y}_i$ — det modellen ikkje fangar opp.

Residualar og residualplott

i

✏️Residualanalyse

Ein modell er $\hat{y} = 2 + 3x$ . Vurder modellen ut frå residuala:

$x$	$y$	$\hat{y}$	$e$
1	4,5	5	$-0{,}5$
2	8,2	8	$0{,}2$
3	10,8	11	$-0{,}2$
4	14,5	14	$0{,}5$
5	16,8	17	$-0{,}2$

Residuala vekslar i forteikn utan trend.

Spreiinga er jamn, frå $-0{,}5$ til $0{,}5$ .

$\sum e_i = -0{,}5 + 0{,}2 - 0{,}2 + 0{,}5 - 0{,}2 = -0{,}2 \approx 0$

Svar: Residuala viser ikkje noko systematisk mønster, så den lineære modellen er passande.

Vanlege mønster i residualplott

Bøygd mønster: U-form — samanhengen er ikkje-lineær

Traktform: Spreiinga aukar — heteroskedastisitet. Prøv log-transformasjon.

Gruppering: Klynger — manglande forklaringsvariablar.

Ideelt: Tilfeldig spreiing rundt null.

Uteliggjarar og innverknadsrike punkt

|e_i| > 2s_e

✏️Identifisere uteliggjarar

s_e = 3{,}2

. Residualar:

-1{,}5

;

2{,}1

;

0{,}8

;

-9{,}4

;

-0{,}3

;

1{,}7

;

-2{,}4

;

0{,}9

z_i = e_i/3{,}2

-0{,}47

;

0{,}66

;

0{,}25

;

\mathbf{-2{,}94}

;

-0{,}09

;

0{,}53

;

-0{,}75

;

0{,}28

Observasjon 4: $|z| \approx 2{,}94 > 2$

Svar: Observasjon 4 er ein uteliggjar og bør undersøkjast.

Justert $R^2$ og modellar med fleire forklaringsvariablar (multippel regresjon) høyrer ikkje til læreplanen i matematikk S2 (MAT04-02). Det er fordjupingsstoff som høyrer heime i statistikk på høgare nivå. Du treng det ikkje til S2-eksamen.

$R^2$ og justert $R^2$

$R^2 = 1 - \frac{SS_E}{SS_T}, \quad R^2_{adj} = 1 - \frac{SS_E/(n-k-1)}{SS_T/(n-1)}$

$R^2$ aukar alltid med fleire variablar. Justert $R^2$ korrigerer for dette og kan synke om ein variabel ikkje bidreg.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

\hat{y} = 16

for

x = 3

, observert

y = 18

. Residual?

Kva tyder positivt residual?

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

SS_E = 40

SS_T = 200

. Finn

R^2

(Fordjuping) $n = 30$ , $k = 2$ . Justert $R^2$ ?

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Residuala frå ei MKM-linje er $2, -1, -2, -1, 2$ (sorterte etter $x$ ). Rekn ut $SS_E$ og tolk mønsteret.

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

s_e = 4{,}5

e = 11{,}2

. Uteliggjar?

Bør han fjernast?

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Skilnad uteliggjar vs. innverknadsrikt punkt?

(Fordjuping) Skilnad $R^2$ vs. justert $R^2$ ?

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

(Fordjuping) 1 variabel: $R^2 = 0{,}82$ , adj. $R^2 = 0{,}81$ . 4 variablar: $R^2 = 0{,}84$ , adj. $R^2 = 0{,}79$ . Kva modell?

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

(Fordjuping) $SS_T = 500$ , $SS_E = 75$ , $n = 25$ , $k = 3$ . Finn $R^2$ og justert $R^2$ .

(Fordjuping) 4. variabel: $SS_E = 70$ . Nye verdiar? Nyttig?

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Residualplott viser U-form. Kva tyder det?

Oppsummering

- Residualar: $e_i = y_i - \hat{y}_i$
- Residualplott: Bøygd → ikkje-lineær, traktform → heteroskedastisitet
- Uteliggjar: $|z_i| > 2$ — undersøk, ikkje fjern automatisk
- Justert $R^2$ : Bruk denne ved fleire variablar

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Er modellen god nok?

Vanlege mønster i residualplott

R2R^2R2 og justert R2R^2R2

Oppsummering

$R^2$ og justert $R^2$