4.5 Simulering og stokastiske eksperimenter

Monte Carlo-simulering, Python og GeoGebra, store talls lov.

50 min

8 oppgaver

Monte CarloSimuleringPythonStore talls lov

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.4Forventningsverdi og varians

Simulering og Monte Carlo-metoden

Mange sannsynsproblem er vanskelege eller umoglege å løyse analytisk. I slike tilfelle kan vi bruke simulering - å gjenta eit tilfeldig forsøk mange gonger på ei datamaskin og telje utfall.

Monte Carlo-simulering er ein metode der vi:
1. Definerer ein modell for det stokastiske forsøket
2. Genererer tilfeldige tal for å simulere forsøket
3. Gjentek forsøket eit stort tal gonger ( $N$ )
4. Bruker dei observerte frekvensane som estimat for sannsyn

Namnet kjem frå kasinoet i Monte Carlo, fordi metoden byggjer på tilfeldigheit - akkurat som eit kasino.

Kvifor simulering?
- Nokre problem er for kompliserte til å løyse eksakt
- Simulering gir ei intuitiv forståing av sannsyn
- Digitale verktøy gjer det enkelt å køyre tusenvis av forsøk
- Resultata kan brukast til å kontrollere analytiske berekningar

Tilfeldige tal og pseudotilfeldigheit

[0, 1)

📜Store tals lov

Store tals lov seier at gjennomsnittet av observasjonane i eit forsøk vil nærme seg forventningsverdien når talet på forsøk aukar.

Meir presist: La $X_1, X_2, \ldots, X_n$ vere uavhengige stokastiske variablar med same fordeling og forventningsverdi $\mu$ . Då gjeld:

$\bar{X}_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n} \to \mu \quad \text{når } n \to \infty$

I praksis tyder dette:
- Den relative frekvensen av ei hending nærmar seg det teoretiske sannsynet
- Gjennomsnittleg gevinst i eit spel nærmar seg forventningsverdien
- Estimata frå simulering blir betre (med lågare standardfeil) for større $n$

Standardfeil for estimat: $\displaystyle \text{SE}(\hat{p}) \approx \frac{1}{\sqrt{N}}$

For $N = 10\,000$ er standardfeilen ca. 0,01. For $N = 1\,000\,000$ er han ca. 0,001.

Åtvaring: Store tals lov seier ikkje at det vil «jamne seg ut» på kort sikt (gamblarfeilslutninga). Kvart einskild forsøk er framleis heilt tilfeldig.

✏️Monte Carlo-simulering i Python

Bruk Monte Carlo-simulering til å estimere arealet av ein sirkel med radius 1 ved å bruke tilfeldige punkt i kvadratet $[-1, 1] \times [-1, 1]$ .

Metoden: Eit tilfeldig punkt

(x, y)

i kvadratet med sidelengd 2 er innanfor sirkelen dersom

x^2 + y^2 \leq 1

$P(\text{punkt i sirkel}) = \frac{\text{Areal sirkel}}{\text{Areal kvadrat}} = \frac{\pi \cdot 1^2}{2^2} = \frac{\pi}{4}$

Dermed er $\pi \approx 4 \cdot \hat{p}$ .

import random

N = 1_000_000
innenfor = 0

for _ in range(N):
    x = random.uniform(-1, 1)
    y = random.uniform(-1, 1)
    if x**2 + y**2 <= 1:
        innenfor += 1

pi_estimat = 4 * innenfor / N
print(f"Estimert pi = {pi_estimat:.5f}")
print(f"Eksakt pi   = {3.14159:.5f}")

Køyring gir til dømes: $\hat{\pi} \approx 3{,}14152$

Standardfeilen er $\displaystyle \approx \frac{1}{\sqrt{10^6}} = 0{,}001$ , som stemmer med avviket frå eksakt $\pi$ .

✏️Store tals lov illustrert ved myntkast

Simuler 5000 myntkast og vis grafisk korleis delen kron nærmar seg 0,5. Forklar kva grafen illustrerer om konvergensen av estimat.

import random
import matplotlib.pyplot as plt

N = 5000
antall_kron = 0
andel_kron = []

for i in range(1, N + 1):
    kast = random.randint(0, 1)  # 0 = mynt, 1 = kron
    antall_kron += kast
    andel_kron.append(antall_kron / i)

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(range(1, N + 1), andel_kron, linewidth=0.7, label='Estimert P(kron)')
plt.axhline(y=0.5, color='r', linestyle='--', label='Teoretisk verdi (0,5)')
plt.xlabel('Antall kast')
plt.ylabel('Andel kron')
plt.title('Store talls lov: Konvergens mot 0,5')
plt.legend()
plt.ylim(0.3, 0.7)
plt.show()

Tolking: Grafen viser at delen kron svingar mykje i starten (stor usikkerheit for få kast), men gradvis stabiliserer seg rundt $0{,}5$ etter nokre tusen kast. Svingingane avtek i takt med $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}$ - dette er store tals lov i praksis.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Skriv eit Python-program som simulerer 10 000 kast med ein vanleg seksidig terning og estimerer sannsynet for å få 6. Samanlikn med den teoretiske verdien.

Forklar kva som blir meint med pseudotilfeldige tal og kvifor dei er tilfredsstillande for praktisk bruk i statistikk.

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

I ei gruppe på 30 personar, kva er sannsynet for at minst to har bursdag på same dag? Estimer svaret med Monte Carlo-simulering ( $N = 50\,000$ gjentakingar). (Anta 365 dagar per år.)

Blir simuleringa køyrt med $N = 100$ gjentakingar versus $N = 100\,000$ gjentakingar, kva ventar du å sjå? Kva seier store tals lov om skilnaden i nøyaktigheit?

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

To terningar blir kasta og produktet $P = X_1 \cdot X_2$ blir rekna ut. Bruk simulering ( $N = 100\,000$ ) til å estimere $E(P)$ og $\text{Var}(P)$ .

Bruk Python til å teikne eit histogram over fordelinga til $P$ basert på 100 000 simuleringar. Skildr forma på fordelinga. Er ho symmetrisk?

Forklar samanhengen mellom store tals lov og sentralgrenseverdisetninga. Kva seier sentralgrenseverdisetninga om fordelinga til $\bar{X}_n$ for store $n$ ?

Oppsummering

Monte Carlo-simulering:
- Estimer $\displaystyle P(A) \approx \frac{\text{talet på gonger } A \text{ inntreff}}{N}$
- Standardfeil for estimatet: $\displaystyle \text{SE} \approx \frac{1}{\sqrt{N}}$
- Typisk blir $N \geq 10\,000$ brukt for god presisjon

Store tals lov:
- $\bar{X}_n \to \mu$ når $n \to \infty$
- Gjeld for alle fordelingar med endeleg forventningsverdi
- Forklarer kvifor simulering fungerer

Python-verktøy: random.random(), random.randint(), random.choice(), random.seed()

GeoGebra-verktøy: TilfeldigMellom(), Tilfeldig() og reknerket for simulering

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.