4.2 Hypergeometrisk og binomisk fordeling | Matematikk S2

Sammenligning av fordelinger for utvalg med og uten tilbakelegging.

55 min

21 oppgaver

Hypergeometrisk fordelingBinomisk fordelingUtvalgTilnærming

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Sannsynlighetsfordelinger

Brukes videre i

4.3Normalfordeling og sentralgrensesetningen

To viktige fordelingar

I dette kapittelet lærer vi om to av dei viktigaste diskrete sannsynsfordelingane:

1. Hypergeometrisk fordeling - for trekking utan tilbakelegging frå ein endeleg populasjon
2. Binomisk fordeling - for gjentekne uavhengige forsøk med to moglege utfall

Desse fordelingane blir brukte i svært mange praktiske situasjonar og er sentrale på S2-eksamen.

Hypergeometrisk fordeling

n

✏️Hypergeometrisk fordeling i praksis

I ein klasse med 30 elevar er 12 jenter. Det blir trekt tilfeldig ut 5 elevar til ein komité. Kva er sannsynet for at nøyaktig 2 av dei 5 er jenter?

Vi har:
-

N = 30

(totalt tal på elevar)
-

M = 12

(tal på jenter)
-

n = 5

(tal som blir trekt)
-

k = 2

(ønskt tal på jenter)

$P(X = 2) = \frac{\binom{12}{2} \cdot \binom{18}{3}}{\binom{30}{5}}$

Reknar ut binomialkoeffisientane:
$\binom{12}{2} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$

$\binom{18}{3} = \frac{18!}{3! \cdot 15!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16}{6} = 816$

$\binom{30}{5} = \frac{30!}{5! \cdot 25!} = 142506$

$P(X = 2) = \frac{66 \cdot 816}{142506} = \frac{53856}{142506} \approx 0{,}378$

Svar: Sannsynet er ca. 37,8 %.

Forventningsverdi: $\displaystyle E(X) = 5 \cdot \frac{12}{30} = 2$ jenter.

Frå hypergeometrisk til binomisk

Hypergeometrisk fordeling gjeld for trekking utan tilbakelegging, der sannsynet endrar seg frå trekning til trekning. Men dersom populasjonen er svært stor samanlikna med utvalet, blir endringa i sannsyn neglisjerbar.

Tommelfingerregel: Viss $n < 0{,}05 \cdot N$ (utvalet er mindre enn 5 % av populasjonen), kan vi bruke binomisk fordeling som approksimasjon.

Binomisk fordeling gjeld eksakt når vi trekkjer med tilbakelegging eller gjer uavhengige forsøk.

Binomisk fordeling

n

✏️Binomisk fordeling - fleirvalsoppgåve

Ein fleirvalstest har 10 spørsmål med 4 alternativ. Ein elev gjettar tilfeldig på alle spørsmåla. Finn sannsynet for at eleven har:
a) Nøyaktig 3 rette
b) Minst 5 rette (som er greidd)

X

= talet på rette.

X \sim B(10, 0{,}25)

a) $P(X = 3)$ :
$P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^7$
$= 120 \cdot 0{,}015625 \cdot 0{,}13348 \approx 0{,}250$

b) $P(X \geq 5)$ :
$P(X \geq 5) = \sum_{k=5}^{10} \binom{10}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{10-k}$

Vi reknar ledd for ledd:
$P(X=5) = \binom{10}{5}(0{,}25)^5(0{,}75)^5 = 252 \cdot 0{,}000977 \cdot 0{,}2373 \approx 0{,}0584$
$P(X=6) \approx 0{,}0162$
$P(X=7) \approx 0{,}0031$
$P(X \geq 8) \approx 0{,}0004$

$P(X \geq 5) \approx 0{,}0584 + 0{,}0162 + 0{,}0031 + 0{,}0004 = 0{,}078$

Forventa tal på rette: $E(X) = 10 \cdot 0{,}25 = 2{,}5$ (langt frå greidd!).

Svar: Det er ca. 25 % sjanse for nøyaktig 3 rette, og berre ca. 7,8 % sjanse for å greie ved rein gjetting.

📊Utforsk: Binomisk fordeling

Stolpediagrammet viser $P(X = k)$ for $X \sim \text{Bin}(20,\ 0{,}4)$ . Fordelinga har topp nær forventningsverdien $E(X) = np = 8$ . Endre $n$ og $p$ og sjå korleis forma nærmar seg ei normalfordeling for store $n$ .

✏️Hypergeometrisk vs. binomisk

Ein boks inneheld 100 lyspærer, og 10 av dei er defekte. Vi trekkjer 5 pærer. Rekn ut $P(X = 1)$ med:
a) Hypergeometrisk fordeling (utan tilbakelegging)
b) Binomisk approksimasjon

a) Hypergeometrisk:

N = 100

M = 10

n = 5

k = 1

P(X = 1) = \frac{\binom{10}{1}\binom{90}{4}}{\binom{100}{5}} = \frac{10 \cdot 2555190}{75287520} \approx 0{,}3394

b) Binomisk approksimasjon:
$\displaystyle p = \frac{10}{100} = 0{,}1$ , $n = 5$ .
$P(X = 1) = \binom{5}{1}(0{,}1)^1(0{,}9)^4 = 5 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}6561 = 0{,}3281$

Samanlikning: Den binomiske approksimasjonen ( $0{,}328$ ) er nær den eksakte verdien ( $0{,}339$ ). Sidan $n = 5 = 5\%$ av $N = 100$ , er vi akkurat på grensa av tommelfingerregelen.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\binom{8}{3}$ .

Rekn ut $\binom{10}{2}$ og $\binom{10}{8}$ . Kva legg du merke til?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Ein kortstokk har 52 kort. Du trekkjer 5 kort. Kva er sannsynet for nøyaktig 2 ess? (Hypergeometrisk)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Ein mynt blir kasta 6 gonger. La $X$ = talet på mynt. Finn $P(X = 4)$ .

Finn $E(X)$ og $\text{SD}(X)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Ein terning blir kasta 12 gonger. La $X$ = talet på seksarar. Finn $P(X = 0)$ og $P(X \geq 1)$ .

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

I ei øskje med 20 kuler er 5 raude og 15 blå. Du trekkjer 4 kuler utan tilbakelegging. Finn $P(X = 2)$ der $X$ er talet på raude.

Finn $E(X)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Eit firma produserer skruar, og 3 % er defekte. Ein pakke inneheld 20 skruar. Kva er sannsynet for at pakken inneheld minst éin defekt skrue?

Kva er forventa tal på defekte skruar per pakke?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

80 % av kundehenvendingane til ein nettbutikk fører til sal. Av dei neste 8 henvendingane, finn sannsynet for at nøyaktig 6 fører til sal.

Finn sannsynet for at alle 8 fører til sal.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Ein kvalitetskontroll plukkar ut 10 produkt frå eit parti med 200 produkt, der 20 er defekte. Bør vi bruke hypergeometrisk eller binomisk fordeling? Grunngi.

Rekn ut $P(X = 0)$ med begge metodane og samanlikn.

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Vis at $E(X) = np$ for $X \sim B(n, p)$ ved å bruke definisjonen $E(X) = \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ .

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Lotto: 7 tal blir trekte frå 34. Du har 7 tal. Finn sannsynet for å få nøyaktig 4 rette.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Finn den mest sannsynlege verdien (modus) av $X \sim B(10, 0{,}3)$ . Rekn ut $P(X = k)$ for $k = 2, 3, 4$ og samanlikn.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Ein medikamentstudie viser at 70 % av pasientane responderer positivt. Av 15 pasientar, finn $P(X \geq 12)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

X \sim B(20, 0{,}4)

. Finn

E(X)

\text{Var}(X)

\text{SD}(X)

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

I ein populasjon med 50 dyr er 15 merkte. Ein forskar fangar 10 dyr tilfeldig. Finn sannsynet for at nøyaktig 3 er merkte, og rekn ut $E(X)$ og $\text{SD}(X)$ .

📝Oppgave 15

Løys oppgåvene:

Kor mange gonger må du kaste ein terning for at sannsynet for minst éin seksar skal vere over 90 %?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 16

Løys oppgåvene:

Avgjer for kvart tilfelle om det er hypergeometrisk eller binomisk fordeling: (i) Trekkje 5 kort frå ein kortstokk. (ii) Kaste ein mynt 10 gonger. (iii) Velje 3 elevar frå ein klasse med 25.

Typisk eksamensspørsmål: «Forklar kvifor dette kan modellerast med binomisk fordeling.» Du må vise at:
1. Det er eit fast tal på forsøk

n

2. Kvart forsøk har to utfall (suksess/fiasko)
3. Sannsynet

p

er konstant
4. Forsøka er uavhengige

Oppsummering

Hypergeometrisk	Binomisk
Situasjon	Utan tilbakelegging	Uavhengige forsøk
Populasjon	Endeleg ( $N$ )	Kan vere uendeleg
Parameter	$N$ , $M$ , $n$	$n$ , $p$
$P(X=k)$	$\displaystyle \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$	$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$
$E(X)$	$\displaystyle n\frac{M}{N}$	$np$
$\text{Var}(X)$	$\displaystyle n\frac{M}{N}\frac{N-M}{N}\frac{N-n}{N-1}$	$np(1-p)$

Tommelfingerregel: Bruk binomisk approksimasjon når

n < 0{,}05N

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.