3.8 Implisitt derivasjon og relaterte rater

Implisitt derivasjon for dy/dx og relaterte rater for tidsavhengige størrelser.

55 min

8 oppgaver

Implisitt derivasjonRelaterte raterKjerneregelen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Fullstendig funksjonsdrøfting

Implisitt derivasjon

Hittil har vi derivert funksjonar der $y$ er gitt eksplisitt som ein funksjon av $x$ , til dømes $y = x^2 + 3x$ . Men nokre gonger er samanhengen mellom $x$ og $y$ gitt implisitt, det vil seie som ei likning der $x$ og $y$ opptrer saman, til dømes:

$x^2 + y^2 = 25 \qquad \text{(sirkel med radius 5)}$

Her er det vanskeleg eller umogleg å løyse for $y$ som ein enkel funksjon av $x$ . I staden kan vi derivere begge sider av likninga med omsyn på $x$ og handsame $y$ som ein funksjon av $x$ .

Nøkkelregel: Når vi deriverer eit uttrykk som inneheld $y$ , bruker vi kjerneregelen. Sidan $y$ er ein funksjon av $x$ , blir den deriverte av $y$ med omsyn på $x$ lik $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ .

Implisitt derivasjon

\displaystyle \frac{dy}{dx}

✏️Implisitt derivasjon av ein sirkel

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ for sirkelen $x^2 + y^2 = 25$ .

Vi deriverer begge sider med omsyn på

x

$\frac{d}{dx}[x^2] + \frac{d}{dx}[y^2] = \frac{d}{dx}[25]$

$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$

Vi løyser for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ :

$2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

Tolking: Stigingstalet til tangenten i punktet $(x, y)$ på sirkelen er $\displaystyle -\frac{x}{y}$ . Til dømes i punktet $(3, 4)$ : $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$ .

Sjekk: Vi kan også løyse for $y = \sqrt{25 - x^2}$ (øvre halvsirkel) og derivere eksplisitt: $\displaystyle y' = \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}} = \frac{-x}{y}$ ✓

✏️Implisitt derivasjon med produktregel

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ dersom $x^2y + xy^2 = 6$ .

Vi deriverer begge sider med omsyn på

x

. Merk at vi treng produktregelen for begge ledd:

Ledd 1: $\displaystyle \frac{d}{dx}[x^2 y]$

Produktregelen: $\displaystyle 2x \cdot y + x^2 \cdot \frac{dy}{dx}$

Ledd 2: $\displaystyle \frac{d}{dx}[xy^2]$

Produktregelen: $\displaystyle 1 \cdot y^2 + x \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx}$

Samla:

$2xy + x^2 \frac{dy}{dx} + y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$

Samle ledd med $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ :

$\frac{dy}{dx}(x^2 + 2xy) = -2xy - y^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy - y^2}{x^2 + 2xy} = \frac{-y(2x + y)}{x(x + 2y)}$

Relaterte rater

Når to eller fleire storleikar som begge avheng av tida $t$ er knytte saman av ei likning, endrar dei seg med relaterte rater. Dersom vi kjenner endringsraten til éin storleik, kan vi finne endringsraten til ein annan.

Framgangsmåte for problem med relaterte rater:
1. Identifiser variablane og kva som er gitt/etterspurt.
2. Skriv opp likninga som knyter variablane saman.
3. Deriver implisitt med omsyn på $t$ (tid).
4. Set inn kjende verdiar og løys for den ukjende raten.

Viktig: Ikkje set inn talverdiar før du deriverer! Derivasjon blir gjord på den generelle likninga.

✏️Relaterte rater - stige mot vegg

Ein 5 meter lang stige lener mot ein vegg. Foten av stigen glir utover med fart $0{,}5$ m/s. Kor raskt søkk toppen av stigen når foten er 3 meter frå veggen?

1. Variablane:
Lat

x

vere avstanden frå veggen til foten av stigen, og

y

vere høgda der stigen treffer veggen. Begge er funksjonar av tida

t

Gitt: $\displaystyle \frac{dx}{dt} = 0{,}5$ m/s. Finn: $\displaystyle \frac{dy}{dt}$ når $x = 3$ .

2. Samanhengen (Pytagoras):
$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$

Når $x = 3$ : $y = \sqrt{25 - 9} = 4$ m.

3. Deriver med omsyn på $t$ :
$2x \cdot \frac{dx}{dt} + 2y \cdot \frac{dy}{dt} = 0$

4. Set inn verdiar:
$2 \cdot 3 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 4 \cdot \frac{dy}{dt} = 0$

$3 + 8 \cdot \frac{dy}{dt} = 0$

$\frac{dy}{dt} = -\frac{3}{8} = -0{,}375 \text{ m/s}$

Toppen av stigen søkk med $0{,}375$ m/s (negativt forteikn tyder at $y$ avtek).

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ ved implisitt derivasjon av $x^2 + 4y^2 = 16$ .

Finn stigingstalet til tangenten til ellipsen $x^2 + 4y^2 = 16$ i punktet $(2, \sqrt{3})$ .

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ for $x^3 + y^3 = 6xy$ og avgjer stigingstalet i punktet $(3, 3)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ for $\sin(x) + \cos(y) = 1$ .

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ for $e^{xy} = x + y$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Ein sirkulær oljeflekk på vatn utvidar seg slik at radiusen aukar med $0{,}2$ m/s. Kor raskt aukar arealet av flekken når radiusen er 5 meter?

To bilar startar frå same punkt. Bil A køyrer nordover med 60 km/t og bil B køyrer austover med 80 km/t. Kor raskt aukar avstanden mellom bilane etter 2 timar?

Ein konisk haug med sand har alltid forholdet høgd:radius = 2:1. Sand blir tilført med $3$ m³/min. Kor raskt aukar høgda når haugen er 4 meter høg?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Implisitt derivasjon:
- Blir brukt når $y$ ikkje er gitt eksplisitt som funksjon av $x$ .
- Deriver begge sider av likninga med omsyn på $x$ , og bruk kjerneregelen for ledd med $y$ .
- Løys for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ - svaret kan innehalde både $x$ og $y$ .

Relaterte rater:
- Blir brukt når fleire variable endrar seg over tid og er knytte saman av ei likning.
- Deriver likninga implisitt med omsyn på $t$ .
- Set inn kjende verdiar etter derivasjon.
- Negativt forteikn tyder at storleiken avtek.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.