3.5 Drøfting med parametere | Matematikk S2

Funksjonsdrøfting der funksjonen inneholder parametere.

55 min

19 oppgaver

ParametereGenerell drøftingFamilier av funksjonerParameterbestemmelse

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Fullstendig funksjonsdrøfting

Når y ikkje er løyst for x

Hittil har vi derivert funksjonar gitt eksplisitt som $y = f(x)$ . Men mange samanhengar er gitt implisitt - som ei likning der $x$ og $y$ er blanda saman, til dømes $x^2 + y^2 = 25$ (ein sirkel).

I slike tilfelle bruker vi implisitt derivasjon: vi deriverer begge sider av likninga med omsyn på $x$ , og handsamar $y$ som ein funksjon av $x$ .

Implisitt derivasjon

x

✏️Derivasjon av sirkellikning

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt frå $x^2 + y^2 = 25$ .

Deriver begge sider med omsyn på

x

$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$

$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$

Løys for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ :

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$

Kontroll: For den øvre halvsirkelen $y = \sqrt{25 - x^2}$ : $\displaystyle y' = \frac{-2x}{2\sqrt{25-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}} = -\frac{x}{y}$ ✓

✏️Implisitt derivasjon med produkt

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt frå $x^2 y + xy^2 = 6$ .

Deriver begge sider med omsyn på

x

. Vi bruker produktregelen:

$\frac{d}{dx}(x^2 y) + \frac{d}{dx}(xy^2) = 0$

$\left(2xy + x^2 \frac{dy}{dx}\right) + \left(y^2 + x \cdot 2y \frac{dy}{dx}\right) = 0$

$2xy + y^2 + (x^2 + 2xy)\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy + y^2}{x^2 + 2xy} = -\frac{y(2x + y)}{x(x + 2y)}$

✏️Tangentlinje ved implisitt derivasjon

Finn tangentlinja til kurva $x^3 + y^3 = 9$ i punktet $(1, 2)$ .

Steg 1: Sjekk at punktet ligg på kurva:

1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9

✓

Steg 2: Implisitt derivasjon:
$3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x^2}{y^2}$

Steg 3: Stigingstalet i $(1, 2)$ :
$\frac{dy}{dx}\Big|_{(1,2)} = -\frac{1^2}{2^2} = -\frac{1}{4}$

Steg 4: Tangentlinja:
$y - 2 = -\frac{1}{4}(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{4}$

Relaterte ratar

Implisitt derivasjon er grunnlaget for relaterte ratar - problem der fleire variable endrar seg over tid og vi kjenner nokre av endringsratane.

Framgangsmåte:
1. Identifiser dei variable og skriv opp samanhengen mellom dei
2. Deriver implisitt med omsyn på tid $t$
3. Set inn kjende verdiar og løys for den ukjende raten

✏️Relaterte ratar

Ein ballong blir blåsen opp slik at volumet aukar med $100 \text{ cm}^3/\text{s}$ . Kor raskt aukar radiusen når $r = 10$ cm?

Samanheng:

\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3

Deriver med omsyn på $t$ :
$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$

Set inn kjende verdiar: $\displaystyle \frac{dV}{dt} = 100$ og $r = 10$ :

$100 = 4\pi (10)^2 \frac{dr}{dt} = 400\pi \frac{dr}{dt}$

$\frac{dr}{dt} = \frac{100}{400\pi} = \frac{1}{4\pi} \approx 0{,}080 \text{ cm/s}$

Gløym aldri $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ -faktoren (eller $\displaystyle \frac{dr}{dt}$ osv.) når du deriverer eit ledd som inneheld $y$ (eller $r$ ). Utan kjerneregelen blir svaret feil!

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt frå $x^2 + y^2 = 16$ .

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt frå $x^2 - y^2 = 9$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt frå $3x + 2y^3 = 7$ .

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt frå $xy = 10$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Finn tangentlinja til $x^2 + y^2 = 25$ i punktet $(3, 4)$ .

Finn tangentlinja til $x^2 + y^2 = 25$ i punktet $(0, 5)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt frå $e^y = x + y$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt frå $x^2y + xy^3 = 2$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt frå $\ln y + xy = 1$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Finn tangentlinja til kurva $x^2 + xy + y^2 = 7$ i punktet $(1, 2)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ implisitt frå $\displaystyle \sin(xy) = \frac{1}{2}$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Ein stige på 5 meter lener mot ein vegg. Botnen glir utover med 0,3 m/s. Kor raskt søkk toppen av stigen når botnen er 3 meter frå veggen?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Finn $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}$ implisitt frå $x^2 + y^2 = r^2$ (sirkel med radius $r$ ).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Finn tangentlinja til ellipsen $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ i punktet $\displaystyle (\frac{3\sqrt{3}}{2}, 1)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Arealet av ein sirkel aukar med $10 \text{ cm}^2/\text{s}$ . Kor raskt aukar radiusen når arealet er $50\pi \text{ cm}^2$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Finn alle punkt på kurva $x^2 + xy + y^2 = 3$ der tangentlinja er horisontal.

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ frå $y^2 = 4x$ (parabel).

Finn tangentlinja til parabelen $y^2 = 4x$ i punktet $(1, 2)$ .

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Implisitt derivasjon - framgangsmåte:
1. Deriver begge sider med omsyn på $x$
2. Bruk kjerneregelen: $\displaystyle \frac{d}{dx}[g(y)] = g'(y) \cdot \frac{dy}{dx}$
3. Samle alle ledd med $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ på éi side
4. Løys for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$

Relaterte ratar:
1. Finn samanhengen mellom variablane
2. Deriver med omsyn på tid $t$
3. Set inn kjende verdiar og løys

Hugs: Svaret kan innehalde både $x$ og $y$ - det er heilt greitt!

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.