3.3 Optimering | Matematikk S2

Løse optimeringsproblemer med derivasjon.

60 min

21 oppgaver

OptimeringMaksimumMinimumPraktiske problemerRandverdier

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Fullstendig funksjonsdrøfting

Brukes videre i

8.5Optimering med bibetingelser

Optimering med derivasjon

Optimering handlar om å finne den beste løysinga - ofte den største eller minste verdien av ein storleik. Derivasjon er det perfekte verktøyet for dette!

Typiske optimeringsproblem:
- Maksimere areal, volum, profitt eller inntekt
- Minimere kostnad, materialbruk eller avstand
- Finne den mest effektive utforminga av emballasje
- Optimere produksjonsmengd i økonomi

Framgangsmåte for optimeringsproblem

f'(x) = 0

✏️Innhegning med gjerde

Ein bonde har 100 meter gjerde og vil lage ei rektangulær innhegning langs ei elv. Elva fungerer som den eine langsida, så gjerdet trengst berre for tre sider. Kva dimensjonar gjev størst areal?

Steg 1-2: Lat

x

vere breidda (dei to kortsidene) og

y

lengda (den eine langsida).

Steg 3: Arealet er $A = x \cdot y$ .

Steg 4: Avgrensing: $2x + y = 100 \Rightarrow y = 100 - 2x$

Arealet som funksjon av $x$ :
$A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$

Steg 5: Definisjonsmengd: $x > 0$ og $y > 0$ , altså $0 < x < 50$ .

Steg 6: $A'(x) = 100 - 4x = 0 \Rightarrow x = 25$

Steg 7: $A''(x) = -4 < 0$ - toppunkt stadfesta (maks areal).

Steg 8: $x = 25$ m og $y = 100 - 50 = 50$ m.
Største areal: $A = 25 \cdot 50 = 1250$ m $^2$ .

Svar: Innhegninga bør vere 25 m brei og 50 m lang, noko som gjev eit areal på 1250 m $^2$ .

✏️Optimering av emballasje

Ein sylinder utan lok skal ha volum $500 \text{ cm}^3$ . Kva dimensjonar gjev minst materialforbruk (minst overflate)?

Steg 1-2: Lat

r

vere radius og

h

høgda til sylinderen.

Steg 3: Overflata (botn + sideflate, utan lok):
$S = \pi r^2 + 2\pi r h$

Steg 4: Avgrensing frå volumet: $\displaystyle V = \pi r^2 h = 500 \Rightarrow h = \frac{500}{\pi r^2}$

Set inn:
$S(r) = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{1000}{r}$

Steg 5: $r > 0$

Steg 6: Deriver:
$S'(r) = 2\pi r - \frac{1000}{r^2}$

$S'(r) = 0$ :
$2\pi r = \frac{1000}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{1000}{2\pi} = \frac{500}{\pi}$
$r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42 \text{ cm}$

Steg 7: $\displaystyle S''(r) = 2\pi + \frac{2000}{r^3} > 0$ for alle $r > 0$ - botnpunkt stadfesta.

Steg 8: $\displaystyle h = \frac{500}{\pi \cdot (\frac{500}{\pi})^{2/3}} = \frac{500}{(\frac{500}{\pi})^{2/3} \cdot \pi} = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} = r \approx 5{,}42$ cm.

Svar: Radius $\approx 5{,}42$ cm og høgd $\approx 5{,}42$ cm (dvs. $h = r$ ).
Minste overflate: $S \approx 277$ cm $^2$ .

📊Utforsk: Optimering på eit lukka intervall

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ på intervallet $[0, 4]$ . Ekstremalpunkt-kommandoen finn lokale topp- og botnpunkt — men hugs å samanlikne med funksjonsverdiane i endepunkta òg!

Optimering i økonomi

I økonomiske problem er det vanleg å optimere:
- Inntekt: $I(x) = p(x) \cdot x$ der $p(x)$ er pris som funksjon av tal
- Kostnad: $K(x)$ - totalkostnad ved å produsere $x$ einingar
- Overskot (profitt): $O(x) = I(x) - K(x)$
- Grensekostnad: $K'(x)$ - kostnaden for å produsere éi eining til
- Grenseinntekt: $I'(x)$ - inntekta frå å selje éi eining til

Viktig resultat: Maksimalt overskot blir oppnådd når grenseinntekta er lik grensekostnaden: $I'(x) = K'(x)$ .

✏️Optimering av profitt

Ei bedrift sel eit produkt til pris $p(x) = 200 - 2x$ kr per eining, der $x$ er talet på einingar (i tusen). Kostnadsfunksjonen er $K(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 50$ (tusen kr). Finn produksjonsmengda som gjev størst overskot.

Inntekt:

I(x) = p(x) \cdot x = (200 - 2x) \cdot x = 200x - 2x^2

Overskot:
$O(x) = I(x) - K(x) = 200x - 2x^2 - x^3 + 6x^2 - 15x - 50$
$O(x) = -x^3 + 4x^2 + 185x - 50$

Deriver:
$O'(x) = -3x^2 + 8x + 185$

$O'(x) = 0$ :
$3x^2 - 8x - 185 = 0$
$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 2220}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{2284}}{6} = \frac{8 \pm 47{,}8}{6}$

$\displaystyle x = \frac{55{,}8}{6} \approx 9{,}3$ (tusen einingar)

(Den negative løysinga $x \approx -6{,}6$ gjev ikkje meining.)

Verifisering: $O''(x) = -6x + 8$ . $O''(9{,}3) = -6(9{,}3) + 8 = -47{,}8 < 0$ . Toppunkt stadfesta.

Svar: Størst overskot ved produksjon av ca. 9300 einingar.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Finn det største arealet til eit rektangel med omkrins 40 cm.

Kva er den minste omkrinsen til eit rektangel med areal 64 cm $^2$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn det største produktet av to positive tal med sum 20.

Finn den minste summen av eit positivt tal og det inverse av det.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Ein ball blir kasta opp med høgd $h(t) = 20t - 5t^2$ meter etter $t$ sekund. Finn den største høgda.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Eit rektangel er innskrive i ein sirkel med radius $r$ . Finn dimensjonane som gjev størst areal.

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Ei eske utan lok skal lagast av eit rektangulært ark papp som er 30 cm breitt og 40 cm langt, ved å klippe like store kvadrat med side $x$ frå kvart hjørne og brette opp. Finn $x$ som gjev størst volum.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Ein gardinfabrikk har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}01x^2 + 10x + 5000$ kr for $x$ meter stoff. Finn produksjonsmengda som gjev lågast einingskostnad $\displaystyle E(x) = \frac{K(x)}{x}$ .

Løs oppgaven Tren

✏️Kortaste avstand

Finn det punktet på parabelen $y = x^2$ som har kortast avstand til punktet $(0, 1)$ .

Avstanden frå

(x, x^2)

til

(0, 1)

er:

d = \sqrt{x^2 + (x^2 - 1)^2}

Det er enklare å minimere $d^2$ (som har minimum på same staden):
$D(x) = d^2 = x^2 + (x^2 - 1)^2 = x^2 + x^4 - 2x^2 + 1 = x^4 - x^2 + 1$

Deriver:
$D'(x) = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1)$

$D'(x) = 0$ : $x = 0$ eller $\displaystyle x^2 = \frac{1}{2}$ , dvs. $\displaystyle x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Verifiser med $D''(x) = 12x^2 - 2$ :
$D''(0) = -2 < 0$ (lokalt maks, ikkje det vi leitar etter)
$\displaystyle D''(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}) = 6 - 2 = 4 > 0$ (lokalt min!)

Svaret: Punkta $\displaystyle (\pm\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$ på parabelen har kortast avstand til $(0, 1)$ .
Avstanden er $\displaystyle d = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$ .

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Ein bonde vil innhegne to like store rektangulære beiteområde side om side (med ein felles skiljevegg). Han har 300 m gjerde. Kva dimensjonar gjev størst totalt areal?

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Prisen på ei vare er $p = 500 - 5x$ kr, der $x$ er talet på selde einingar (i hundre). Finn talet som gjev størst inntekt.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Ein lukka sylinder skal ha volum $1000 \text{ cm}^3$ . Finn dimensjonane som gjev minst overflate.

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Ei bedrift har overskotsfunksjonen $O(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 20$ (tusen kr), der $x$ er talet på tusen einingar produsert. Finn produksjonsmengda som gjev størst overskot.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Finn det punktet på grafen til $y = \sqrt{x}$ som har kortast avstand til punktet $(4, 0)$ .

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Ei kjegle er innskriven i ei kule med radius $R$ . Finn kjeglevolumet uttrykt ved høgda $h$ , og finn kva høgd som gjev størst kjeglevolum.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Eit tal og kvadratet av det har sum 12. Finn talet som gjer produktet av talet og kvadratet størst mogleg.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Eit vindauge har form som eit rektangel med ein halvsirkel på toppen. Omkrinsen er 6 meter. Finn dimensjonane som gjev størst lysinnslepp (størst areal).

📝Oppgave 15

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden etter ei vare er $q = 1000e^{-0{,}02p}$ , der $p$ er prisen i kroner. Finn prisen som gjev størst inntekt.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 16

Løys oppgåvene:

Ein rektangulær boks utan lok skal ha volum $4000 \text{ cm}^3$ . Botnen er eit rektangel der lengda er dobbelt så lang som breidda. Finn dimensjonane som gjev minst materialforbruk.

Typiske feil i optimeringsproblem:

- Gløyme å sjekke at løysinga ligg innanfor definisjonsmengda
- Ikkje verifisere at det er maks og ikkje min (eller omvendt)
- Gløyme endepunkta - nokre gonger er maks/min i eit endepunkt av det tillatne intervallet
- Blande einingar (t.d. cm og m)
- Gløyme å svare på det som blir spurt om i oppgåva

Oppsummering

Optimeringsprosessen:
1. Forstå problemet og identifiser kva som skal optimerast
2. Innfør variablar og set opp funksjonsuttrykk
3. Bruk avgrensingar til å redusere til éin variabel
4. Deriver, set $f'(x) = 0$ , og løys
5. Verifiser med $f''(x)$ eller forteiknslinje
6. Svar med rette einingar

Vanlege optimeringsproblem i S2:
- Geometri: areal, volum, overflate
- Økonomi: inntekt, kostnad, overskot
- Avstand: kortaste avstand til ei kurve
- Emballasje: minst materiale for gjeve volum

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.