3.2 Dobbeltderiverte og vendepunkt

Lær om dobbeltderiverten, Hol side opp eller ned krumming, vendepunkt og dobbeltderiverttesten.

50 min

19 oppgaver

Hol side opp eller nedVendepunktDobbeltderiverttesten for ekstremalverdi

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Fullstendig funksjonsdrøfting

Dobbeltderiverten $f''(x)$

Vi har lært at den deriverte $f'(x)$ fortel oss om stiginga til funksjonen. Men kva fortel dobbeltderiverten $f''(x)$ oss?

Dobbeltderiverten er den deriverte av den deriverte:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[f'(x)]$

Medan $f'(x)$ skildrar kor bratt funksjonen er, skildrar $f''(x)$ kor raskt stiginga endrar seg. Dette gjev oss informasjon om krumminga til funksjonen.

Hol side opp eller ned

f

Vendepunkt

f

✏️Finne vendepunkt

Finn vendepunkta til $f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x + 1$ .

Finn $f''(x)$ .
$f'(x) = 4x^3 - 12x + 8$
$f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1) = 12(x-1)(x+1)$

Løys $f''(x) = 0$ .
$12(x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x = -1$ eller $x = 1$

Lag forteiknsskjema for $f''(x)$ :

$x$	$f''(x)$	Krumming
$x < -1$	$+$	hol side opp
$x = -1$	$0$
$-1 < x < 1$	$-$	hol side ned
$x = 1$	$0$
$x > 1$	$+$	hol side opp

f''(x)

skiftar forteikn i både

x = -1

x = 1

.
Finn

y

-verdiane.

f(-1) = 1 - 6 - 8 + 1 = -12

f(1) = 1 - 6 + 8 + 1 = 4

Vendepunkt:

(-1, -12)

(1, 4)

.
Svar: Vendepunkta er

(-1, -12)

(1, 4)

📜Dobbeltderiverttesten for ekstremalverdi

Lat $f'(a) = 0$ (stasjonært punkt). Då gjeld:

1. Dersom $f''(a) < 0$ , har $f$ lokalt toppunkt (maksimum) i $x = a$
2. Dersom $f''(a) > 0$ , har $f$ lokalt botnpunkt (minimum) i $x = a$
3. Dersom $f''(a) = 0$ , er testen inkonklusiv - bruk forteiknsskjema for $f'(x)$ i staden

Forklaring:
- $f''(a) < 0$ tyder at grafen vender den hole sida ned (bøyer ned) rundt $a$ - altså eit toppunkt
- $f''(a) > 0$ tyder at grafen vender den hole sida opp (bøyer opp) rundt $a$ - altså eit botnpunkt

✏️Dobbeltderiverttesten

Bruk dobbeltderiverttesten til å klassifisere dei stasjonære punkta til $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ .

Finn $f'(x)$ og stasjonære punkt.
$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1)$
$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2$ eller $x = -1$

Finn $f''(x)$ .
$f''(x) = 12x - 6$

Evaluer $f''$ i dei stasjonære punkta.

For $x = -1$ : $f''(-1) = 12(-1) - 6 = -18 < 0$ $\Rightarrow$ Toppunkt
$f(-1) = -2 - 3 + 12 + 5 = 12$
Toppunkt: $(-1, 12)$

For $x = 2$ : $f''(2) = 12(2) - 6 = 18 > 0$ $\Rightarrow$ Botnpunkt
$f(2) = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$
Botnpunkt: $(2, -15)$

Svar: Toppunkt $(-1, 12)$ og botnpunkt $(2, -15)$ .

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Vendepunkt og den dobbeltderiverte

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2

med vendepunktet markert. Den dobbeltderiverte

f''(x)

(raud, stipla) skiftar forteikn akkurat i vendepunktet — der grafen går frå å vende den hole sida ned til opp.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2
V = Vendepunkt(f)
g(x) = f''(x)
SetColor(f, "Blue")
SetColor(V, "Red")
SetColor(g, "Red")
SetLineStyle(g, 2)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Når dobbeltderiverttesten sviktar

Dobbeltderiverttesten er inkonklusiv når $f''(a) = 0$ . I slike tilfelle må vi bruke forteiknsskjema for $f'(x)$ .

Døme: For $f(x) = x^4$ har vi $f'(x) = 4x^3$ og $f''(x) = 12x^2$ .
$f'(0) = 0$ og $f''(0) = 0$ - testen er inkonklusiv.
Men frå forteiknsskjemaet: $f'(x) < 0$ for $x < 0$ og $f'(x) > 0$ for $x > 0$ , altså botnpunkt i $x = 0$ .

Døme: For $g(x) = x^3$ har vi $g'(0) = 0$ og $g''(0) = 0$ - testen er inkonklusiv.
Frå forteiknsskjemaet: $g'(x)$ skiftar ikkje forteikn (begge sider positive), altså er $x = 0$ eit vendepunkt, ikkje eit ekstremalpunkt.

✏️Krummingsanalyse

Bestem krumminga til $f(x) = e^{-x^2}$ og finn eventuelle vendepunkt.

Deriver.
$f'(x) = -2x \cdot e^{-x^2}$

Deriver igjen (produktregelen).
$f''(x) = -2 \cdot e^{-x^2} + (-2x) \cdot (-2x) \cdot e^{-x^2}$
$f''(x) = e^{-x^2}(-2 + 4x^2) = 2e^{-x^2}(2x^2 - 1)$

Løys $f''(x) = 0$ .
Sidan $e^{-x^2} > 0$ , treng vi $2x^2 - 1 = 0$ :
$\displaystyle x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Forteiknsskjema for $f''(x)$ :

$x$	$\displaystyle x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle x > \frac{\sqrt{2}}{2}$
$f''(x)$	$+$	$-$	$+$
Krumming	hol side opp	hol side ned	hol side opp

Vendepunkt:

\displaystyle f(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0{,}61

Vendepunkt:

\displaystyle (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}})

\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}})

Svar: Grafen vender den hole sida opp for $\displaystyle |x| > \frac{\sqrt{2}}{2}$ og den hole sida ned for $\displaystyle |x| < \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Vendepunkta er $\displaystyle \left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right) \approx (\pm 0{,}71;\ 0{,}61)$ .

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Finn $f''(x)$ når $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ .

For kva verdiar av $x$ vender grafen til $f$ den hole sida opp, og for kva vender han den hole sida ned?

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn vendepunkta til $f(x) = x^3 - 3x + 1$ .

Er vendepunktet eit terrassepunkt?

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Bruk dobbeltderiverttesten til å klassifisere dei stasjonære punkta til $f(x) = x^3 - 12x + 5$ .

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Finn $f''(x)$ for $f(x) = xe^x$ .

Finn vendepunktet til $f$ .

Løs oppgaven

Samanhengen mellom $f$ , $f'$ og $f''$

Det er viktig å forstå samanhengen mellom ein funksjon og dei deriverte hans:

$f'(x)$	$f''(x)$	Åtferda til funksjonen
$> 0$	$> 0$	Veksande med den hole sida opp (stadig brattare oppover)
$> 0$	$< 0$	Veksande med den hole sida ned (veks saktare)
$< 0$	$> 0$	Avtakande med den hole sida opp (avtek saktare)
$< 0$	$< 0$	Avtakande med den hole sida ned (stadig brattare nedover)
$= 0$	$< 0$	Toppunkt
$= 0$	$> 0$	Botnpunkt

Denne tabellen er eit nyttig hjelpemiddel for å tolke forteiknsskjema.

✏️Praktisk tolking av

f''(x)

Temperaturen

T

°C

) i eit rom

t

timar etter at varmeomnen blir slått på er gjeven ved:

T(t) = 20 - 15e^{-0{,}3t}

a) Finn $T'(t)$ og $T''(t)$ .
b) Kva fortel forteikna til $T'$ og $T''$ om temperaturutviklinga?

T'(t) = -15 \cdot (-0{,}3) \cdot e^{-0{,}3t} = 4{,}5 e^{-0{,}3t}

$T''(t) = 4{,}5 \cdot (-0{,}3) \cdot e^{-0{,}3t} = -1{,}35 e^{-0{,}3t}$

b)
- $T'(t) > 0$ for alle $t > 0$ : Temperaturen stig heile tida.
- $T''(t) < 0$ for alle $t > 0$ : Temperaturstiginga avtek (grafen vender den hole sida ned).

Tolking: Temperaturen stig raskt i starten, men stiginga blir stadig mindre. Temperaturen nærmar seg gradvis $20°C$ (horisontal asymptote), men når aldri heilt opp.

Svar: $T'(t) = 4{,}5e^{-0{,}3t}$ og $T''(t) = -1{,}35e^{-0{,}3t}$ . Temperaturen stig heile tida, men stadig langsamare, mot $20\,°C$ .

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Finn vendepunkta til $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2$ .

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Vis at $f(x) = x^3$ har vendepunkt i origo, sjølv om $f'(0) = 0$ .

Er origo eit ekstremalpunkt for $f(x) = x^3$ ? Grunngje svaret.

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Bestem krumming og vendepunkt til $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+4}$ .

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Talet på bakteriar i ein kultur er gjeve ved $\displaystyle N(t) = \frac{1000}{1 + 9e^{-0{,}5t}}$ . Finn vendepunktet og forklar kva det tyder.

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Klassifiser dei stasjonære punkta til $f(x) = x^5 - 5x$ med dobbeltderiverttesten.

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Finn alle vendepunkt til $f(x) = x^2 \ln x$ for $x > 0$ .

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Vis at vendepunktet til ein tredjegradsfunksjon $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ alltid ligg midt mellom dei to stasjonære punkta (dersom dei finst).

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Funksjonen $f(x) = ax^4 + bx^2$ har vendepunkt i $x = \pm 1$ . Finn samanhengen mellom $a$ og $b$ .

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

For $\displaystyle f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ , finn alle vendepunkt og bestem intervalla der grafen vender den hole sida opp og der han vender den hole sida ned.

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Avgjer om $x = 0$ er eit vendepunkt for $f(x) = x^4$ .

Kva slags punkt er $x = 0$ for $f(x) = x^4$ ?

Eksamensstrategi: Dersom oppgåva ber deg om å «finne vendepunkta», må du alltid:
1. Finne

f''(x)

2. Løyse

f''(x) = 0

3. Verifisere at

f''(x)

skiftar forteikn (forteiknsskjema!)
4. Rekne ut

y

-verdien

Utan steg 3 risikerer du å oppgje punkt som IKKJE er vendepunkt.

Oppsummering

Dobbeltderiverten $f''(x)$ fortel om:
- Krumming: $f''(x) > 0$ tyder hol side opp, $f''(x) < 0$ tyder hol side ned
- Vendepunkt: Der $f''(x)$ skiftar forteikn
- Klassifisering av stasjonære punkt: $f''(a) < 0 \Rightarrow$ topp, $f''(a) > 0 \Rightarrow$ botn

Viktig å hugse:
- $f''(a) = 0$ garanterer IKKJE vendepunkt - sjekk forteiknsskifte
- Dobbeltderiverttesten er inkonklusiv når $f''(a) = 0$
- Vendepunktet til ein tredjegradsfunksjon ligg midt mellom ekstremalpunkta

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Dobbeltderiverten f′′(x)f''(x)f′′(x)

Utforsk: Vendepunkt og den dobbeltderiverte

Når dobbeltderiverttesten sviktar

Samanhengen mellom fff, f′f'f′ og f′′f''f′′

Oppsummering

Dobbeltderiverten $f''(x)$

Samanhengen mellom $f$ , $f'$ og $f''$