3.2 Andrederiverte og vendepunkter

«Kurven flater ut»

Under en epidemi hører du stadig uttrykket «smittekurven flater ut». Antall smittede øker fortsatt — men økningen blir mindre for hver dag. Hva er det egentlig som beskrives her? Ikke funksjonen selv, og ikke den deriverte, men noe tredje: andrederiverten.

Vi vet at den deriverte $f'(x)$ forteller hvor bratt funksjonen er. Andrederiverten er den deriverte av den deriverte, $\displaystyle f''(x) = \frac{d}{dx}[f'(x)]$, og den forteller hvor raskt stigningen endrer seg. Det er nettopp dette en epidemiolog ser etter: når $f''$ blir negativ, vokser smitten saktere — kurven har begynt å flate ut, selv om den fortsatt peker oppover.

Geometrisk handler dette om krumning. En funksjon er konveks på et intervall dersom $f''(x) > 0$ der — grafen buer oppover og «smiler», som en kopp som holder vann. Den er konkav dersom $f''(x) < 0$ — grafen buer nedover og er «sur», som en kopp som søler vann. Punktet der funksjonen skifter mellom konkav og konveks krumning, kalles et vendepunkt — og i epidemien er vendepunktet selve nyheten: dagen da utviklingen snudde karakter.

Formelt har $f$ vendepunkt i $x = a$ dersom $f''(a) = 0$ (eller $f''(a)$ er udefinert) og $f''$ faktisk skifter fortegn i $a$. Det siste kravet er lett å glemme, og vi skal se hvorfor det er helt nødvendig.

Å finne vendepunkter

La oss trene på en konkret funksjon: $f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x + 1$. Fremgangsmåten har fire steg.

Først deriverer vi to ganger: $f'(x) = 4x^3 - 12x + 8$ og $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x-1)(x+1)$. Så løser vi $f''(x) = 0$, som gir kandidatene $x = -1$ og $x = 1$. Tredje steg er fortegnsskjemaet: $f''$ er positiv for $x < -1$ (konveks), negativ mellom $-1$ og $1$ (konkav), og positiv for $x > 1$ (konveks). Fortegnet skifter i begge kandidatene, så begge er ekte vendepunkter. Til slutt beregner vi $y$-verdiene: $f(-1) = 1 - 6 - 8 + 1 = -12$ og $f(1) = 1 - 6 + 8 + 1 = 4$. Vendepunktene er $(-1, -12)$ og $(1, 4)$.

Hvorfor er fortegnsskiftet så viktig? Se på $f(x) = x^4$. Der er $f''(x) = 12x^2$, som er null i $x = 0$ — men $f''$ er positiv på begge sider. Grafen er konveks hele veien, og $x = 0$ er ikke et vendepunkt (det er faktisk et bunnpunkt). $f''(a) = 0$ alene garanterer altså ingenting; du må verifisere fortegnsskiftet.

Dette gir oss en fast rutine når oppgaven sier «finn vendepunktene»: finn $f''(x)$, løs $f''(x) = 0$, lag fortegnsskjema og bekreft fortegnsskifte, og beregn $y$-verdien. Hopper du over fortegnsskjemaet, risikerer du å rapportere punkter som ikke er vendepunkter — en klassisk eksamensfelle.

Andrederivert-testen — og når den svikter

Andrederiverten gir oss også en rask måte å klassifisere stasjonære punkter på. Anta at $f'(a) = 0$. Andrederivert-testen sier: hvis $f''(a) < 0$, er grafen konkav rundt $a$, og punktet er et lokalt toppunkt. Hvis $f''(a) > 0$, er grafen konveks, og punktet er et lokalt bunnpunkt. Hvis $f''(a) = 0$, er testen inkonklusiv — da må du tilbake til fortegnsskjemaet for $f'$.

Vi prøver på $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$. Deriverer: $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x-2)(x+1)$, så de stasjonære punktene er $x = -1$ og $x = 2$. Andrederiverten er $f''(x) = 12x - 6$. I $x = -1$: $f''(-1) = -18 < 0$, altså toppunkt, med $f(-1) = 12$. I $x = 2$: $f''(2) = 18 > 0$, altså bunnpunkt, med $f(2) = -15$. Toppunkt $(-1, 12)$ og bunnpunkt $(2, -15)$ — raskt og elegant.

Men testen har et blindfelt. For $f(x) = x^4$ er både $f'(0) = 0$ og $f''(0) = 0$; testen sier ingenting. Fortegnsskjemaet for $f'$ redder oss: $f'(x) = 4x^3$ skifter fra negativ til positiv i null, så det er et bunnpunkt. For $g(x) = x^3$ er også $g'(0) = g''(0) = 0$, men her skifter $g'(x) = 3x^2$ ikke fortegn — begge sider er positive. Da er $x = 0$ et vendepunkt, ikke et ekstremalpunkt. Moralen: andrederivert-testen er en snarvei, fortegnsskjemaet er fasiten.

Å lese samspillet mellom $f$, $f'$ og $f''$

Når du behersker både første- og andrederiverten, kan du lese en funksjons oppførsel som en tabell med to fortegn. Er $f' > 0$ og $f'' > 0$, vokser funksjonen stadig brattere oppover. Er $f' > 0$ og $f'' < 0$, vokser den fortsatt, men saktere — det er dette som skjer når smittekurven «flater ut». Er $f' < 0$ og $f'' > 0$, avtar funksjonen, men fallet bremser. Og er begge negative, går det stadig brattere nedover. Kombinasjonen $f' = 0$ med $f'' < 0$ gir toppunkt, og $f' = 0$ med $f'' > 0$ gir bunnpunkt.

La oss bruke dette på to eksempler. Først klokkekurven $f(x) = e^{-x^2}$. Der er $f'(x) = -2x e^{-x^2}$, og produktregelen gir $f''(x) = 2e^{-x^2}(2x^2 - 1)$. Siden $e^{-x^2} > 0$, er $f''(x) = 0$ når $\displaystyle x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$, og fortegnsskjemaet viser konveks–konkav–konveks. Vendepunktene ligger i $\displaystyle (\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}})$, med $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0{,}61$.

Så en praktisk situasjon: temperaturen i et rom etter at ovnen slås på, $T(t) = 20 - 15e^{-0{,}3t}$. Vi får $T'(t) = 4{,}5e^{-0{,}3t} > 0$ og $T''(t) = -1{,}35e^{-0{,}3t} < 0$ for alle $t$. Tolkningen: temperaturen stiger hele tiden, men stigningen avtar — rask oppvarming i starten, så gradvis utflating mot $20\,°C$, som er en horisontal asymptote rommet aldri helt når. Til slutt et kuriøst faktum verdt å huske: vendepunktet til en tredjegradsfunksjon ligger alltid midt mellom ekstremalpunktene.

Oppsummering: det andrederiverten ser

Vi startet med en utflatende smittekurve og fant verktøyet som beskriver den: andrederiverten $f''(x)$, den deriverte av den deriverte. Mens $f'$ måler hvor bratt grafen er, måler $f''$ hvor raskt brattheten endrer seg — altså krumningen. Positiv $f''$ betyr konveks graf som smiler og holder vann; negativ $f''$ betyr konkav graf som søler. Der krumningen skifter, ligger vendepunktene — men bare hvis $f''$ faktisk skifter fortegn, ikke bare blir null. Eksempelet $f(x) = x^4$, der $f''(0) = 0$ uten fortegnsskifte, minner oss om at kandidater må verifiseres med fortegnsskjema.

Andrederiverten gir oss også andrederivert-testen for stasjonære punkter: $f'(a) = 0$ kombinert med $f''(a) < 0$ gir toppunkt, og med $f''(a) > 0$ gir bunnpunkt. Blir $f''(a) = 0$, er testen inkonklusiv, og fortegnsskjemaet for $f'$ overtar — slik det skilte bunnpunktet til $x^4$ fra vendepunktet til $x^3$.

Til slutt så vi hvordan fortegnene til $f'$ og $f''$ sammen forteller en hel historie: voksende og konveks er akselererende vekst, voksende og konkav er vekst som bremser, og så videre. Det var slik vi kunne lese temperaturmodellen $T(t) = 20 - 15e^{-0{,}3t}$: alltid stigende, alltid med avtagende fart, på vei mot asymptoten. Neste gang noen sier at «kurven flater ut», vet du nøyaktig hvilken matematisk størrelse de snakker om.