6.4 Hypotesetesting | Matematikk S1

Formulere hypoteser, signifikansnivå og p-verdi.

60 min

11 oppgaver

NullhypoteseAlternativ hypoteseSignifikansnivåp-verdiTestobservator

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.3Normalfordelingen

Normalfordelinga

Normalfordelinga er den viktigaste kontinuerlege sannsynsfordelinga. Mange naturlege fenomen (høgd, vekt, testresultat, målefeil) er tilnærma normalfordelte.

Kurva er klokkeforma og symmetrisk om forventningsverdien $\mu$ . Spreiinga blir avgjort av standardavviket $\sigma$ .

Vi skriv $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ for ein normalfordelt variabel.

Normalfordelinga

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

68-95-99,7-regelen

X \sim N(\mu, \sigma^2)

✏️Eksempel 1: Høgd

Høgda til vaksne menn i Noreg er tilnærma normalfordelt med $\mu = 180$ cm og $\sigma = 7$ cm. Finn sannsynet for at ein tilfeldig mann er mellom 173 og 187 cm.

Løysing:

Intervallet $[173, 187]$ er $[\mu - \sigma,\ \mu + \sigma]$ .

Ifølgje 68-95-99,7-regelen: $P(173 < X < 187) \approx 0{,}683 = 68{,}3\%$ .

Standardisering (z-score)

Vi kan omdanne kvar normalfordelt variabel til standardnormalfordelinga $Z \sim N(0, 1)$ :

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

$z$ -verdien fortel kor mange standardavvik $X$ er frå gjennomsnittet.

✏️Eksempel 2: Bruk av z-score

Med $\mu = 180$ og $\sigma = 7$ . Finn $P(X > 190)$ ved standardisering.

Løysing:

$z = \frac{190 - 180}{7} = \frac{10}{7} \approx 1{,}43$

$P(X > 190) = P(Z > 1{,}43) \approx 0{,}0764$ (frå tabell eller kalkulator).

Ca. 7,6 % av mennene er over 190 cm.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Vekta av eple frå ein gard er normalfordelt med $\mu = 200$ g og $\sigma = 30$ g. Bruk 68-95-99,7-regelen til å finne $P(170 < X < 230)$ .

Finn $P(140 < X < 260)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Rekn ut z-scoren for $X = 165$ cm når $\mu = 180$ og $\sigma = 7$ . Kva fortel denne verdien?

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Resultat på ein prøve er normalfordelte med $\mu = 65$ og $\sigma = 12$ . Finn sannsynet for å skåre over 80.

Finn sannsynet for å skåre mellom 50 og 80.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Levetida til ein type lyspære er normalfordelt med $\mu = 1200$ timar og $\sigma = 150$ timar. Ein produsent gir garanti for dei første 900 timane. Kor stor del av lyspærene vil gå i stykke innan garantitida?

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Vekta av pakkar frå ein fabrikk er normalfordelt med $\mu = 500$ g og $\sigma = 8$ g. Pakkar under 485 g blir kasserte. Finn delen som blir kassert.

Fabrikken ønskjer at maks 1 % blir kassert. Kva $\mu$ bør dei ha (med same $\sigma$ )?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

IQ-score er normalfordelt med $\mu = 100$ og $\sigma = 15$ . Mensa krev IQ over 130 for medlemskap. Kor stor del av befolkninga kvalifiserer? Kor mange i ein by med 100 000 innbyggjarar?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Normalfordelinga $N(\mu, \sigma)$ skildrar mange naturlege storleikar som høgd, vekt og måleresultat.
- 68–95–99,7-regelen gir raske overslag for delar innanfor $\mu \pm \sigma$ , $\mu \pm 2\sigma$ og $\mu \pm 3\sigma$ .
- Z-score: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ standardiserer og gjer det mogleg å samanlikne verdiar frå ulike fordelingar.
- Omvend bruk: Frå kjende delar kan vi finne ukjende $\mu$ eller $\sigma$ .

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
$N(\mu, \sigma)$	Normalfordeling med snitt $\mu$ og spreiing $\sigma$
Z-score	Tal på standardavvik frå snittet
Standardisering	Omdanning til standard normalfordeling

Viktige formlar

z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}

x = \mu + z\sigma

- 68 % innanfor

\pm\sigma

, 95 % innanfor

\pm 2\sigma

, 99,7 % innanfor

\pm 3\sigma

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.