5.6 Simulering med digitale verktøy

Monte Carlo-metoden i GeoGebra og Python, lova om dei store tala og stokastiske variablar.

45 min

8 oppgaver

SimuleringMonte CarloLova om dei store talaStokastiske variablar

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.4Hypergeometrisk fordeling

Brukes videre i

6.2Binomisk fordeling

Simulering -- å etterlikne røyndomen digitalt

Når analytiske utrekningar blir kompliserte, eller når vi vil undersøkje eit system over tid, er simulering eit kraftig verktøy. Vi lèt datamaskinen gjenta eit tilfeldig eksperiment tusenvis av gonger og studerer mønstera som oppstår.

Praktisk bruk i næringslivet:
- Simulere kundeankomstar i ein butikk
- Estimere risiko i finansielle porteføljar
- Planleggje lagerbehald under usikker etterspurnad
- Teste prisstrategiar

I denne seksjonen lærer du å bruke GeoGebra og grunnleggjande Python til simulering.

Monte Carlo-metoden

n

✏️Eksempel: Simulere terningkast i GeoGebra

Simuler 1000 kast med to terningar og estimer sannsynet for at summen er 7.

GeoGebra (algebrafeltet):

n = 1000
kast1 = Følge(TilfeldigMellom(1,6),i,1,n)
kast2 = Følge(TilfeldigMellom(1,6),i,1,n)
s = kast1 + kast2
p = TellDersom(x == 7, s) / n

Python:

import random

n = 1000
antall7 = sum(
    1
    for _ in range(n)
    if random.randint(1, 6)
    + random.randint(1, 6)
    == 7
)
print(
    "Estimert P(sum=7) ="
    f" {antall7/n:.3f}"
)

Éi køyring gav utskrifta:

Estimert P(sum=7) = 0.164

Teoretisk verdi: $\displaystyle P(\text{sum}=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$

Med $n = 1000$ hamnar estimatet vanlegvis mellom ca. $0{,}14$ og $0{,}19$ . Køyr simuleringa fleire gonger og sjå korleis estimatet varierer.

Svar: Simuleringa gir $P(\text{sum} = 7) \approx 0{,}16$ , nær den teoretiske verdien $\displaystyle \frac{1}{6} \approx 0{,}167$ .

Store tals lov er grunnlaget for forsikringsmatematikk: sjølv om eitt enkelt utfall er uforutseieleg, er gjennomsnittet over mange utfall svært forutseieleg.

Eit forsikringsselskap kan ikkje seie om akkurat du får ein skade, men kan seie svært nøyaktig kor stor del av 100 000 kundar som får skade. Dette gjer det mogleg å fastsetje rette forsikringspremiar.

Konsekvens for simulering: For å få to gyldige desimalars nøyaktigheit treng vi minst $n \approx 10000$ repetisjonar.

Stokastiske variablar

Når vi kastar ein terning, trekkjer eit kort eller måler noko tilfeldig, kan vi skildre utfallet med ein stokastisk variabel. Ein stokastisk variabel er ein variabel som kan ta ulike verdiar, der kvar verdi har eit bestemt sannsyn.

Vi bruker store bokstavar (som $X$ , $Y$ , $Z$ ) for stokastiske variablar og små bokstavar ( $x$ , $y$ , $z$ ) for dei konkrete verdiane dei kan ta.

Eksempel:
- $X$ = tal auge ved kast av éin terning. Moglege verdiar: $1, 2, 3, 4, 5, 6$
- $Y$ = tal kron ved tre myntkast. Moglege verdiar: $0, 1, 2, 3$
- $Z$ = tal rette svar på ei prøve med 10 spørsmål

Stokastisk variabel

X

Sannsynsfordeling

Ei sannsynsfordeling viser alle verdiane ein stokastisk variabel kan ta, saman med sannsynet for kvar verdi.

For ein diskret stokastisk variabel $X$ som kan ta verdiane $x_1, x_2, \ldots, x_n$ , set vi opp ein tabell:

$x$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
$P(X = x)$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

Krav til sannsynsfordeling:
1.

0 \leq P(X = x_i) \leq 1

for alle

i

2. $\sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1$ (summen av alle sannsyna er 1)

✏️Eksempel: Sannsynsfordeling for to terningar

La $X$ vere summen av auga ved kast av to terningar. Sett opp sannsynsfordelinga til $X$ .

Løysing:

$X$ kan ta verdiane $2, 3, 4, \ldots, 12$ .

Vi tel talet på gunstige utfall for kvar sum (totalt $6 \times 6 = 36$ utfall):

$x$	Tal	$P(X=x)$
2	1	$\displaystyle \frac{1}{36}$
3	2	$\displaystyle \frac{2}{36}$
4	3	$\displaystyle \frac{3}{36}$
5	4	$\displaystyle \frac{4}{36}$
6	5	$\displaystyle \frac{5}{36}$
7	6	$\displaystyle \frac{6}{36}$
8	5	$\displaystyle \frac{5}{36}$
9	4	$\displaystyle \frac{4}{36}$
10	3	$\displaystyle \frac{3}{36}$
11	2	$\displaystyle \frac{2}{36}$
12	1	$\displaystyle \frac{1}{36}$

Kontroll:

\displaystyle \frac{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{36}{36} = 1

Svar: Fordelinga står i tabellen over:

P(X = x)

aukar frå

\displaystyle \frac{1}{36}

ved

x = 2

til

\displaystyle \frac{6}{36}

ved

x = 7

og søkk igjen til

\displaystyle \frac{1}{36}

ved

x = 12

📝Oppgave 1

Ein nettbutikk registrerer om ein tilfeldig besøkjande gjer eit kjøp ( $K$ ) eller ikkje. Historisk sannsyn for kjøp er $p = 0{,}08$ .

Kva er det teoretiske sannsynet for at minst 1 av 5 besøkjande kjøper noko?

Skildr korleis du ville simulert 1000 grupper på 5 besøkjande i GeoGebra for å estimere sannsynet.

📝Oppgave 2

Store tals lov: Ein mynt blir kasta gjentekne gonger og vi registrerer kumulativ relativ hyppigheit av "kron".

Forklar kva "kumulativ relativ hyppigheit" tyder.

Kva forventar vi at den kumulative relative hyppigheita nærmar seg når $n$ blir stor?

Kvifor er det viktig for eit kasino at alle spel blir spelte mange gonger?

📝Oppgave 3

Monte Carlo-estimering av $\pi$ : Legg tilfeldige punkt i kvadratet $[0,1]\times[0,1]$ og tel delen som fell innanfor kvartsirkelen med radius 1.

Forklar kvifor delen punkt innanfor kvartsirkelen approksimerer $\pi/4$ .

Skriv pseudokode for simuleringa med $n = 100000$ punkt.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Simulering: Å etterlikne tilfeldige forsøk digitalt (GeoGebra, rekneark, Python) for å estimere sannsyn som er vanskelege å rekne ut eksakt.
- Monte Carlo-metoden: Gjenta forsøket mange gonger og bruk relativ frekvens som estimat for sannsynet.
- Store tals lov: Relativ frekvens nærmar seg det teoretiske sannsynet når talet på forsøk aukar.
- Stokastisk variabel: Gir kvart utfall ein talverdi. Sannsynsfordelinga viser alle verdiane med sannsyn, og sannsyna summerer seg til 1.
- Vurdering: Fleire simuleringar gir meir pålitelege estimat, men aldri eksakte svar.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Simulering	Digital etterlikning av tilfeldigheit
Relativ frekvens	Tal gunstige delt på tal forsøk
Store tals lov	Frekvensen stabiliserer seg mot sannsynet
Monte Carlo	Estimering ved mange tilfeldige forsøk
Stokastisk variabel	Talverdi bestemd av utfallet i eit tilfeldig forsøk
Sannsynsfordeling	Alle verdiar med sannsyna sine

Viktige formlar

- Estimert sannsyn

= \dfrac{\text{tal gunstige}}{\text{tal forsøk}}

- Forventa tal

= n \cdot p

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.