5.3 Bayes' setning | Matematikk S1

Bruke Bayes' setning til å oppdatere sannsynligheter.

50 min

17 oppgaver

Bayes setningTotal sannsynlighetOppdateringDiagnostiske tester

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.2Betinget sannsynlighet

Brukes videre i

5.4Avansert kombinatorikk

Kva er Bayes' setning?

Bayes' setning let oss "snu" vilkårsbundne sannsyn. Dersom vi kjenner $P(B|A)$ , kan vi rekne ut $P(A|B)$ .

Praktisk betydning: Vi startar med ei forhandsantaking (prior) om sannsynet for noko, får ny informasjon, og oppdaterer til ei etterantaking (posterior).

Eksempel:
- Ein pasient testar positivt for ein sjukdom. Kva er sannsynet for at pasienten faktisk er sjuk?
- Eit produkt er defekt. Kva maskin produserte det mest sannsynleg?
- Ein e-post inneheld ordet "gratis". Er det spam?

Utleiing av Bayes' setning

Frå definisjonen av vilkårsbunde sannsyn har vi:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Vi veit òg at $P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A)$

Ved å setje dette inn får vi Bayes' setning:

📜Bayes' setning

P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}

Der:
- $P(A)$ = Prior (forhands-sannsyn for A)
- $P(A|B)$ = Posterior (etterantaking, oppdatert sannsyn)
- $P(B|A)$ = Likelihood (sannsynet for å observere B gitt A)
- $P(B)$ = Marginal (total sannsyn for B)

Med totalsetninga:
$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A})}$

Diagnostiske testar

Eit viktig bruksområde for Bayes' setning er medisinsk diagnostikk.

Viktige omgrep:
- Sensitivitet: $P(+|\text{sjuk})$ - delen sjuke som testar positivt
- Spesifisitet: $P(-|\text{frisk})$ - delen friske som testar negativt
- Prevalens: $P(\text{sjuk})$ - delen av befolkninga som er sjuk
- Positiv prediktiv verdi (PPV): $P(\text{sjuk}|+)$ - sannsyn for å vere sjuk gitt positiv test

✏️Eksempel 1: Medisinsk test

Ein test for ein sjeldan sjukdom har følgjande eigenskapar:
- Sensitivitet: 99% (99% av sjuke testar positivt)
- Spesifisitet: 95% (95% av friske testar negativt)
- Prevalens: 0,1% av befolkninga har sjukdomen

Ein tilfeldig person testar positivt. Kva er sannsynet for at personen faktisk er sjuk?

Løysing:

Lat:
- $S$ = sjuk
- $+$ = positiv test

Gitt:
- $P(S) = 0{,}001$ (prevalens)
- $P(+|S) = 0{,}99$ (sensitivitet)
- $P(+|\overline{S}) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05$ (falsk positiv rate)

Trediagram:

                    Befolkning
                        │
         ┌──────────────┴──────────────┐
         │                             │
     Sjuk (0,001)              Frisk (0,999)
         │                             │
    ┌────┴────┐                   ┌────┴────┐
    │         │                   │         │
 + (0,99)  - (0,01)           + (0,05)  - (0,95)

Totalsetninga for $P(+)$ :
$P(+) = P(+|S) \cdot P(S) + P(+|\overline{S}) \cdot P(\overline{S})$
$P(+) = 0{,}99 \cdot 0{,}001 + 0{,}05 \cdot 0{,}999$
$P(+) = 0{,}00099 + 0{,}04995 = 0{,}05094$

Bayes' setning:
$P(S|+) = \frac{P(+|S) \cdot P(S)}{P(+)} = \frac{0{,}99 \cdot 0{,}001}{0{,}05094}$
$P(S|+) = \frac{0{,}00099}{0{,}05094} \approx 0{,}0194 \approx 1{,}9\%$

Overraskande resultat: Sjølv med ein positiv test er det berre ca. 2% sjanse for å vere sjuk!

Dette skuldast at sjukdomen er så sjeldan at talet på falske positive (frå dei mange friske) overstig talet på sanne positive.

Base rate fallacy

Eksempelet over illustrerer eit viktig fenomen: base rate fallacy (grunnsats-feilen).

Intuisjonen seier at ein 99% nøyaktig test burde gje høge sannsyn for å vere sjuk ved positiv test. Men når sjukdomen er sjeldan (låg prevalens), dominerer falske positive.

Hovudregel: Ved sjeldne tilstandar må sjølv svært gode testar ofte stadfestast med tilleggstestar.

📝Oppgave 5.3.1

Ein test for ein sjukdom har sensitivitet 95% og spesifisitet 90%. I ein populasjon er 5% smitta. Kva er sannsynet for at ein person som testar positivt faktisk er sjuk?

📝Oppgave 5.3.2

I oppgåve 5.3.1, kva er sannsynet for at ein person som testar negativt faktisk er frisk? (Negativ prediktiv verdi)

Kvalitetskontroll i produksjon

Bayes' setning blir òg brukt i kvalitetskontroll for å identifisere kjelda til defekte produkt.

✏️Eksempel 2: Produksjonsfeil

Ein fabrikk har tre maskiner som produserer elektroniske komponentar:
- Maskin A: 50% av produksjonen, 2% defektrate
- Maskin B: 30% av produksjonen, 3% defektrate
- Maskin C: 20% av produksjonen, 4% defektrate

Ein tilfeldig vald komponent er defekt. Kva maskin produserte han mest sannsynleg?

Løysing:

Lat $D$ = defekt, og $M_A$ , $M_B$ , $M_C$ = produsert av maskin A, B, C.

Gitt:
- $P(M_A) = 0{,}50$ , $P(D|M_A) = 0{,}02$
- $P(M_B) = 0{,}30$ , $P(D|M_B) = 0{,}03$
- $P(M_C) = 0{,}20$ , $P(D|M_C) = 0{,}04$

Totalsetninga for $P(D)$ :
$P(D) = 0{,}02 \cdot 0{,}50 + 0{,}03 \cdot 0{,}30 + 0{,}04 \cdot 0{,}20$
$P(D) = 0{,}01 + 0{,}009 + 0{,}008 = 0{,}027$

Bayes for kvar maskin:
$P(M_A|D) = \frac{0{,}02 \cdot 0{,}50}{0{,}027} = \frac{0{,}01}{0{,}027} \approx 0{,}370 = 37{,}0\%$

$P(M_B|D) = \frac{0{,}03 \cdot 0{,}30}{0{,}027} = \frac{0{,}009}{0{,}027} \approx 0{,}333 = 33{,}3\%$

$P(M_C|D) = \frac{0{,}04 \cdot 0{,}20}{0{,}027} = \frac{0{,}008}{0{,}027} \approx 0{,}296 = 29{,}6\%$

Maskin A er mest sannsynleg kjelde til den defekte komponenten, sjølv om han har lågast defektrate. Dette skuldast at A produserer mest.

Kontroll: $37{,}0\% + 33{,}3\% + 29{,}6\% \approx 100\%$ ✓

📝Oppgave 5.3.3

Ei bedrift har to leverandørar. Leverandør X leverer 60% av varene med 5% defektrate. Leverandør Y leverer 40% med 8% defektrate. Eit tilfeldig vald produkt er defekt. Kva er sannsynet for at det kom frå leverandør X?

📝Oppgave 5.3.4

I oppgåve 5.3.3, dersom bedrifta skal redusere defektraten, kva leverandør bør dei fokusere på først? Grunngje svaret.

Sekvensiell oppdatering

Bayes' setning kan brukast gjentekne gonger for å oppdatere sannsyn etter kvart som ny informasjon kjem inn.

Prosessen:
1. Start med prior $P(A)$
2. Observerer $B_1$ , oppdaterer til $P(A|B_1)$
3. Observerer $B_2$ , oppdaterer til $P(A|B_1 \cap B_2)$
4. Osv.

✏️Eksempel 3: Sekvensiell oppdatering

Ei eske inneheld anten 3 raude og 1 blå kule (type R) eller 1 raud og 3 blå kuler (type B). Det er 50% sjanse for kvar type. Ei kule blir trekt tilfeldig og er raud. Kula blir lagd tilbake. Ei ny kule blir trekt og er òg raud. Kva er sannsynet for at eska er av type R?

Løysing:

Lat $R$ = eske av type R (3 raude, 1 blå).

Utgangspunkt (prior):
$P(R) = 0{,}5, \quad P(B) = 0{,}5$

Første trekning (raud kule):
$P(\text{raud}|R) = \frac{3}{4}, \quad P(\text{raud}|B) = \frac{1}{4}$

Totalsetning:
$P(\text{raud}) = \frac{3}{4} \cdot 0{,}5 + \frac{1}{4} \cdot 0{,}5 = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$

Bayes etter 1. trekning:
$P(R|\text{1 raud}) = \frac{\frac{3}{4} \cdot 0{,}5}{0{,}5} = \frac{3}{4} = 75\%$

Andre trekning (òg raud):

Ny prior: $P(R) = 0{,}75$ , $P(B) = 0{,}25$

Totalsetning:
$P(\text{raud}) = \frac{3}{4} \cdot 0{,}75 + \frac{1}{4} \cdot 0{,}25 = \frac{9}{16} + \frac{1}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$

Bayes etter 2. trekning:
$P(R|\text{2 raude}) = \frac{\frac{3}{4} \cdot 0{,}75}{\frac{5}{8}} = \frac{\frac{9}{16}}{\frac{5}{8}} = \frac{9}{16} \cdot \frac{8}{5} = \frac{9}{10} = 90\%$

Etter to raude kuler er sannsynet for type R 90%.

📝Oppgave 5.3.5

I eksempel 3, kva ville sannsynet for type R vore dersom tredje trekning òg var raud?

📝Oppgave 5.3.6

Ein mynt er anten rettferdig (50% kron) eller falsk (80% kron). Startantakinga er 70% sjanse for rettferdig mynt. Mynten blir kasta to gonger og viser kron begge gongene. Kva er det oppdaterte sannsynet for at mynten er rettferdig?

Fleire bruksområde for Bayes' setning

Bayes' setning blir brukt på mange felt:

Medisin:
- Tolking av testresultat
- Vurdering av risikofaktorar

Spamfilter:
- Klassifisere e-post basert på ordbruk

Juss:
- Vurdere bevis i rettssaker

Maskinlæring:
- Naive Bayes-klassifiserarar
- Bayesiansk inferens

📝Oppgave 5.3.7

Eit spamfilter veit at 30% av alle e-postar er spam. Ordet "gratis" førekjem i 80% av spam-meldingar og 10% av legitime meldingar. Ein e-post inneheld "gratis". Kva er sannsynet for at det er spam?

📝Oppgave 5.3.8

Ein DNA-test i ei kriminalsak gjev "match" med den mistenkte. Testen har 99,9% sensitivitet (finn rett person) og 99,99% spesifisitet (avviser uskuldige). I ein by med 1 million innbyggjarar er éin person skuldig.

Kva er sannsynet for at den mistenkte er skuldig gitt DNA-match?

Kommenter resultatet. Er DNA-beviset sterkt nok åleine?

📝Oppgave 5.3.9

Eit forsikringsselskap veit at 10% av førarar er "høgrisikoførarar" som har 20% årleg ulykkessannsyn. Dei resterande 90% er "lågrisikoførarar" med 5% ulykkessannsyn. Ein ny kunde har ei ulykke første år. Kva er sannsynet for at kunden er høgrisiko? Kva er sannsynet for ulykke neste år?

📝Oppgave 5.3.10

Ein elev gjettar på ei flervalsoppgåve med 4 alternativ. 60% av elevane kan stoffet og svarar rett 90% av gongene. Dei resterande 40% gjettar tilfeldig. Ein elev svarar rett. Kva er sannsynet for at eleven faktisk kan stoffet?

📝Oppgave 5.3.11

Tre boksar ser like ut. Boks A inneheld 2 gullmyntar. Boks B inneheld 1 gullmynt og 1 sølvmynt. Boks C inneheld 2 sølvmyntar. Ein boks blir vald tilfeldig, og ein mynt blir trekt tilfeldig frå boksen. Mynten er gull. Kva er sannsynet for at den andre mynten i boksen òg er gull?

📝Oppgave 5.3.12

Ei vêrmelding seier at det er 40% sjanse for regn i morgon. Historisk sett stemmer vêrmeldinga 80% av gongene (både når ho seier regn og når ho seier ikkje regn). I dette området regnar det generelt 30% av dagane.

Kva er det faktiske sannsynet for regn i morgon, gitt vêrmeldinga?

Burde du ta med paraply?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Bayes' setning: $P(A \mid B) = \dfrac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}$ — lèt oss «snu» betinginga.
- Diagnostiske testar: Sjølv ein god test kan gje mange falske positive når sjukdomen er sjeldan (base rate fallacy). Rekn gjerne med konkrete tal (f.eks. per 1000 personar).
- Totalsetninga i nemnaren: $P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid \bar{A})P(\bar{A})$ .
- Sekvensiell oppdatering: Posterior etter første observasjon blir prior for neste.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Prior	Sannsyn før ny informasjon
Posterior	Oppdatert sannsyn etter informasjon
Sensitivitet	$P(\text{positiv} \mid \text{sjuk})$
Base rate fallacy	Å gløyme kor sjeldan hendinga er i utgangspunktet

Viktige formlar

P(A \mid B) = \dfrac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)}

P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid \bar{A})P(\bar{A})

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.