5.2 Betinget sannsynlighet | Matematikk S1

Betinget sannsynlighet og uavhengighet.

55 min

17 oppgaver

Betinget sannsynlighetUavhengighetMultiplikasjonsregelenTredjagram

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Kombinatorikk

Brukes videre i

5.3Bayes' setning

Vilkårsbunde sannsyn

Ofte ønskjer vi å finne sannsynet for at ei hending A inntreff, gitt at vi allereie veit at ei anna hending B har inntruffe. Dette blir kalla vilkårsbunde sannsyn.

Eksempel: Kva er sannsynet for at ein tilfeldig vald student består eksamen, gitt at studenten har gjort alle obligane?

Notasjon: $P(A|B)$ blir lese "sannsynet for A gitt B".

Vilkårsbunde sannsyn

A

Intuisjon bak formelen

Når vi veit at $B$ har inntruffe, avgrensar vi oss til utfall i $B$ . Då blir $B$ den nye "totalmengda" vår, og vi ser på kor stor del av $B$ som òg høyrer til $A$ .

Venndiagram-tolking:

    ┌─────────────────────────────┐
    │           S                 │
    │   ┌───────┬───────┐         │
    │   │   A   │A ∩ B  │   B     │
    │   │       │       │         │
    │   └───────┴───────┘         │
    │                             │
    └─────────────────────────────┘

$P(A|B)$ er forholdet mellom snittet $A \cap B$ og heile $B$ .

✏️Eksempel 1: Korttrekning

Frå ein kortstokk blir det trekt eitt kort. Gitt at kortet er eit biletkort (knekt, dame eller konge), kva er sannsynet for at det er hjarter?

Løysing:

Lat:
- $A$ = kortet er hjarter
- $B$ = kortet er eit biletkort

Ein kortstokk har 52 kort, 12 biletkort (3 i kvar farge), og 3 hjarter-biletkort.

Metode 1: Bruk formelen
$P(B) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$
$P(A \cap B) = \frac{3}{52} \quad \text{(3 hjarter-biletkort)}$
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3/52}{12/52} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Metode 2: Direkte tenking

Gitt at vi har eit biletkort, er det 12 moglege kort.
Av desse er 3 hjarter.
$P(A|B) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 25\%$

Sannsynet er 25% eller 1/4.

📝Oppgave 5.2.1

I ein klasse med 30 elevar spelar 18 fotball og 12 handball. 6 elevar spelar både fotball og handball. Ein tilfeldig elev blir vald. Gitt at eleven spelar fotball, kva er sannsynet for at eleven òg spelar handball?

📝Oppgave 5.2.2

To terningar blir kasta. Gitt at summen er minst 10, kva er sannsynet for at minst éin terning viser 6?

Produktregelen

Frå definisjonen av vilkårsbunde sannsyn kan vi utleie produktregelen:

📜Produktregelen

For to hendingar

A

B

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$

For tre hendingar:
$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)$

✏️Eksempel 2: Trekning utan tilbakelegging

Ei veske inneheld 5 raude og 3 blå kuler. Det blir trekt to kuler utan tilbakelegging. Kva er sannsynet for at begge kulene er raude?

Løysing med trediagram:

                    Første trekning
                         │
            ┌────────────┴────────────┐
            │                         │
         Raud (5/8)              Blå (3/8)
            │                         │
   ┌────────┴────────┐       ┌────────┴────────┐
   │                 │       │                 │
Raud (4/7)     Blå (3/7)  Raud (5/7)     Blå (2/7)
   │                 │       │                 │
  RR               RB       BR              BB

Lat:
- $A$ = første kule er raud
- $B$ = andre kule er raud

$P(A) = \frac{5}{8}$
$P(B|A) = \frac{4}{7} \quad \text{(4 raude att av 7 kuler)}$

Produktregelen:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \approx 35{,}7\%$

📝Oppgave 5.2.3

Ein kortstokk har 52 kort. Det blir trekt to kort utan tilbakelegging. Kva er sannsynet for at begge korta er ess?

📝Oppgave 5.2.4

Ein skuff inneheld 10 svarte og 6 kvite sokkar. Du trekkjer 2 sokkar tilfeldig i mørkret (utan tilbakelegging). Kva er sannsynet for at du får eit matchande par?

Uavhengige hendingar

To hendingar er uavhengige dersom det at den eine inntreff ikkje påverkar sannsynet for den andre.

Uavhengige hendingar

A

Viktig om uavhengigheit

Uavhengigheit er ikkje det same som disjunkte hendingar!

- Disjunkte hendingar ( $A \cap B = \emptyset$ ): Kan ikkje inntreffe samtidig
- Uavhengige hendingar: Ei hending påverkar ikkje sannsynet for den andre

Disjunkte hendingar med positivt sannsyn er faktisk avhengige: Dersom $A$ inntreff, veit vi at $B$ ikkje kan inntreffe.

✏️Eksempel 3: Uavhengige hendingar

Ein mynt blir kasta og ein terning blir kasta. Kva er sannsynet for å få kron og 6?

Løysing:

Lat:
- $A$ = mynt viser kron
- $B$ = terning viser 6

Desse hendingane er uavhengige (myntkastet påverkar ikkje terningkastet).

$P(A) = \frac{1}{2}, \quad P(B) = \frac{1}{6}$

For uavhengige hendingar:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \approx 8{,}3\%$

✏️Eksempel 4: Teste for uavhengigheit

I ei undersøking av 100 studentar fekk ein følgjande data:

Består	Stryk	Sum
Gjer obligar	54	6	60
Gjer ikkje obligar	24	16	40
Sum	78	22	100

Er hendingane "gjer obligar" og "består" uavhengige?

Løysing:

Lat:
- $A$ = studenten består
- $B$ = studenten gjer obligar

Vi sjekkar om $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ :

$P(A) = \frac{78}{100} = 0{,}78$
$P(B) = \frac{60}{100} = 0{,}60$
$P(A) \cdot P(B) = 0{,}78 \cdot 0{,}60 = 0{,}468$

$P(A \cap B) = \frac{54}{100} = 0{,}54$

Sidan $0{,}54 \neq 0{,}468$ , er hendingane ikkje uavhengige.

Vi kan òg sjå at:
$P(A|B) = \frac{54}{60} = 0{,}90 \neq P(A) = 0{,}78$

Studentar som gjer obligar har høgare sannsyn for å bestå.

📝Oppgave 5.2.5

Ein terning blir kasta tre gonger. Kva er sannsynet for å få 6 alle tre gongene?

📝Oppgave 5.2.6

Ei maskin produserer delar der 5% er defekte. Tre delar blir valde tilfeldig og uavhengig. Kva er sannsynet for at:

Alle tre er defekte

Ingen er defekte

Minst éin er defekt

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5.2.7

Ein test for ein sjukdom har følgjande eigenskapar: 95% av dei sjuke testar positivt (sensitivitet) og 90% av dei friske testar negativt (spesifisitet). I befolkninga er 1% smitta. Kva er sannsynet for at ein tilfeldig person testar positivt?

Totalsetninga (setninga om total sannsyn)

Totalsetninga let oss rekne ut sannsynet for ei hending ved å dele opp i gjensidig utelukkande tilfelle.

📜Totalsetninga

Lat

B_1, B_2, \ldots, B_n

vere gjensidig utelukkande hendingar som dekkjer heile utfallsrommet (ein partisjon). Då er:

$P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) + \ldots + P(A|B_n) \cdot P(B_n)$

Ofte brukt med to tilfelle ( $B$ og $\overline{B}$ ):
$P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B})$

✏️Eksempel 5: Totalsetninga med trediagram

Ein fabrikk har to maskiner, M1 og M2. M1 produserer 60% av alle delar og M2 produserer 40%. Av delane frå M1 er 2% defekte, medan 5% av delane frå M2 er defekte. Kva er sannsynet for at ein tilfeldig vald del er defekt?

Trediagram:

                      Start
                        │
         ┌──────────────┴──────────────┐
         │                             │
      M1 (0,60)                    M2 (0,40)
         │                             │
    ┌────┴────┐                   ┌────┴────┐
    │         │                   │         │
Defekt    OK                  Defekt    OK
(0,02)   (0,98)              (0,05)   (0,95)

Lat:
- $D$ = defekt del
- $M_1$ = del frå maskin 1
- $M_2$ = del frå maskin 2

Totalsetninga:
$P(D) = P(D|M_1) \cdot P(M_1) + P(D|M_2) \cdot P(M_2)$
$P(D) = 0{,}02 \cdot 0{,}60 + 0{,}05 \cdot 0{,}40$
$P(D) = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032 = 3{,}2\%$

Sannsynet for ein defekt del er 3,2%.

📝Oppgave 5.2.8

Ei veske inneheld 3 raude og 2 blå kuler. Ei kule blir trekt tilfeldig. Dersom kula er raud, blir ho lagd tilbake og 2 raude kuler lagde til. Dersom kula er blå, blir ingen kuler lagde tilbake. Deretter blir ei ny kule trekt. Kva er sannsynet for at den andre kula er raud?

📝Oppgave 5.2.9

I ein by er 70% av innbyggjarane kvinner og 30% menn. 40% av kvinnene og 30% av mennene bruker kollektivtransport.

Kva er sannsynet for at ein tilfeldig innbyggjar bruker kollektivtransport?

Gitt at ein person bruker kollektivtransport, kva er sannsynet for at personen er kvinne?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5.2.10

Eit firma har tre avdelingar: A, B og C. Avdeling A har 50 tilsette, B har 30 og C har 20. I avdeling A er 40% kvinner, i B er 60% kvinner, og i C er 50% kvinner. Ein tilsett blir vald tilfeldig. Gitt at personen er kvinne, kva er sannsynet for at ho jobbar i avdeling B?

📝Oppgave 5.2.11

Ein mynt er anten rettferdig (50% kron) eller skeiv (70% kron). Det er 60% sannsynleg at mynten er rettferdig. Mynten blir kasta og viser kron. Kva er det oppdaterte sannsynet for at mynten er rettferdig?

📝Oppgave 5.2.12

I eit spel blir ein terning kasta først. Dersom terningen viser 1 eller 2, blir eit kort trekt frå ein bunke med 3 raude og 2 svarte kort. Elles blir det trekt frå ein bunke med 2 raude og 4 svarte kort. Kva er sannsynet for å trekkje eit raudt kort? Gitt at kortet er raudt, kva er sannsynet for at terningen viste 1 eller 2?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Vilkårsbunde sannsyn: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ — sannsynet for $A$ gitt at $B$ har skjedd.
- Produktregelen: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$ — nyttig ved trekning utan tilbakelegging.
- Uavhengigheit: $A$ og $B$ er uavhengige dersom $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ , ekvivalent $P(A \mid B) = P(A)$ .
- Totalsetninga: $P(B) = P(A_1)P(B \mid A_1) + P(A_2)P(B \mid A_2) + \ldots$ når $A_1, A_2, \ldots$ deler opp utfallsrommet.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Vilkårsbunde sannsyn	$P(A \mid B)$
Produktregelen	$P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)$
Uavhengige hendingar	$P(A \cap B) = P(A)P(B)$
Totalsetninga	Vei saman vilkårsbundne sannsyn

Viktige formlar

P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

P(B) = \sum_i P(A_i)P(B \mid A_i)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.