4.2 Derivasjon i økonomiske modeller | Matematikk S1

Anvendelse av derivasjon på kostnads-, inntekts- og overskuddsfunksjoner — finn optimal produksjon.

50 min

17 oppgaver

GrensekostnadGrenseinntektMarginalanalyseOptimalt produksjonsvolum

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Kostnad, inntekt og overskudd 3.5Anvendelser av derivasjon

Brukes videre i

4.3Etterspørsel og elastisitet

Grensekostnader og grenseinntekter

I førre kapittelet såg vi på kostnadene ved å auke produksjonen med éin eining ved å rekne ut $K(x+1) - K(x)$ . Denne tilnærminga gir oss den faktiske meirkostnaden, men kan vere tungvint å rekne ut.

Ved hjelp av derivasjon kan vi finne ei tilnærming til denne meirkostnaden som er mykje enklare å arbeide med. Vi kallar dette grensekostnaden.

Grensekostnad

K'(x)

✏️Eksempel 1: Grensekostnad

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}05x^2 + 100x + 20000$ .

a) Finn grensekostnaden $K'(x)$ .
b) Finn grensekostnaden ved produksjon av 200 einingar.
c) Samanlikn med den faktiske kostnadsauken $K(201) - K(200)$ .

Løysing:

a) Vi deriverer kostnadsfunksjonen:
$K'(x) = 0{,}1x + 100$

b) Grensekostnaden ved $x = 200$ :
$K'(200) = 0{,}1 \cdot 200 + 100 = 20 + 100 = 120 \text{ kr}$

c) Den faktiske kostnadsauken:
$K(201) = 0{,}05 \cdot 201^2 + 100 \cdot 201 + 20000 = 2020{,}05 + 20100 + 20000 = 42120{,}05$
$K(200) = 0{,}05 \cdot 200^2 + 100 \cdot 200 + 20000 = 2000 + 20000 + 20000 = 42000$
$K(201) - K(200) = 42120{,}05 - 42000 = 120{,}05 \text{ kr}$

Grensekostnaden $K'(200) = 120$ kr er ei god tilnærming til den faktiske kostnadsauken på $120{,}05$ kr.

📝Oppgave 1

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^2 + 80x + 15000$ .

Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Finn grensekostnaden ved produksjon av 100 einingar.

Finn grensekostnaden ved produksjon av 500 einingar.

Kva skjer med grensekostnaden når produksjonen aukar?

Løs oppgaven Tren

Grenseinntekt

På same måten som grensekostnaden kan vi definere grenseinntekta som den deriverte av inntektsfunksjonen.

Grenseinntekt

I'(x)

✏️Eksempel 2: Grenseinntekt

Ei bedrift sel produkt for 150 kr per stykk.

a) Sett opp inntektsfunksjonen.
b) Finn grenseinntekta.
c) Tolk resultatet.

Løysing:

a) Inntektsfunksjonen:
$I(x) = 150x$

b) Grenseinntekta:
$I'(x) = 150$

c) Tolking: Grenseinntekta er konstant og lik prisen. For kvar ekstra eining som blir seld, aukar inntektene med 150 kr.

Dette gir meining: Når prisen er fast, får bedrifta alltid like mykje ekstra inntekt for kvar ny eining dei sel.

📝Oppgave 2

Ein butikk sel varer for 250 kr per stykk.

Sett opp inntektsfunksjonen $I(x)$ .

Finn grenseinntekta $I'(x)$ .

Kva tyder resultatet i praksis?

Løs oppgaven Tren

Grenseoverskot og optimal produksjon

Grenseoverskotet fortel oss kor mykje overskotet endrar seg når produksjonen aukar med éin eining.

Grenseoverskot

O'(x)

📜Optimal produksjon

Overskotet er maksimalt når grenseinntekta er lik grensekostnaden:

$I'(x) = K'(x)$

Dette tyder at den siste eininga som blir produsert, gir like mykje i ekstra inntekt som ho kostar å produsere.

✏️Eksempel 3: Optimal produksjonsmengd

Ei bedrift har:
- Kostnadsfunksjon: $K(x) = 0{,}01x^2 + 40x + 10000$
- Salspris: 120 kr per eining

Finn den produksjonsmengda som gir maksimalt overskot.

Løysing:

Metode 1: Bruk av overskotsfunksjonen

Inntektsfunksjon: $I(x) = 120x$

Overskotsfunksjon:
$O(x) = I(x) - K(x) = 120x - (0{,}01x^2 + 40x + 10000)$
$O(x) = -0{,}01x^2 + 80x - 10000$

For maksimum set vi $O'(x) = 0$ :
$O'(x) = -0{,}02x + 80 = 0$
$x = \frac{80}{0{,}02} = 4000$

Metode 2: Grenseinntekt = Grensekostnad

Grenseinntekt: $I'(x) = 120$
Grensekostnad: $K'(x) = 0{,}02x + 40$

Set $I'(x) = K'(x)$ :
$120 = 0{,}02x + 40$
$80 = 0{,}02x$
$x = 4000$

Svar: Optimal produksjonsmengd er 4000 einingar.

Maksimalt overskot: $O(4000) = -0{,}01 \cdot 4000^2 + 80 \cdot 4000 - 10000 = 150000$ kr

📝Oppgave 3

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}005x^2 + 50x + 20000$ og sel produkta for 100 kr per stykk.

Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Finn grenseinntekta $I'(x)$ .

Finn produksjonsmengda som gir maksimalt overskot.

Rekn ut det maksimale overskotet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Ei bedrift produserer mobiltelefondeksel med kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}002x^2 + 15x + 8000$ og salspris 45 kr per stykk.

Sett opp overskotsfunksjonen $O(x)$ .

Finn $O'(x)$ .

Finn optimal produksjonsmengd.

Finn maksimalt overskot.

Løs oppgaven Tren

Økonomisk tolking:

- Grensekostnad $K'(x)$ : Kostnaden ved å produsere éi eining til
- Grenseinntekt $I'(x)$ : Inntekta ved å selje éi eining til
- Grenseoverskot $O'(x)$ : Endring i overskot ved éi eining ekstra

Så lenge $I'(x) > K'(x)$ , lønner det seg å auke produksjonen fordi kvar ny eining gir meir inntekt enn ho kostar.

📝Oppgave 5

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}04x^2 + 60x + 5000$ .

Finn grensekostnaden ved produksjon av 50 einingar.

Rekn ut den faktiske kostnadsauken $K(51) - K(50)$ .

Kor stort er avviket mellom grensekostnaden og den faktiske kostnadsauken?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}001x^3 - 0{,}15x^2 + 30x + 5000$ og salspris 60 kr per eining.

Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Finn optimal produksjonsmengd.

Rekn ut grensekostnaden ved optimal produksjon.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Ei bedrift har grensekostnaden $K'(x) = 0{,}06x + 40$ .

Dersom bedrifta aukar produksjonen frå 100 til 101 einingar, omtrent kor mykje aukar kostnadene?

Ved kva produksjonsmengd er grensekostnaden 100 kr?

Dersom salsprisen er 70 kr, ved kva produksjonsmengd er overskotet maksimalt?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Ei bedrift produserer varer med kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}008x^2 + 25x + 12000$ .

Finn einingskostnaden $E(x)$ .

Finn den deriverte av einingskostnaden $E'(x)$ .

Ved kva produksjonsmengd er einingskostnaden lågast?

Vis at ved denne produksjonsmengda er einingskostnaden lik grensekostnaden.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Ei bedrift har overskotsfunksjonen $O(x) = -0{,}02x^2 + 100x - 30000$ .

Finn grenseoverskotet $O'(x)$ .

Ved kva produksjonsmengd er grenseoverskotet null?

Er dette eit maksimumspunkt? Grunngi svaret.

Finn det maksimale overskotet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Ei bedrift vurderer å produsere ei ny vare. Marknadsanalysen gir følgjande:
- Faste kostnader: 80 000 kr
- Variable kostnader per eining: $20 + 0{,}01x$ kr (aukar med produksjonen)
- Salspris: 100 kr per eining

Sett opp kostnadsfunksjonen $K(x)$ .

Finn grensekostnaden.

Finn optimal produksjonsmengd.

Rekn ut maksimalt overskot.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Tabellen viser grensekostnaden for ulike produksjonsmengder:

$x$	0	100	200	300	400	500
$K'(x)$	50	54	58	62	66	70

Vis at grensekostnaden er lineær, og finn uttrykket for $K'(x)$ .

Dersom salsprisen er 66 kr, ved kva produksjonsmengd er overskotet maksimalt?

Finn kostnadsfunksjonen $K(x)$ dersom dei faste kostnadene er 10 000 kr.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}015x^2 + 30x + 25000$ og sel til prisen $p$ kroner per eining.

Finn eit uttrykk for optimal produksjonsmengd som funksjon av prisen $p$ .

Kva må prisen minst vere for at det skal løne seg å produsere?

Finn optimal produksjonsmengd når prisen er 90 kr.

Kva er grensekostnaden ved optimal produksjon når $p = 90$ kr?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Grensekostnad $K'(x)$ : den tilnærma kostnaden ved å produsere éi eining til.
- Grenseinntekt $I'(x)$ : den tilnærma inntektsauken ved å selje éi eining til.
- Grenseoverskot $O'(x) = I'(x) - K'(x)$ .
- Optimal produksjon: Overskotet er størst der $I'(x) = K'(x)$ — grenseinntekt lik grensekostnad.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Grensekostnad	$K'(x)$ — kostnad for neste eining
Grenseinntekt	$I'(x)$ — inntekt av neste eining
Optimal produksjon	Der $I'(x) = K'(x)$

Viktige formlar

O'(x) = I'(x) - K'(x)

- Maksimalt overskot:

I'(x) = K'(x)

(og

O''(x) < 0

)
-

K(x+1) - K(x) \approx K'(x)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.