4.2 Grensekostnader og grenseinntekter | Matematikk S1

Derivasjon i økonomiske modellar: grensekostnad, grenseinntekt, maksimalt overskot og lågast einingskostnad.

50 min

20 oppgaver

GrensekostnadGrenseinntektProfittmaksimeringEiningskostnad

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Kostnad, inntekt og overskudd 3.5Anvendelser av derivasjon

Brukes videre i

4.3Etterspørsel og elastisitet

Grensekostnader og grenseinntekter

I førre kapittelet såg vi på kostnadene ved å auke produksjonen med éin eining ved å rekne ut $K(x+1) - K(x)$ . Denne tilnærminga gir oss den faktiske meirkostnaden, men kan vere tungvint å rekne ut.

Ved hjelp av derivasjon kan vi finne ei tilnærming til denne meirkostnaden som er mykje enklare å arbeide med. Vi kallar dette grensekostnaden.

Grensekostnad

K'(x)

✏️Eksempel 1: Grensekostnad

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}05x^2 + 100x + 20000$ .

a) Finn grensekostnaden $K'(x)$ .
b) Finn grensekostnaden ved produksjon av 200 einingar.
c) Samanlikn med den faktiske kostnadsauken $K(201) - K(200)$ .

Løysing:

a) Vi deriverer kostnadsfunksjonen:
$K'(x) = 0{,}1x + 100$

b) Grensekostnaden ved $x = 200$ :
$K'(200) = 0{,}1 \cdot 200 + 100 = 20 + 100 = 120 \text{ kr}$

c) Den faktiske kostnadsauken:
$\begin{aligned} K(201) &= 0{,}05 \cdot 201^2 + 100 \cdot 201 + 20000 \\ &= 2020{,}05 + 20100 + 20000 \\ &= 42120{,}05 \end{aligned}$
$\begin{aligned} K(200) &= 0{,}05 \cdot 200^2 + 100 \cdot 200 + 20000 \\ &= 2000 + 20000 + 20000 \\ &= 42000 \end{aligned}$
$K(201) - K(200) = 42120{,}05 - 42000 = 120{,}05 \text{ kr}$

Grensekostnaden $K'(200) = 120$ kr er ei god tilnærming til den faktiske kostnadsauken på $120{,}05$ kr.

Svar: a) $K'(x) = 0{,}1x + 100$ b) 120 kr c) 120,05 kr, så $K'(200)$ er ei god tilnærming.

📝Oppgave 1

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^2 + 80x + 15000$ .

Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Finn grensekostnaden ved produksjon av 100 einingar.

Finn grensekostnaden ved produksjon av 500 einingar.

Kva skjer med grensekostnaden når produksjonen aukar?

Løs oppgaven

Grenseinntekt

På same måten som grensekostnaden kan vi definere grenseinntekta som den deriverte av inntektsfunksjonen.

Grenseinntekt

I'(x)

✏️Eksempel 2: Grenseinntekt

Ei bedrift sel produkt for 150 kr per stykk.

a) Sett opp inntektsfunksjonen.
b) Finn grenseinntekta.
c) Tolk resultatet.

Løysing:

a) Inntektsfunksjonen:
$I(x) = 150x$

b) Grenseinntekta:
$I'(x) = 150$

c) Tolking: Grenseinntekta er konstant og lik prisen. For kvar ekstra eining som blir seld, aukar inntektene med 150 kr.

Dette gir meining: Når prisen er fast, får bedrifta alltid like mykje ekstra inntekt for kvar ny eining dei sel.

Svar: a) $I(x) = 150x$ b) $I'(x) = 150$ c) Kvar ekstra eining aukar inntektene med 150 kr.

📝Oppgave 2

Ein butikk sel varer for 250 kr per stykk.

Sett opp inntektsfunksjonen $I(x)$ .

Finn grenseinntekta $I'(x)$ .

Kva tyder resultatet i praksis?

Løs oppgaven

Grenseoverskot og optimal produksjon

Grenseoverskotet fortel oss kor mykje overskotet endrar seg når produksjonen aukar med éin eining.

Grenseoverskot

O'(x)

📜Optimal produksjon

Overskotet er maksimalt når grenseinntekta er lik grensekostnaden:

$I'(x) = K'(x)$

Dette tyder at den siste eininga som blir produsert, gir like mykje i ekstra inntekt som ho kostar å produsere.

✏️Eksempel 3: Optimal produksjonsmengd

Ei bedrift har:
- Kostnadsfunksjon: $K(x) = 0{,}01x^2 + 40x + 10000$
- Salspris: 120 kr per eining

Finn den produksjonsmengda som gir maksimalt overskot.

Løysing:

Metode 1: Bruk av overskotsfunksjonen

Inntektsfunksjon: $I(x) = 120x$

Overskotsfunksjon:
$\begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= 120x - (0{,}01x^2 + 40x + 10000) \end{aligned}$
$O(x) = -0{,}01x^2 + 80x - 10000$

For maksimum set vi $O'(x) = 0$ :
$O'(x) = -0{,}02x + 80 = 0$
$x = \frac{80}{0{,}02} = 4000$

Metode 2: Grenseinntekt = Grensekostnad

Grenseinntekt: $I'(x) = 120$
Grensekostnad: $K'(x) = 0{,}02x + 40$

Set $I'(x) = K'(x)$ :
$120 = 0{,}02x + 40$
$80 = 0{,}02x$
$x = 4000$

$O(4000) = -0{,}01 \cdot 4000^2 + 80 \cdot 4000 - 10000 = 150000$

Svar: Optimal produksjonsmengd er 4000 einingar. Då er overskotet 150 000 kr.

Praktisk framgangsmåte for profittmaksimering

Set opp $I(x)$ og $K(x)$ frå oppgåva.
- Dersom prisen er konstant: $I(x) = p \cdot x$
- Dersom prisen avheng av mengda (monopol): $I(x) = p(x) \cdot x$

Finn overskotsfunksjonen $O(x) = I(x) - K(x)$ .

Deriver og set $O'(x) = 0$ .

Sjekk at $O''(x) < 0$ for å stadfeste maksimum.

Rekn ut det største overskotet $O(x_0)$ og tolk svaret.

Hugs at $x$ må vere innanfor ei fornuftig definisjonsmengd (produksjonen kan ikkje vere negativ, og det kan finnast kapasitetsavgrensingar).

✏️Eksempel 4: Profittmaksimering med fast pris

Ei bedrift produserer ei vare som blir seld til ein fast pris på 80 kr per eining. Kostnadsfunksjonen er:

$K(x) = 0{,}002x^3 - 0{,}6x^2 + 70x + 500$

der $x$ er talet på einingar.

a) Set opp overskotsfunksjonen.
b) Finn det produksjonsnivået som gjev maksimal profitt.
c) Rekn ut den maksimale profitten.

a) Inntekta er

I(x) = 80x

(fast pris).

$\begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= 80x - (0{,}002x^3 - 0{,}6x^2 + 70x + 500) \end{aligned}$
$O(x) = -0{,}002x^3 + 0{,}6x^2 + 10x - 500$

b) Vi deriverer:

$O'(x) = -0{,}006x^2 + 1{,}2x + 10$

Set $O'(x) = 0$ :

$-0{,}006x^2 + 1{,}2x + 10 = 0$

Gangar med $\displaystyle -\frac{1}{0{,}006}$ :

$x^2 - 200x - 1666{,}7 = 0$

$\begin{aligned} x &= \frac{200 \pm \sqrt{40000 + 6666{,}7}}{2} \\ &= \frac{200 \pm \sqrt{46666{,}7}}{2} \\ &= \frac{200 \pm 216{,}0}{2} \end{aligned}$

$x \approx 208$ (vi forkastar den negative løysinga $x \approx -8$ ).

Sjekk: $O''(x) = -0{,}012x + 1{,}2$ , $O''(208) = -0{,}012 \cdot 208 + 1{,}2 \approx -1{,}3 < 0$ (maksimum).

c) $O(208) = -0{,}002 \cdot 208^3 + 0{,}6 \cdot 208^2 + 10 \cdot 208 - 500$
$= -17\,997{,}8 + 25\,958{,}4 + 2\,080 - 500 \approx 9\,541$ kr.

Svar: Maksimalt overskot er ca. 9 541 kr ved produksjon av 208 einingar.

✏️Eksempel 5: Profittmaksimering med prisfunksjon (monopol)

Ei bedrift er åleine i marknaden (monopol) og kan sjølv setje prisen. Etterspurnadsfunksjonen er $p(x) = 200 - 0{,}5x$ og kostnadsfunksjonen er $K(x) = 20x + 1000$ .

a) Set opp inntekts- og overskotsfunksjonen.
b) Finn det produksjonsnivået som maksimerer profitten.
c) Finn prisen som bedrifta bør setje.

a) Inntekta:

I(x) = p(x) \cdot x = (200 - 0{,}5x) \cdot x = 200x - 0{,}5x^2

Profitten:
$\begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= 200x - 0{,}5x^2 - 20x - 1000 \\ &= -0{,}5x^2 + 180x - 1000 \end{aligned}$

b) $O'(x) = -x + 180 = 0 \Rightarrow x = 180$

$O''(x) = -1 < 0$ (maksimum).

Alternativ med grenseinntekt = grensekostnad:
$I'(x) = 200 - x$ og $K'(x) = 20$

$200 - x = 20 \Rightarrow x = 180$ (same svar).

c) Prisen: $p(180) = 200 - 0{,}5 \cdot 180 = 200 - 90 = 110$ kr.

Overskotet: $O(180) = -0{,}5 \cdot 32400 + 180 \cdot 180 - 1000 = -16200 + 32400 - 1000 = 15\,200$ kr.

Svar: a) $I(x) = 200x - 0{,}5x^2$ og $O(x) = -0{,}5x^2 + 180x - 1000$ b) $x = 180$ c) Prisen bør vere 110 kr. Då er overskotet 15 200 kr.

📝Oppgave 3

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}005x^2 + 50x + 20000$ og sel produkta for 100 kr per stykk.

Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Finn grenseinntekta $I'(x)$ .

Finn produksjonsmengda som gir maksimalt overskot.

Rekn ut det maksimale overskotet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Ei bedrift produserer mobiltelefondeksel med kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}002x^2 + 15x + 8000$ og salspris 45 kr per stykk.

Sett opp overskotsfunksjonen $O(x)$ .

Finn $O'(x)$ .

Finn optimal produksjonsmengd.

Finn maksimalt overskot.

Løs oppgaven

Økonomisk tolking:

- Grensekostnad $K'(x)$ : Kostnaden ved å produsere éi eining til
- Grenseinntekt $I'(x)$ : Inntekta ved å selje éi eining til
- Grenseoverskot $O'(x)$ : Endring i overskot ved éi eining ekstra

Så lenge $I'(x) > K'(x)$ , lønner det seg å auke produksjonen fordi kvar ny eining gir meir inntekt enn ho kostar.

Einingskostnad og optimal produksjon

Einingskostnaden (gjennomsnittskostnaden) er kostnaden per produserte eining:

$E(x) = \frac{K(x)}{x}$

Einingskostnaden er minimert når:

$\begin{aligned} &E'(x) = 0 \\ \Leftrightarrow {}&\frac{K'(x) \cdot x - K(x)}{x^2} = 0 \\ \Leftrightarrow {}&K'(x) = \frac{K(x)}{x} = E(x) \end{aligned}$

Altså: einingskostnaden er minst der grensekostnaden er lik einingskostnaden. Grafisk tyder dette at $K'(x)$ -kurva kryssar $E(x)$ -kurva i minimumspunktet.

✏️Eksempel 6: Minimering av einingskostnad

Ein fabrikk har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}01x^3 - 1{,}2x^2 + 60x + 800$ der $x$ er talet på einingar.

a) Set opp einingskostnaden $E(x)$ .
b) Finn produksjonsnivået som minimerer einingskostnaden.
c) Vis at $K'(x_0) = E(x_0)$ i minimumspunktet.

E(x) = \frac{K(x)}{x} = 0{,}01x^2 - 1{,}2x + 60 + \frac{800}{x}

b) Vi deriverer:

$E'(x) = 0{,}02x - 1{,}2 - \frac{800}{x^2}$

Vi set $E'(x) = 0$ og gangar med $x^2$ :

$0{,}02x^3 - 1{,}2x^2 - 800 = 0$

$x = 60$ : $0{,}02 \cdot 216\,000 - 1{,}2 \cdot 3600 - 800 = 4320 - 4320 - 800 = -800$

$x = 70$ : $0{,}02 \cdot 343\,000 - 1{,}2 \cdot 4900 - 800 = 6860 - 5880 - 800 = 180$

Forteiknet skiftar mellom 60 og 70, så nullpunktet ligg der. Med CAS:

NLøs(0.02x^3 - 1.2x^2 - 800 = 0, x = 65) gir $x_0 \approx 68{,}5$

c) $K'(x) = 0{,}03x^2 - 2{,}4x + 60$

$K'(68{,}52) = 0{,}03 \cdot 4695{,}0 - 2{,}4 \cdot 68{,}52 + 60 \approx 140{,}85 - 164{,}45 + 60 \approx 36{,}4$

$\displaystyle E(68{,}52) = 0{,}01 \cdot 4695{,}0 - 1{,}2 \cdot 68{,}52 + 60 + \frac{800}{68{,}52} \approx 46{,}95 - 82{,}22 + 60 + 11{,}68 \approx 36{,}4$

Svar: a) $\displaystyle E(x) = 0{,}01x^2 - 1{,}2x + 60 + \frac{800}{x}$ b) $x_0 \approx 68{,}5$ einingar c) $K'(x_0) \approx 36{,}4 \approx E(x_0)$ , slik teorien seier.

📝Oppgave 5

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}04x^2 + 60x + 5000$ .

Finn grensekostnaden ved produksjon av 50 einingar.

Rekn ut den faktiske kostnadsauken $K(51) - K(50)$ .

Kor stort er avviket mellom grensekostnaden og den faktiske kostnadsauken?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}001x^3 - 0{,}15x^2 + 30x + 5000$ og salspris 60 kr per eining.

Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Finn optimal produksjonsmengd.

Rekn ut grensekostnaden ved optimal produksjon.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Ei bedrift har grensekostnaden $K'(x) = 0{,}06x + 40$ .

Dersom bedrifta aukar produksjonen frå 100 til 101 einingar, omtrent kor mykje aukar kostnadene?

Ved kva produksjonsmengd er grensekostnaden 100 kr?

Dersom salsprisen er 70 kr, ved kva produksjonsmengd er overskotet maksimalt?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Ei bedrift produserer varer med kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}008x^2 + 25x + 12000$ .

Finn einingskostnaden $E(x)$ .

Finn den deriverte av einingskostnaden $E'(x)$ .

Ved kva produksjonsmengd er einingskostnaden lågast?

Vis at ved denne produksjonsmengda er einingskostnaden lik grensekostnaden.

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Ei bedrift har overskotsfunksjonen $O(x) = -0{,}02x^2 + 100x - 30000$ .

Finn grenseoverskotet $O'(x)$ .

Ved kva produksjonsmengd er grenseoverskotet null?

Er dette eit maksimumspunkt? Grunngi svaret.

Finn det maksimale overskotet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Ei bedrift vurderer å produsere ei ny vare. Marknadsanalysen gir følgjande:
- Faste kostnader: 80 000 kr
- Variable kostnader per eining: $20 + 0{,}01x$ kr (aukar med produksjonen)
- Salspris: 100 kr per eining

Sett opp kostnadsfunksjonen $K(x)$ .

Finn grensekostnaden.

Finn optimal produksjonsmengd.

Rekn ut maksimalt overskot.

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Tabellen viser grensekostnaden for ulike produksjonsmengder:

$x$	$K'(x)$
0	50
100	54
200	58
300	62
400	66
500	70

Vis at grensekostnaden er lineær, og finn uttrykket for $K'(x)$ .

Dersom salsprisen er 66 kr, ved kva produksjonsmengd er overskotet maksimalt?

Vis at kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^2 + 50x + 10\,000$ har denne grensekostnaden og faste kostnader på 10 000 kr.

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}015x^2 + 30x + 25000$ og sel til prisen $p$ kroner per eining.

Finn eit uttrykk for optimal produksjonsmengd som funksjon av prisen $p$ .

Kva må prisen minst vere for at den optimale produksjonsmengda skal vere positiv?

Finn optimal produksjonsmengd når prisen er 90 kr.

Kva er grensekostnaden ved optimal produksjon når $p = 90$ kr?

Løs oppgaven

📝Oppgave 13

Ei monopolbedrift har etterspurnadsfunksjonen $p(x) = 300 - 2x$ og kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}5x^2 + 40x + 500$ .

Finn grenseinntekta $I'(x)$ og grensekostnaden $K'(x)$ .

Bruk vilkåret $I'(x) = K'(x)$ til å finne optimalt produksjonsnivå.

Finn optimal pris og maksimal profitt.

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}005x^3 - 0{,}6x^2 + 30x + 400$ .

Set opp einingskostnaden $\displaystyle E(x) = \frac{K(x)}{x}$ .

Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Finn vendepunktet til $K(x)$ og tolk det økonomisk.

Løs oppgaven

📝Oppgave 15

Eit bryggeri sel øl i ein marknad der etterspurnadsfunksjonen er $p(x) = 150 - 0{,}25x$ (pris i kr per kasse, $x$ er talet på kasser). Kostnadsfunksjonen er $K(x) = 0{,}001x^3 - 0{,}15x^2 + 20x + 3000$ .

Set opp overskotsfunksjonen $O(x)$ .

Finn det produksjonsnivået som gjev maksimal profitt.

Finn den optimale prisen og den maksimale profitten.

For kva produksjonsintervall er profitten positiv?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Grensekostnad $K'(x)$ : den tilnærma kostnaden ved å produsere éi eining til.
- Grenseinntekt $I'(x)$ : den tilnærma inntektsauken ved å selje éi eining til.
- Grenseoverskot $O'(x) = I'(x) - K'(x)$ .
- Optimal produksjon: Overskotet er størst der $I'(x) = K'(x)$ — grenseinntekt lik grensekostnad (og $O''(x) < 0$ ). Med fast pris blir vilkåret $K'(x) = p$ .
- Prisfunksjon (monopol): $I(x) = p(x) \cdot x$ — deriver heile inntektsfunksjonen.
- Lågast einingskostnad: $\displaystyle E(x) = \frac{K(x)}{x}$ er minst der $E(x) = K'(x)$ .

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Grensekostnad	$K'(x)$ — kostnad for neste eining
Grenseinntekt	$I'(x)$ — inntekt av neste eining
Optimal produksjon	Der $I'(x) = K'(x)$
Einingskostnad	$E(x) = K(x)/x$

Viktige formlar

O'(x) = I'(x) - K'(x)

- Maksimalt overskot:

I'(x) = K'(x)

(og

O''(x) < 0

)
-

K(x+1) - K(x) \approx K'(x)

- Lågast einingskostnad:

E(x) = K'(x)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.