3.8 Implisitt derivasjon | Matematikk S1

Relaterte rater

Når storleikar endrar seg over tid og er relaterte gjennom ei likning, finn vi samanhengen mellom endringsratene ved å derivere med omsyn på $t$ .

Framgangsmåte:
1. Identifiser variable og kjende/ukjende rater
2. Finn ei likning som relaterer storleikane
3. Deriver begge sider med omsyn på $t$
4. Set inn kjende verdiar og løys

✏️Eksempel 1: Ekspanderande sirkel

Radiusen aukar med $2$ cm/s. Kor raskt aukar arealet når $r = 5$ cm?

A = \pi r^2

. Deriver:

\displaystyle \frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt} = 2\pi(5)(2) = 20\pi \approx 62{,}8

^2

/s.

✏️Eksempel 2: Kjegleforma behaldar

Vatn blir helt i ei kjegle (radius 3 m, høgd 6 m) med 2 m $^3$ /min. Kor raskt stig vatnet når det er 4 m djupt?

\displaystyle r = \frac{h}{2}

\displaystyle V = \frac{\pi h^3}{12}

\displaystyle \frac{dV}{dt} = \frac{\pi h^2}{4}\frac{dh}{dt}

\displaystyle 2 = \frac{\pi \cdot 16}{4}\frac{dh}{dt} \Rightarrow \frac{dh}{dt} = \frac{1}{2\pi} \approx 0{,}16

m/min.

📝Oppgave 3.8.1

Sidene i eit kvadrat aukar med 3 cm/s. Kor raskt aukar arealet når sida er 10 cm?

📝Oppgave 3.8.2

Ein ballong blir blåsen opp slik at volumet aukar med 100 cm $^3$ /s.

Kor raskt aukar radiusen når $r = 10$ cm?

Kor raskt aukar overflatearealet då?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.8.3

Ein 5 m stige lener mot ein vegg. Botnen glir ut med 0,5 m/s. Kor raskt søkk toppen når botnen er 3 m frå veggen?

📝Oppgave 3.8.4

Bil A køyrer nordover med 60 km/t, bil B austover med 80 km/t frå same punkt. Kor raskt aukar avstanden etter 2 timar?

📝Oppgave 3.8.5

Ei lykt står 6 m over bakken. Ein person (1,8 m) går bort med 1,5 m/s. Kor raskt veks skuggen?

📝Oppgave 3.8.6

Eit tau festa 4 m over vatnet blir dratt inn med 1 m/s. Kor raskt nærmar båten seg brygga når det er 10 m tau ute?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Relaterte rater: Når to storleikar er bundne saman av ei likning, er òg endringsfartane deira bundne saman. Deriver likninga med omsyn på tida $t$ .
- Framgangsmåte: 1) Still opp samanhengen mellom storleikane. 2) Deriver begge sider med omsyn på $t$ (hugs kjerneregelen). 3) Set inn kjende verdiar og løys for den ukjende raten.
- Typiske eksempel: Ekspanderande sirklar og ballongar, stigar som glir, behaldarar som blir fylte.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Rate	Endringsfart, derivert med omsyn på tid
Relaterte rater	Samanhengen mellom fleire endringsfartar
Kjerneregel i tid	$\displaystyle \frac{d}{dt}f(r) = f'(r)\frac{dr}{dt}$

Viktige formlar

- Sirkel:

\displaystyle A = \pi r^2 \Rightarrow \frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}

- Kule:

\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3 \Rightarrow \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt}

- Pytagoras:

\displaystyle x^2 + y^2 = c^2 \Rightarrow 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver