3.5 Anvendelser av derivasjon | Matematikk S1

Ekstremalpunkter, monotoniegenskaper og optimering.

60 min

17 oppgaver

EkstremalpunktMonotoniOptimeringVendepunkt

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Derivasjonsregler

Brukes videre i

4.2Derivasjon i økonomiske modeller

Optimaliseringsproblem

Mange praktiske problem handlar om å finne den beste løysinga:
- Maksimere forteneste eller areal
- Minimere kostnader eller materialbruk
- Finne den mest effektive løysinga

Derivasjon gir oss eit kraftig verktøy for å løyse slike problem.

Framgangsmåte

1. Les problemet og identifiser kva som skal optimaliserast (mål-funksjonen)
2. Definer variablar og set opp ein funksjon for målet
3. Finn eventuelle vilkår som avgrensar variablane
4. Uttrykk målfunksjonen med éin variabel ved å bruke vilkåra
5. Deriver og finn stasjonære punkt
6. Avgjer om det er maksimum eller minimum (bruk andrederivat eller sjekk endepunkt)
7. Svar på spørsmålet i oppgåva

✏️Maksimalt areal

Du har 40 meter gjerde og skal lage ei rektangulær innhegning mot ein vegg (veggen er den eine sida). Kva dimensjonar gir størst areal?

Variablar: La

x

vere breidda (parallell med veggen) og

y

vere djupna.

Vilkår: Gjerdelengda er $x + 2y = 40$ (tre sider)
Dermed: $x = 40 - 2y$

Målfunksjon: Arealet $A = x \cdot y = (40 - 2y)y = 40y - 2y^2$

Derivasjon: $A'(y) = 40 - 4y = 0$ gir $y = 10$

Sjekk: $A''(y) = -4 < 0$ , så dette er eit maksimum.

Svar: $y = 10$ m og $x = 40 - 20 = 20$ m.
Dimensjonane er 20 m × 10 m med maksimalt areal 200 m².

📊Utforsk: Maksimering av areal

Arealfunksjonen $A(x) = x(12 - 2x)$ for ei innhegning med 12 meter gjerde. Toppunktet viser kva verdi av $x$ som gir størst areal. Endre gjerdelengda og sjå korleis løysinga endrar seg.

✏️Minst materialbruk

Ein boks utan lokk skal ha volum 32 dm³. Botnen er kvadratisk. Kva dimensjonar gir minst materialbruk?

Variablar: La

x

vere sidelengda i botnen og

h

vere høgda.

Vilkår: Volum $V = x^2 \cdot h = 32$ , så $\displaystyle h = \frac{32}{x^2}$

Målfunksjon: Overflate $\displaystyle S = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = x^2 + \frac{128}{x}$

Derivasjon: $\displaystyle S'(x) = 2x - \frac{128}{x^2} = 0$
$2x^3 = 128$
$x^3 = 64$
$x = 4$

Høgde: $\displaystyle h = \frac{32}{16} = 2$

Sjekk: $\displaystyle S''(x) = 2 + \frac{256}{x^3} > 0$ for alle $x > 0$ , så minimum.

Svar: Dimensjonane er 4 dm × 4 dm × 2 dm.

- Teikn ei skisse av situasjonen
- Vel variablar fornuftig og definer dei tydeleg
- Sjekk at svaret gir meining i konteksten
- Hugs å sjekke endepunkta dersom funksjonen er definert på eit lukka intervall

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Summen av to positive tal er 20. Finn tala som gir maksimalt produkt.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn det talet som er mest mogleg større enn kvadratet sitt. (Finn maksimum for $f(x) = x - x^2$ )

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Eit rektangel har omkrins 24 cm. Finn dimensjonane som gir størst areal.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Ein ball blir kasta rett opp med høgde $h(t) = 20t - 5t^2$ meter. Finn maksimal høgde.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Ein bonde skal gjerde inn eit rektangulært område på 600 m². Kva er minste gjerdelengd?

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Ein sylinder skal ha volum 1 liter = 1000 cm³. Finn radius og høgde som gir minst overflate.

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Forteneste ved sal av $x$ einingar er $F(x) = -0{,}1x^2 + 50x - 2000$ kr. Finn talet på einingar som gir maksimal forteneste.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Eit vindauge har form som eit rektangel med ein halvsirkel på toppen. Omkrinsen er 6 m. Finn dimensjonane som gir maksimalt lysareal.

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Eit A4-ark (21 × 29,7 cm) skal brettast til ei eske utan lokk ved å kutte like store kvadrat frå hjørna. Finn storleiken på kvadrata for maksimalt volum.

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Finn punktet på parabelen $y = x^2$ som ligg nærast punktet $(0, 1)$ .

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Ei kjegle skal omslutte ei kule med radius $R$ . Finn forholdet mellom høgde og grunnflateradius som gir minst volum på kjegla.

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Eit firma sel $x$ einingar til pris $p = 200 - 2x$ kr per eining. Kostnadene er $K(x) = 20x + 500$ . Finn talet på einingar som gir maksimal forteneste.

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Optimaliseringsproblem: Praktiske problem der vi skal finne størst eller minst mogleg verdi.
- Framgangsmåte: 1) Innfør variablar og still opp funksjonen som skal optimerast. 2) Bruk bivilkåret til å få éin variabel. 3) Deriver og set $f'(x) = 0$ . 4) Kontroller at det er maks/min, og svar på spørsmålet.
- Hugs: Sjekk at svaret ligg i det praktiske definisjonsområdet, og ta med endepunkta når det er aktuelt.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Målfunksjon	Funksjonen som skal maksimerast/minimerast
Bivilkår	Ekstra krav som bind variablane saman
Kritisk punkt	Der $f'(x) = 0$

Viktige formlar

- Maksimum/minimum: løys

f'(x) = 0

og sjekk forteiknsskifte
- Rektangel: areal

= l \cdot b

, omkrins

= 2l + 2b

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.