3.4 Derivasjon av spesielle funksjoner | Matematikk S1

Derivere eksponential- og logaritmefunksjoner.

50 min

17 oppgaver

Derivasjon av e^xDerivasjon av ln xDerivasjon av a^xDerivasjon av log_a x

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Derivasjonsregler

Kva er funksjonsdrøfting?

Funksjonsdrøfting er ein systematisk analyse av ein funksjon for å forstå eigenskapane:
- Definisjonsmengd og verdimengd
- Nullpunkt
- Stigning og synking
- Topp- og botnpunkt
- Eventuelle asymptotar
- Forma til grafen

Stigning og synking

f

Topp- og botnpunkt

f'(x) = 0

✏️Fullstendig funksjonsdrøfting

Gjennomfør ei fullstendig drøfting av $f(x) = x^3 - 3x^2$ .

1. Definisjonsmengd:

D_f = \mathbb{R}

2. Nullpunkt: $x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3) = 0$
$x = 0$ (dobbelt) og $x = 3$

3. Derivasjon: $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

4. Stasjonære punkt: $f'(x) = 0$ når $x = 0$ eller $x = 2$

5. Forteiknslinje for $f'$ :
- $x < 0$ : $f'(x) > 0$ (stigande)
- $0 < x < 2$ : $f'(x) < 0$ (synkande)
- $x > 2$ : $f'(x) > 0$ (stigande)

6. Ekstrempunkt:
- $x = 0$ : Toppunkt, $f(0) = 0$
- $x = 2$ : Botnpunkt, $f(2) = 8 - 12 = -4$

7. Grenseverdiar:
- $x \to -\infty$ : $f(x) \to -\infty$
- $x \to +\infty$ : $f(x) \to +\infty$

📊Utforsk: Funksjonsdrøfting med forteiknet til f'

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ med ekstremalpunkta markerte. Den deriverte (raud, stipla) skiftar forteikn akkurat i ekstremalpunkta. Samanlikn forteiknet til $f'$ med kvar $f$ veks og avtek.

📜Andrederivattesten

Dersom $f'(a) = 0$ :
- $f''(a) < 0 \Rightarrow$ toppunkt i $x = a$
- $f''(a) > 0 \Rightarrow$ botnpunkt i $x = a$
- $f''(a) = 0 \Rightarrow$ testen gir ikkje svar (bruk forteiknslinje)

✏️Bruke andrederivattesten

Finn og klassifiser dei stasjonære punkta til $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2$ .

f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x-1)(x-2)

Stasjonære punkt: $x = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$

$f''(x) = 12x^2 - 24x + 8$

- $f''(0) = 8 > 0$ → Botnpunkt i $(0, 0)$
- $f''(1) = 12 - 24 + 8 = -4 < 0$ → Toppunkt i $(1, 1)$
- $f''(2) = 48 - 48 + 8 = 8 > 0$ → Botnpunkt i $(2, 0)$

Vendepunkt

f''(x) = 0

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Finn dei stasjonære punkta til $f(x) = x^2 - 6x + 5$ .

Avgjer om det er eit topp- eller botnpunkt.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn intervalla der $f(x) = x^3 - 12x$ er stigande.

Finn intervalla der $f$ er synkande.

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Finn nullpunkta til $f(x) = x^3 - 4x$ .

Finn dei stasjonære punkta.

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Gjennomfør ei fullstendig drøfting av $f(x) = x^3 - 3x + 2$ .

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Finn topp- og botnpunkt for $f(x) = xe^{-x}$ .

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Finn vendepunktet til $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ .

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Drøft $f(x) = \ln x - x$ for $x > 0$ .

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Drøft $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ fullstendig.

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Finn $a$ slik at $f(x) = x^3 + ax^2 + 3x$ har nøyaktig eitt stasjonært punkt.

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Drøft $f(x) = x^2 e^{-x}$ fullstendig.

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Vis at $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$ berre har eitt stasjonært punkt.

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Ein funksjon er gitt ved $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ der $f(1) = 0$ , $f'(1) = 0$ og $f''(1) = 6$ . Finn $a$ , $b$ og $c$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Monotoni: $f$ veks der $f'(x) > 0$ og avtek der $f'(x) < 0$ . Lag forteiknslinje for $f'$ .
- Topp- og botnpunkt: Finst der $f'(x) = 0$ og $f'$ skiftar forteikn.
- Andrederivattesten: Dersom $f'(a) = 0$ : $f''(a) > 0$ gir botnpunkt, $f''(a) < 0$ gir toppunkt.
- Vendepunkt: Der $f''(x) = 0$ og $f''$ skiftar forteikn — grafen skiftar krumming.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Stasjonært punkt	Punkt der $f'(x) = 0$
Toppunkt/botnpunkt	Lokalt maksimum/minimum
Andrederivert	Den deriverte av den deriverte
Vendepunkt	Punkt der krumminga skiftar

Viktige formlar

- Voksande:

f'(x) > 0

, avtakande:

f'(x) < 0

- Andrederivattesten:

f'(a) = 0

f''(a) > 0 \Rightarrow

botnpunkt;

f''(a) < 0 \Rightarrow

toppunkt
- Vendepunkt:

f''(x) = 0

med forteiknsskifte

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.