3.4 Derivasjon av spesielle funksjoner

Å lese en funksjon som en historie

En venn av deg har startet et lite bakeri og laget en modell for overskuddet gjennom året. «Grafen går litt opp og ned», sier hun, «men jeg skjønner ikke helt hva som skjer.» Det er her funksjonsdrøfting kommer inn: en systematisk analyse som avslører alt en funksjon har å fortelle -- definisjonsmengde og verdimengde, nullpunkter, hvor den stiger og synker, topp- og bunnpunkter, eventuelle asymptoter og grafens form.

Tenk på det som å lese en historie. Nullpunktene er stedene der handlingen krysser en grense, toppunktene er klimaks, bunnpunktene er krisene -- og den deriverte er fortellerstemmen som hele tiden sier om det går oppover eller nedover. I dette kapittelet lærer du å bruke $f'$ og $f''$ til å avsløre hele handlingsforløpet, helt uten å måtte tegne grafen først.

Den deriverte som kompass -- stigning og synking

Det første og viktigste spørsmålet er: hvor går det oppover, og hvor går det nedover? Svaret står i fortegnet til den deriverte. En funksjon $f$ er stigende på et intervall der $f'(x) > 0$, synkende der $f'(x) < 0$, og stasjonær der $f'(x) = 0$. Et punkt der $f'(x) = 0$ kalles et stasjonært punkt (eller kritisk punkt) -- der står grafen et øyeblikk stille, som ballen på toppen av kastet.

Verktøyet vi bruker er fortegnslinjen for $f'$. La oss se på $f(x) = x^3 - 3x^2$. Vi deriverer og faktoriserer:

$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$

De stasjonære punktene er der $f'(x) = 0$, altså $x = 0$ og $x = 2$. Mellom og utenfor disse punktene holder $f'$ samme fortegn, så vi tester ett tall i hvert intervall: For $x < 0$ er begge faktorene negative eller den ene negativ -- prøv $x = -1$: $3(-1)(-3) = 9 > 0$, så $f$ stiger. For $0 < x < 2$, prøv $x = 1$: $3(1)(-1) = -3 < 0$, så $f$ synker. For $x > 2$, prøv $x = 3$: $3(3)(1) = 9 > 0$, så $f$ stiger igjen.

Historien om $f$ er dermed: opp, ned, opp. Og akkurat i skiftene -- ved $x = 0$ og $x = 2$ -- skjer det noe interessant. Det er neste seksjon.

Topper, bunner og terrasser

Hva skjer i et stasjonært punkt? Det avhenger av hva fortegnet til $f'$ gjør rundt punktet.

Et toppunkt (lokalt maksimum) er et punkt der $f'(x) = 0$ og $f'$ skifter fra positiv til negativ -- grafen stiger inn og synker ut, som toppen av en bakke. Et bunnpunkt (lokalt minimum) er et punkt der $f'(x) = 0$ og $f'$ skifter fra negativ til positiv. Og hvis $f'(x) = 0$ uten at fortegnet skifter, har vi et terrassepunkt: grafen flater ut et øyeblikk og fortsetter så i samme retning, som en avsats i en trapp.

La oss fullføre drøftingen av $f(x) = x^3 - 3x^2$ fra forrige seksjon -- nå systematisk, slik en fullstendig drøfting skal gjøres.

Definisjonsmengde: $D_f = \mathbb{R}$, siden polynomer er definert overalt. Nullpunkter: $x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3) = 0$ gir $x = 0$ (dobbelt nullpunkt) og $x = 3$. Derivert og stasjonære punkter: $f'(x) = 3x(x - 2) = 0$ gir $x = 0$ og $x = 2$. Fortegnslinjen viste: stigende for $x < 0$, synkende for $0 < x < 2$, stigende for $x > 2$.

Dermed kan vi klassifisere: I $x = 0$ skifter $f'$ fra pluss til minus, så $(0, 0)$ er et toppunkt med $f(0) = 0$. I $x = 2$ skifter $f'$ fra minus til pluss, så vi har et bunnpunkt, og $f(2) = 8 - 12 = -4$ gir punktet $(2, -4)$.

Til slutt ser vi på endene: når $x \to -\infty$ går $f(x) \to -\infty$, og når $x \to +\infty$ går $f(x) \to +\infty$. Nå kjenner vi hele historien og kan skissere grafen uten å nøle.

Andrederivattesten og vendepunkter

Fortegnslinjer fungerer alltid, men ofte finnes en snarvei: den andrederiverte. Tanken er enkel. Hvis $f''(a) < 0$ i et stasjonært punkt, krummer grafen nedover der -- som en sur munn -- og punktet må være en topp. Hvis $f''(a) > 0$, krummer grafen oppover -- som et smil -- og punktet er en bunn.

Andrederivattesten: Hvis $f'(a) = 0$, gjelder: $f''(a) < 0$ gir toppunkt i $x = a$, $f''(a) > 0$ gir bunnpunkt, og $f''(a) = 0$ gir ikke noe svar -- da må vi tilbake til fortegnslinjen.

La oss bruke testen på $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2$. Først de stasjonære punktene:

$$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x-1)(x-2)$$

Stasjonære punkter: $x = 0$, $x = 1$ og $x = 2$. Så den andrederiverte: $f''(x) = 12x^2 - 24x + 8$. Vi tester hvert punkt: $f''(0) = 8 > 0$ gir bunnpunkt i $(0, 0)$. $f''(1) = 12 - 24 + 8 = -4 < 0$ gir toppunkt i $(1, 1)$. Og $f''(2) = 48 - 48 + 8 = 8 > 0$ gir bunnpunkt i $(2, 0)$. Tre stasjonære punkter klassifisert med tre raske innsettinger -- det er styrken til testen.

Den andrederiverte forteller også sin egen historie. Et vendepunkt er et punkt der grafens krumning skifter retning -- fra konkav (krummer nedover) til konveks (krummer oppover) eller omvendt. I et vendepunkt gjelder $f''(x) = 0$, og $f''$ skifter fortegn der. Vendepunkter spiller en viktig rolle i økonomien: der skifter for eksempel kostnadsveksten karakter, noe vi kommer tilbake til i kapittel 3.10.

Oppsummering

Funksjonsdrøfting er kunsten å lese en funksjons historie systematisk. Monotonien står i fortegnet til den deriverte: $f$ vokser der $f'(x) > 0$ og avtar der $f'(x) < 0$ -- og fortegnslinjen for $f'$ er verktøyet som kartlegger dette.

Topp- og bunnpunkter finner vi der $f'(x) = 0$ og fortegnet skifter: fra pluss til minus gir toppunkt, fra minus til pluss gir bunnpunkt, og uten skifte har vi et terrassepunkt. Andrederivattesten gir en snarvei: hvis $f'(a) = 0$, gir $f''(a) < 0$ toppunkt og $f''(a) > 0$ bunnpunkt -- men $f''(a) = 0$ sender oss tilbake til fortegnslinjen.

Den andrederiverte styrer også krumningen, og et vendepunkt -- der $f''(x) = 0$ med fortegnsskifte -- er stedet der grafen skifter mellom å krumme opp og ned.

Vi drøftet $x^3 - 3x^2$ med fortegnslinje og $x^4 - 4x^3 + 4x^2$ med andrederivattesten. I neste kapittel setter vi verktøyene i arbeid på ordentlige problemer: hvordan finne det største arealet, den laveste kostnaden, det beste valget.