2.8 Grenseverdiar

Grenseverdiar med tabell og CAS, faktorisering og konjugatsetninga, einsidige grenseverdiar, grenseverdiar mot uendeleg og den deriverte som grenseverdi.

55 min

15 oppgaver

GrenseverdiEinsidige grenseverdiarFaktorisering og konjugatsetningaGrenseverdi mot uendelegAsymptotar

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Rasjonale funksjoner

Brukes videre i

8.7Programmering i S1

Kva er ein grenseverdi?

Funksjonen $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ er ikkje definert for $x = 3$ , fordi nemnaren då er null. Likevel kan vi spørje kva $f(x)$ nærmar seg når $x$ kjem nær 3. Svaret blir kalla ein grenseverdi. Grenseverdiar blir brukte til å finne asymptotar, til å beskrive kva ein modell gir på lang sikt og til å definere den deriverte.

Grenseverdi

\lim_{x \to a} f(x) = L

Utforske med tabell og digitale verktøy

Vi kan anslå ein grenseverdi ved å rekne ut funksjonsverdiar for $x$ stadig nærare $a$ , frå begge sider. Ein tabell gir eit godt anslag, men ikkje eit prov. I GeoGebra CAS gir Grenseverdi(f, a) grenseverdien, og GrenseUnder(f, a) og GrenseOver(f, a) gir dei einsidige grenseverdiane frå venstre og høgre.

✏️Døme 1: Tabell

Bruk ein tabell til å anslå $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ . Kontroller med CAS.

$x$	$\dfrac{e^x - 1}{x}$
$-0{,}1$	$0{,}951626$
$-0{,}01$	$0{,}995017$
$-0{,}001$	$0{,}999500$
$0{,}001$	$1{,}000500$
$0{,}01$	$1{,}005017$
$0{,}1$	$1{,}051709$

Verdiane nærmar seg 1 frå begge sider.
Grenseverdi((e^x - 1) / x, 0) gir

1

.
Svar:

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1

Rekne ut grenseverdiar

Første forsøk er alltid å setje inn $x = a$ .

- Gir innsetjinga eit tal, er det grenseverdien (funksjonen er kontinuerleg der, sjå delkapittel 2.7).
- Gir innsetjinga $\dfrac{0}{0}$ , har teljar og nemnar ein felles faktor $(x - a)$ . Faktoriser og forkort, eller bruk konjugatsetninga når det står ei rot. Set inn på nytt.
- Gir innsetjinga $\dfrac{c}{0}$ med $c \neq 0$ , veks $|f(x)|$ over alle grenser. Grenseverdien finst ikkje, og grafen har ein vertikal asymptote $x = a$ .

0/0 er ikkje eit svar

\dfrac{0}{0}

tyder berre at innsetjing ikkje verkar enno. Grenseverdien kan vere kva tal som helst, eller ikkje finnast. Du må forkorte før du kan seie noko.

✏️Døme 2: Faktorisering

Bestem $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ utan hjelpemiddel.

Innsetjing gir

\dfrac{0}{0}

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{x + 2}$

$= \frac{3 + 3}{3 + 2} = \frac{6}{5}$

Svar: $\dfrac{6}{5}$

✏️Døme 3: Konjugatsetninga

Bestem $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}$ utan hjelpemiddel.

Innsetjing gir

\dfrac{0}{0}

. Med konjugatsetninga er

x - 9 = \left(\sqrt{x} - 3\right)\left(\sqrt{x} + 3\right)

$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} = \lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{\left(\sqrt{x} - 3\right)\left(\sqrt{x} + 3\right)}$

$= \lim_{x \to 9} \frac{1}{\sqrt{x} + 3}$

$= \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$

Svar: $\dfrac{1}{6}$

✏️Døme 4: Grenseverdien finst ikkje

Avgjer om $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{x - 1}$ finst.

Innsetjing gir

\dfrac{3}{0}

. Teljaren nærmar seg 3, og nemnaren nærmar seg 0.

For $x < 1$ er $x - 1 < 0$ :

$\lim_{x \to 1^-} \frac{x + 2}{x - 1} = -\infty$

For $x > 1$ er $x - 1 > 0$ :

$\lim_{x \to 1^+} \frac{x + 2}{x - 1} = \infty$

Svar: Grenseverdien finst ikkje. Grafen har den vertikale asymptoten $x = 1$ .

✏️Døme 5: Bestem ein konstant

Bestem $a$ slik at $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax - 6}{x - 2}$ finst, og rekn ut grenseverdien.

Nemnaren er null for

x = 2

. Grenseverdien kan berre finnast dersom også teljaren er null der.

$2^2 + 2a - 6 = 0$

$a = 1$

$\begin{aligned} &\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2} \\ = {}&\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} \\ = {}&\lim_{x \to 2} (x + 3) = 5 \end{aligned}$

Svar: $a = 1$ , og grenseverdien er $5$ .

Grenseverdiar når $x$ går mot uendeleg

For ein brøk med polynom i teljar og nemnar deler vi med den høgaste potensen av $x$ i nemnaren. Vi bruker at

$\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0 \qquad (n > 0)$

- Same grad i teljar og nemnar: grenseverdien er forholdet mellom koeffisientane framfor dei høgaste potensane.
- Lågare grad i teljaren: grenseverdien er 0.
- Høgare grad i teljaren: grenseverdien finst ikkje.

For eksponentialfunksjonar bruker vi at $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x} \to 0$ når $x \to \infty$ .

Finst $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ , er $y = L$ ein horisontal asymptote for grafen.

✏️Døme 6: Mot uendeleg

Bestem grenseverdiane utan hjelpemiddel.

a) $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x + 1}{6x^2 + 5}$

b) $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x^2 + 1}$

$\begin{aligned} &\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x + 1}{6x^2 + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{6 + \frac{5}{x^2}} \\ = {}&\frac{3 - 0 + 0}{6 + 0} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

Svar: $\dfrac{1}{2}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{0 + 0}{1 + 0} = 0$

Svar: $0$

✏️Døme 7: Modell på lang sikt

Konsentrasjonen av eit stoff i ein tank er $C(t) = 40\left(1 - e^{-0{,}2t}\right)$ gram per liter etter $t$ timar. Kva nærmar konsentrasjonen seg på lang sikt?

\lim_{t \to \infty} e^{-0{,}2t} = 0

$\lim_{t \to \infty} C(t) = 40(1 - 0) = 40$

Svar: Konsentrasjonen nærmar seg 40 gram per liter, men når aldri heilt dit.

Den deriverte som grenseverdi

Den gjennomsnittlege vekstfarten mellom $x = a$ og $x = a + h$ er $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ . Når $h \to 0$ , blir sekanten til tangenten, og vi får den momentane vekstfarten:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Innsetjing av $h = 0$ gir alltid $\dfrac{0}{0}$ , så vi må forenkle først.

✏️Døme 8: Derivasjon frå definisjonen

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^2 + 3x$ . Bruk definisjonen av den deriverte til å bestemme $f'(2)$ .

f(2 + h) = (2 + h)^2 + 3(2 + h) = h^2 + 7h + 10

$f(2) = 4 + 6 = 10$

$\begin{aligned} f'(2) &= \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + 7h + 10 - 10}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h(h + 7)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (h + 7) = 7 \end{aligned}$

Kontroll: $f'(x) = 2x + 3$ gir $f'(2) = 7$ .

Svar: $f'(2) = 7$

Oppgåver

📝Oppgave 2.8.1

Bestem grenseverdiane utan hjelpemiddel.

\displaystyle\lim_{x \to 2} \left(x^2 + 1\right)

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{3x - 4}{x + 2}

\displaystyle\lim_{x \to 0} e^{2x}

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.2

Funksjonen $g$ er gitt ved $g(x) = \dfrac{2^x - 1}{x}$ .

Lag ein tabell med $x = \pm 0{,}1$ , $\pm 0{,}01$ og $\pm 0{,}001$ , og anslå $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x)$ med tre desimalar.

Kontroller med CAS.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.3

Bestem grenseverdiane utan hjelpemiddel.

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + x - 12}{x - 3}

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.4

Bestem grenseverdiane utan hjelpemiddel.

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 16} \frac{\sqrt{x} - 4}{x - 16}

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x + 5} - 3}{x - 4}

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.5

Bestem grenseverdiane utan hjelpemiddel.

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{4x - 1}{2x + 3}

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^3 - 2}

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3}{x^3 + x}

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x + 1}

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.6

Bestem grenseverdiane utan hjelpemiddel.

\displaystyle\lim_{x \to \infty} e^{-x + 2}

\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{-x + 2}

\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(3 + 2e^{-0{,}5x}\right)

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{10}{1 + 4e^{-x}}

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.7

Bestem dei einsidige grenseverdiane, og avgjer om grenseverdien finst.

f(x) = \dfrac{|x - 2|}{x - 2}

når

x \to 2

g(x) = \begin{cases} x^2, & x < 1 \\ 2x + 1, & x \ge 1 \end{cases}

når

x \to 1

📝Oppgave 2.8.8

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = \dfrac{6x - 2}{3x + 1}$ .

Bestem den vertikale asymptoten. Grunngi med einsidige grenseverdiar.

Bestem den horisontale asymptoten.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.9

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^2 - 4x$ . Bruk definisjonen av den deriverte til å bestemme $f'(1)$ .

📝Oppgave 2.8.10

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = \dfrac{1}{x}$ . Bruk definisjonen av den deriverte til å bestemme $f'(2)$ .

📝Oppgave 2.8.11

Bestem $k$ slik at $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + kx + 3}{x + 1}$ finst, og rekn ut grenseverdien.

📝Oppgave 2.8.12

Ei bedrift har kostnadene $K(x) = 2000 + 15x$ kroner ved produksjon av $x$ einingar. Einingskostnaden er $E(x) = \dfrac{K(x)}{x}$ .

Bestem $\displaystyle\lim_{x \to \infty} E(x)$ , og forklar kva svaret tyder.

Kor mange einingar må produserast for at einingskostnaden skal vere under 16 kr?

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.13

Det totale salet av ein ny app er modellert ved $S(t) = 12\,000\left(1 - e^{-0{,}3t}\right)$ , der $t$ er talet på veker etter lansering.

Bestem $\displaystyle\lim_{t \to \infty} S(t)$ . Kva fortel svaret?

Når har salet nådd 95 % av denne verdien?

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.14

Funksjonane $f$ og $g$ er gitt ved $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ og $g(x) = x + 2$ .

Vis at $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} g(x)$ .

Avgjer om påstanden er sann eller usann: «Når to funksjonar har same grenseverdi i eit punkt, er dei like.»

📝Oppgave 2.8.15

Utforsk uttrykket $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ når $n$ blir stor.

Rekn ut uttrykket for $n = 10$ , $100$ , $1000$ , $10\,000$ og $100\,000$ med seks desimalar.

Kva for eit kjent tal ser verdiane ut til å nærme seg? Samanlikn med kalkulatoren.

Oppsummering

- $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ : $f(x)$ kjem vilkårleg nær $L$ når $x$ nærmar seg $a$ frå begge sider. $f(a)$ spelar inga rolle.
- Set inn først. $\dfrac{0}{0}$ : faktoriser og forkort, eller bruk konjugatsetninga. $\dfrac{c}{0}$ med $c \neq 0$ : grenseverdien finst ikkje (vertikal asymptote).
- Grenseverdien finst berre når venstre og høgre grenseverdi er like.
- Mot uendeleg: del med den høgaste potensen i nemnaren; $e^{-x} \to 0$ .
- $\displaystyle f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ .
- CAS: Grenseverdi, GrenseUnder, GrenseOver.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

2.8 Grenseverdiar

Kva er ein grenseverdi?

Utforske med tabell og digitale verktøy

Rekne ut grenseverdiar

Grenseverdiar når xxx går mot uendeleg

Den deriverte som grenseverdi

Oppgåver

Oppsummering

Grenseverdiar når $x$ går mot uendeleg