2.7 Delte funksjonsuttrykk og absoluttverdifunksjoner

Stykkevis definerte funksjoner, absoluttverdifunksjonen og kontinuitet.

50 min

11 oppgaver

Stykkevis definertAbsoluttverdifunksjonKontinuitet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Stykkevis definerte funksjonar

Ein stykkevis definert funksjon bruker ulike funksjonsuttrykk på ulike delar av definisjonsmengda. Slike funksjonar er svært vanlege i praktiske samanhengar, til dømes i prismodellar, skattesystem og fysiske fenomen.

Formelt skriv vi ein stykkevis funksjon slik:

$f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \text{for } x \in I_1 \\ f_2(x) & \text{for } x \in I_2 \\ \vdots & \vdots \end{cases}$

der $I_1, I_2, \ldots$ er intervall som til saman dekkjer definisjonsmengda.

Teikning av stykkevis definerte funksjonar

Når vi teiknar grafen til ein stykkevis funksjon:

1. Del opp $x$ -aksen i dei ulike intervalla.
2. Teikn kvart deluttrykk berre på sitt intervall.
3. Sjekk grensepunkta: Er funksjonen definert i overgangen? Bruk fylt sirkel for inkluderte endepunkt og open sirkel for ekskluderte.
4. Vurder kontinuitet: Er grafen samanhengande, eller gjer han eit hopp?

Ein stykkevis funksjon er kontinuerleg i eit grensepunkt $x_0$ dersom:

$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$

Det vil seie at funksjonsuttrykka gir same verdi i overgangspunktet.

Kontinuitet i overgangspunkt

x = c

✏️Eksempel 1: Stykkevis lineær funksjon

Teikn grafen og undersøk kontinuitet for:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{for } x < 1 \\ 4 - x & \text{for } x \geq 1 \end{cases}$

Løysing:

For $x < 1$ : $f(x) = 2x + 1$ er ei stigande linje.
Ved grensepunktet: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2(1) + 1 = 3$ .

For $x \geq 1$ : $f(x) = 4 - x$ er ei synkande linje.
$f(1) = 4 - 1 = 3$ .

Kontinuitet i $x = 1$ :
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 = f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$

Funksjonen er kontinuerleg i $x = 1$ . Grafen er ein samanhengande "knekk" i punktet $(1, 3)$ .

- For $x < 1$ : linja stig med stigingstal 2
- For $x \geq 1$ : linja synk med stigingstal $-1$
- $y$ -akseskjering: $f(0) = 1$

Absoluttverdifunksjonen som stykkevis funksjon

f(x) = |x|

✏️Eksempel 2: Absoluttverdifunksjon som stykkevis

Skriv $f(x) = |2x - 4|$ som ein stykkevis definert funksjon og teikn grafen.

Løysing:

Vi finn nullpunktet til $2x - 4$ : $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ .

$f(x) = |2x - 4| = \begin{cases} 2x - 4 & \text{for } x \geq 2 \\ -(2x - 4) = -2x + 4 & \text{for } x < 2 \end{cases}$

Grafskildring:
- For $x < 2$ : linja $y = -2x + 4$ (synk med stigingstal $-2$ )
- For $x \geq 2$ : linja $y = 2x - 4$ (stig med stigingstal $2$ )
- Grafen har ei V-form med botnpunkt i $(2, 0)$
- $y$ -akseskjering: $f(0) = |0 - 4| = 4$
- Funksjonen er kontinuerleg overalt (òg i $x = 2$ )

Praktiske bruksområde

Stykkevis definerte funksjonar dukkar opp i mange praktiske samanhengar:

Prissystem med trinnvise satsar:
Mange avgifter og prisar har ulike satsar for ulike nivå, til dømes straumpris, mobilabonnement eller porto.

Skattesystem:
I Noreg blir skatt berekna med ulike satsar for ulike inntektsintervall (trinnskatt). Inntekta blir delt opp i trinn med stigande skattesatsar.

Absoluttverdifunksjonar i optimalisering:
Absoluttverdien $|x - a|$ representerer avstanden mellom $x$ og $a$ på tallinja. Dermed blir absoluttverdifunksjonar brukte til å minimere avstandar og avvik.

✏️Eksempel 3: Stykkevis prisfunksjon

Eit parkeringshus tek betaling slik:
- Dei første 2 timane: 30 kr per time
- Frå 2 til 5 timar: 20 kr per time (i tillegg til dei første timane)
- Over 5 timar: fast pris på 120 kr (dagstak)

Set opp prisfunksjonen $P(t)$ og teikn grafen.

Løysing:

For $0 \leq t \leq 2$ : $P(t) = 30t$

For $2 < t \leq 5$ : Prisen etter 2 timar er $30 \cdot 2 = 60$ kr. Deretter 20 kr per ekstra time:
$P(t) = 60 + 20(t - 2) = 20t + 20$

For $t > 5$ : $P(t) = 120$

Altså:
$P(t) = \begin{cases} 30t & \text{for } 0 \leq t \leq 2 \\ 20t + 20 & \text{for } 2 < t \leq 5 \\ 120 & \text{for } t > 5 \end{cases}$

Kontroll av kontinuitet:
- I $t = 2$ : $30 \cdot 2 = 60$ og $20 \cdot 2 + 20 = 60$ ✓ (kontinuerleg)
- I $t = 5$ : $20 \cdot 5 + 20 = 120$ og $120$ ✓ (kontinuerleg)

Prisfunksjonen er kontinuerleg. Grafen er ei samanhengande, stykkevis lineær kurve som flatar ut etter 5 timar.

Når du teiknar ein stykkevis funksjon, hugs å markere overgangspunkta tydeleg. Bruk fylte sirklar for inkluderte endepunkt og opne sirklar for ekskluderte endepunkt. Dette er spesielt viktig når funksjonen har diskontinuitetspunkt.

📝Oppgave 2.7.1

Skriv absoluttverdifunksjonen som ein stykkevis definert funksjon.

f(x) = |x + 3|

g(x) = |5 - x|

h(x) = |3x - 6| + 2

📝Oppgave 2.7.2

Gitt funksjonen:

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{for } x < 2 \\ 6 - x & \text{for } x \geq 2 \end{cases}$

Finn $f(0)$ , $f(2)$ og $f(5)$ .

Er $f$ kontinuerleg i $x = 2$ ?

Teikn grafen til $f$ .

📝Oppgave 2.7.3

Gitt funksjonen:

$g(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{for } x < 1 \\ ax + b & \text{for } x \geq 1 \end{cases}$

Bestem $a$ og $b$ slik at $g$ er kontinuerleg i $x = 1$ og $g(3) = 10$ .

📝Oppgave 2.7.4

Ein mobiloperatør tilbyr følgjande prisar for databruk per månad:
- Dei første 5 GB: gratis (inkludert i abonnementet)
- Frå 5 GB til 20 GB: 15 kr per GB
- Over 20 GB: 25 kr per GB (i tillegg)

Set opp ein stykkevis funksjon $K(x)$ for ekstra datakostnad (utover abonnementet) som funksjon av databruk $x$ (i GB).

Kva kostar det ekstra å bruke 12 GB?

Kva kostar det ekstra å bruke 30 GB?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2.7.5

Gitt funksjonen:

$h(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{for } x < -1 \\ x^2 & \text{for } -1 \leq x \leq 2 \\ 2x & \text{for } x > 2 \end{cases}$

Rekn ut $h(-3)$ , $h(-1)$ , $h(0)$ , $h(2)$ og $h(3)$ .

Er $h$ kontinuerleg i $x = -1$ ?

Er $h$ kontinuerleg i $x = 2$ ?

📝Oppgave 2.7.6

Løys likninga $|2x - 1| = |x + 3|$ ved å skrive begge sider som stykkevise funksjonar.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Stykkevis definert funksjon: Ein funksjon med ulike uttrykk på ulike delar av definisjonsmengda. Sjekk nøye kva uttrykk som gjeld for kvar $x$ .
- Kontinuitet i overgangspunkt: Funksjonen er kontinuerleg viss uttrykka gir same verdi i overgangspunktet.
- Absoluttverdifunksjonen kan skrivast stykkevis: $|x| = x$ for $x \geq 0$ og $|x| = -x$ for $x < 0$ .
- Praktiske bruksområde: Trappetrinnprisar, straumtariffar og porto er typiske stykkevise funksjonar.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Stykkevis funksjon	Ulike funksjonsuttrykk på ulike intervall
Overgangspunkt	$x$ -verdi der uttrykket skiftar
Kontinuitet	Grafen heng saman — ingen hopp

Viktige formlar

|x| = \begin{cases} x & \text{for } x \geq 0 \\ -x & \text{for } x < 0 \end{cases}

- Kontinuitet i

x = a

: uttrykka må gi same verdi i

a

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.