2.6 Modellering med funksjoner | Matematikk S1

Bruke ulike funksjonstyper til å modellere praktiske sammenhenger.

55 min

19 oppgaver

Matematisk modelleringFunksjonsvalgTilpasningPraktiske problemer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.5Omvendte funksjoner

Trigonometriske funksjonar i S1

Mange fenomen i naturen og samfunnet gjentek seg med jamne mellomrom: temperaturar gjennom året, tidevatn, lyd og lys. Slike periodiske fenomen kan modellerast med trigonometriske funksjonar.

I S1 bruker vi trigonometriske funksjonar som verktøy for modellering. Vi fokuserer på korleis vi kan tilpasse funksjonane til verkelege datasett og tolke parametrane i kontekst.

Radianar

\pi \text{ rad} = 180°

Generell sinusfunksjon

f(x) = A \sin\!\bigl(B(x - C)\bigr) + D

✏️Eksempel 1: Bestemme parametrar frå graf

Ein periodisk funksjon har toppunkt $(2, 8)$ og botnpunkt $(8, 2)$ . Beskriv han som $f(x) = A\sin\!\bigl(B(x - C)\bigr) + D$ .

Løysing:

Likevektslinje: $\displaystyle D = \frac{8 + 2}{2} = 5$

Amplitude: $\displaystyle A = \frac{8 - 2}{2} = 3$

Periode: Avstand topp-botn er halv periode: $\displaystyle \frac{T}{2} = 8 - 2 = 6$ , så $T = 12$ .

$B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

Faseforskyving: Sinus har toppunkt $\displaystyle \frac{T}{4}$ etter start: $C = 2 - 3 = -1$ .

$f(x) = 3\sin\!\left(\frac{\pi}{6}(x + 1)\right) + 5$

✏️Eksempel 2: Temperaturmodell

Gjennomsnittstemperaturen varierer mellom $-5°$ C i januar ( $t = 1$ ) og $17°$ C i juli ( $t = 7$ ). Set opp ein sinusmodell $T(t) = A\sin\!\bigl(B(t - C)\bigr) + D$ der $t$ er månadsnummer.

Løysing:

$\displaystyle D = \frac{17 + (-5)}{2} = 6$ , $\displaystyle \quad A = \frac{17 - (-5)}{2} = 11$

Periode $T = 12$ : $\displaystyle B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

Maks i $t = 7$ : $\displaystyle C = 7 - \frac{12}{4} = 4$

$T(t) = 11\sin\!\left(\frac{\pi}{6}(t - 4)\right) + 6$

Kontroll: $\displaystyle T(7) = 11\sin\!\bigl(\frac{\pi}{2}\bigr) + 6 = 17$ ✓, $\displaystyle \;T(1) = 11\sin\!\bigl(-\frac{\pi}{2}\bigr) + 6 = -5$ ✓

- Bruk cosinus viss dataa startar i eit toppunkt eller botnpunkt
- Bruk sinus viss dataa startar ved likevektslinja og stig

Samanhengen: $\displaystyle \cos x = \sin\!\bigl(x + \frac{\pi}{2}\bigr)$

📜Viktige trigonometriske identitetar

Grunnidentitet:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Symmetri:
$\sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x$

Tangens: $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , periode $\pi$ , udefinert for $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ .

Radianar på kalkulatoren

Set kalkulatoren i radianmodus (RAD) når du reknar med trigonometriske modellar der $B$ er oppgitt som t.d. $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ . Gradmodus (DEG) gir feil svar.

📝Oppgave 1

Gjer om mellom grader og radianar:

Gjer om $120°$ til radianar.

Gjer om $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$ radianar til grader.

Gjer om $45°$ til radianar.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

For funksjonen $\displaystyle f(x) = 4\sin\!\bigl(\frac{\pi}{3}x\bigr) + 1$ , bestem amplitude, periode og likevektslinje.

📝Oppgave 3

Vasstanden i ei hamn varierer mellom 1,2 m og 3,8 m med periode 12,4 timar. Høgvatn skjer $t = 3$ timar etter midnatt. Set opp ein sinusmodell $h(t)$ .

📝Oppgave 4

Ein sinusfunksjon har toppunkt $(3, 10)$ og botnpunkt $(9, 2)$ . Bestem $A$ , $B$ og $D$ i $f(x) = A\sin(Bx) + D$ .

📝Oppgave 5

Dagslys blir modellert med $\displaystyle L(t) = 6{,}5\sin\!\bigl(\frac{\pi}{6}(t - 3{,}5)\bigr) + 12{,}5$ der $t$ er månadsnummer.

Kor mange timar dagslys er det i juni ( $t = 6$ )?

Når er det lengst dag?

Kva er skilnaden i daglengd mellom sommar og vinter?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Straumforbruket i eit hus blir modellert med $\displaystyle S(t) = 3\cos\!\bigl(\frac{\pi}{12}t\bigr) + 5$ der $t$ er timar etter midnatt og $S$ er i kW. Finn maks og min forbruk, og når dei skjer.

📝Oppgave 7

Vis at $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ for $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ .

📝Oppgave 8

Rekn ut utan kalkulator:

\tan 45°

\tan 60°

\tan 0°

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Iskremsal (tusen einingar) blir modellert som $S(t) = a\sin\!\bigl(b(t - c)\bigr) + d$ . Salet er 10 000 i januar ( $t=1$ ), 40 000 i april ( $t=4$ ) og 70 000 i juli ( $t=7$ ). Bestem modellen.

📝Oppgave 10

Ein pendel svingar med $s(t) = 0{,}15\sin(2\pi t)$ der $s$ er utslag i meter og $t$ er tid i sekund.

Bestem amplitude og periode.

Kva er utslaget etter $t = 0{,}25$ s?

Når er utslaget først lik $0{,}075$ m?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Gitt $\sin x = 0{,}6$ og $\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2}$ . Finn $\cos x$ og $\tan x$ .

📝Oppgave 12

Djupna i ein innsjø blir modellert med $\displaystyle d(t) = 2{,}5\cos\!\bigl(\frac{\pi}{6}(t-4)\bigr) + 8{,}5$ der $t$ er månadsnummer. I kva månader er djupna over 10 m?

📝Oppgave 13

Passasjertal (tusen) på ei ferje blir modellert med $\displaystyle P(t) = 25\sin\!\bigl(\frac{\pi}{6}(t-1)\bigr) + 45$ . I kva månader er det fleire enn 60 000 passasjerar?

📝Oppgave 14

Temperaturen i eit kjøleskap svingar mellom $2°$ C og $8°$ C med periode 30 minutt. Ved $t=0$ er temperaturen $5°$ C og synkande. Set opp ein modell og finn når temperaturen først når $8°$ C.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Radianar: $180^\circ = \pi$ radianar. Omrekning: grader $\displaystyle \cdot \frac{\pi}{180}$ gir radianar.
- Generell sinusfunksjon: $f(x) = A\sin(B(x - C)) + D$ der $|A|$ er amplituden, $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|}$ er perioden, $C$ er faseforskyvinga og $D$ er likevektslinja.
- Maks og min: Største verdi er $D + |A|$ , minste verdi er $D - |A|$ .
- Modellering: Periodiske fenomen som temperatur og daglengd kan beskrivast med sinusfunksjonar.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Radian	Vinkelmål der $\pi$ rad $= 180^\circ$
Amplitude	Utslaget frå likevektslinja, $\|A\|$
Periode	Lengda av éi full svinging, $\displaystyle T = \frac{2\pi}{\|B\|}$
Likevektslinje	Den horisontale midtlinja $y = D$
Faseforskyving	Horisontal forskyving $C$

Viktige formlar

f(x) = A\sin(B(x - C)) + D

- Periode:

T = \dfrac{2\pi}{|B|}

- Maks

= D + |A|

, min

= D - |A|

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.