2.6 Modellering med funksjoner

Strømprisen som svinger med året

En energianalytiker studerer strømforbruket i en norsk by. Kurven over månedsforbruket ser ut som en bølge: høyt om vinteren, lavt om sommeren, og så samme mønster igjen, år etter år. Temperaturer, tidevann, dagslengde, lyd og lys oppfører seg på samme vis — de er periodiske. Skal vi modellere slike fenomener, trenger vi funksjoner som selv svinger: de trigonometriske funksjonene.

I S1 bruker vi trigonometriske funksjoner først og fremst som modelleringsverktøy: vi tilpasser dem til virkelige datasett og tolker parametrene i kontekst.

Først trenger vi riktig vinkelmål. En radian er vinkelen der buelengden langs enhetssirkelen er lik radius, og sammenhengen med grader er

$$\pi \text{ rad} = 180°$$

Omregningen går begge veier: fra grader til radianer ganger du med $\displaystyle \frac{\pi}{180}$, og fra radianer til grader med $\displaystyle \frac{180}{\pi}$. De viktigste verdiene bør sitte: $\displaystyle 90° = \frac{\pi}{2}$, $180° = \pi$ og $360° = 2\pi$.

Selve modellen er den generelle sinusfunksjonen:

$$f(x) = A \sin\!\bigl(B(x - C)\bigr) + D$$

Her er $|A|$ amplituden (halve svingningsutslaget), $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|}$ er perioden (lengden av én hel svingning), $C$ er faseforskyvningen (horisontal forskyving) og $D$ er likevektslinjen (vertikal forskyving). Funksjonen svinger mellom $D - |A|$ og $D + |A|$ — for strømforbruket betyr det at $D$ er årsgjennomsnittet, mens $D + |A|$ er vintertoppen.

Å lese parametrene ut av virkeligheten

Analytikeren får en graf over målinger som svinger mellom 2 og 8, med toppunkt i $x = 2$ og bunnpunkt i $x = 8$. Hvordan finner vi modellen $f(x) = A\sin(B(x - C)) + D$?

Likevektslinjen er gjennomsnittet av maks og min: $\displaystyle D = \frac{8 + 2}{2} = 5$. Amplituden er halve avstanden: $\displaystyle A = \frac{8 - 2}{2} = 3$. Perioden leser vi av svingningen: avstanden fra topp til bunn er en halv periode, så $\displaystyle \frac{T}{2} = 8 - 2 = 6$ gir $T = 12$ og dermed $\displaystyle B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$. Faseforskyvningen finner vi av at sinus når toppen et kvart svingetid etter start: $\displaystyle C = 2 - \frac{12}{4} = -1$. Modellen blir

$$f(x) = 3\sin\!\left(\frac{\pi}{6}(x + 1)\right) + 5$$

Samme metode fungerer på temperaturdata. En by har varmest måned juli ($t = 7$) med $17\,°$C og kaldest januar med $-5\,°$C, og perioden er 12 måneder. Da er $\displaystyle D = \frac{17 + (-5)}{2} = 6$, $\displaystyle A = \frac{17 - (-5)}{2} = 11$, $\displaystyle B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ og $C = 7 - 3 = 4$:

$$T(t) = 11\sin\!\left(\frac{\pi}{6}(t - 4)\right) + 6$$

Kontrollen stemmer: $\displaystyle T(7) = 11\sin\frac{\pi}{2} + 6 = 17$ og $\displaystyle T(1) = 11\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 6 = -5$.

Et praktisk valg: bruk cosinus hvis dataene starter i et topp- eller bunnpunkt, og sinus hvis de starter ved likevektslinjen og stiger. De to henger sammen gjennom $\displaystyle \cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$, så valget er bare et spørsmål om bekvemmelighet.

Identiteter, tangens og en advarsel

Bak modellene ligger noen sammenhenger det er verdt å kjenne. Den viktigste er grunnidentiteten

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

som følger direkte av Pytagoras på enhetssirkelen: et punkt på sirkelen har koordinatene $(\cos x, \sin x)$, og avstanden til origo er 1. Videre har sinus og cosinus hver sin symmetri: $\sin(-x) = -\sin x$ (odde funksjon) og $\cos(-x) = \cos x$ (like funksjon).

Den tredje trigonometriske funksjonen, tangens, er definert som forholdet

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

Den har periode $\pi$ — halvparten av sinus og cosinus — og er udefinert der cosinus er null, altså for $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$. I de punktene har grafen vertikale asymptoter.

Og så en advarsel som har kostet mang en eksamenskandidat dyrt: sett kalkulatoren i radianmodus (RAD) når du regner med modeller der $B$ er oppgitt som for eksempel $\displaystyle \frac{\pi}{6}$. Står kalkulatoren i gradmodus (DEG), tolker den $\displaystyle \frac{\pi}{6} \approx 0{,}52$ som et halvt grads vinkel, og alle svar blir feil — ofte uten at noe ser galt ut.

Tilbake til energianalytikeren: med modellen $\displaystyle T(t) = 11\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 4)\right) + 6$ kan hun nå svare på konkrete spørsmål. Når er temperaturen over null? Hvor mye varierer forbruket rundt årsgjennomsnittet? Og fordi sinus er størst når argumentet er $\displaystyle \frac{\pi}{2}$, kan hun regne seg fram til nøyaktig hvilken måned toppen inntreffer. Det er slik periodiske modeller brukes i praksis — fra kraftbransjen til klimaforskning.

Oppsummering: bølgens fire parametere

Strømforbruket som svinger med årstidene lot seg fange av én funksjon. Den generelle sinusfunksjonen $f(x) = A\sin(B(x - C)) + D$ har fire parametere du nå kan lese rett ut av et datasett: likevektslinjen $D$ er gjennomsnittet av maks og min, amplituden $|A|$ er halve avstanden mellom dem, perioden $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|}$ er lengden av én svingning, og faseforskyvningen $C$ plasserer toppen riktig — sinus topper et kvart svingetid etter $C$. Største og minste verdi er alltid $D + |A|$ og $D - |A|$.

Vinkler måles i radianer, der $180° = \pi$, og omregningen er ren proporsjonalitet. Bak funksjonene ligger grunnidentiteten $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, symmetriene $\sin(-x) = -\sin x$ og $\cos(-x) = \cos x$, og tangens $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ med periode $\pi$ og asymptoter der cosinus er null. Og cosinus er bare en forskjøvet sinus: $\displaystyle \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$.

Husk den praktiske regelen — start i topp eller bunn taler for cosinus, start ved likevekt taler for sinus — og fremfor alt: radianmodus på kalkulatoren når $B$ inneholder $\pi$. Med det er du klar til å modellere alt som gjentar seg: temperatur, dagslengde, tidevann og strømpriser.