2.2 Rasjonale funksjonar | Matematikk S1

Eigenskapar ved rasjonale funksjonar, asymptotar.

50 min

17 oppgaver

Rasjonale funksjonarVertikal asymptoteHorisontal asymptoteDefinisjonsmengd

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Polynomfunksjoner

Brukes videre i

2.8Grenseverdier

Kva er ein rasjonal funksjon?

Ein rasjonal funksjon er ein funksjon som kan skrivast som ein brøk der teljar og nemnar er polynom:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

der $P(x)$ og $Q(x)$ er polynomfunksjonar og $Q(x) \neq 0$ .

Rasjonal funksjon

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

Døme på rasjonale funksjonar

- $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ (den enklaste rasjonale funksjonen)
- $\displaystyle g(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$
- $\displaystyle h(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$
- $\displaystyle p(x) = \frac{2x^3 - 5x + 1}{x^2 - 4}$

Asymptotar

Vertikale asymptotar

Ein vertikal asymptote er ei vertikal linje

x = a

der funksjonen går mot

\pm\infty

Vertikale asymptotar oppstår der nemnaren er null, men teljaren er ulik null.

Horisontale asymptotar

Ein horisontal asymptote er ei horisontal linje

y = b

som grafen nærmar seg for store verdiar av

|x|

For å finne horisontale asymptotar ser vi på graden til teljar og nemnar:
- Grad teljar < grad nemnar: $y = 0$
- Grad teljar = grad nemnar: $\displaystyle y = \frac{\text{leiande koeff. teljar}}{\text{leiande koeff. nemnar}}$
- Grad teljar > grad nemnar: Ingen horisontal asymptote

✏️Finne asymptotar

Finn asymptotane til $\displaystyle f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ .

Vertikal asymptote:
Nemnar lik null:

x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3

Vertikal asymptote:

x = 3

Horisontal asymptote:
Grad teljar = grad nemnar = 1
$y = \frac{2}{1} = 2$
Horisontal asymptote: $y = 2$

Svar: Vertikal asymptote $x = 3$ og horisontal asymptote $y = 2$ .

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Asymptotar til ein rasjonal funksjon

Den rasjonale funksjonen

\displaystyle f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}

har ein vertikal asymptote i

x = 1

og ein horisontal asymptote i

y = 2

. Asymptote-kommandoen teiknar begge. Kva skjer viss du endrar teljaren?

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = (2x + 1) / (x - 1)
a = Asymptote(f)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Nullpunkt

Nullpunkta til ein rasjonal funksjon $\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ er verdiane der $P(x) = 0$ og $Q(x) \neq 0$ .

Med andre ord: teljaren er null, men nemnaren er ikkje null.

✏️Finne nullpunkt

Finn nullpunkta til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$ .

Teljar lik null:

x^2 - 4 = 0

(x - 2)(x + 2) = 0

x = 2 \text{ eller } x = -2

Sjekk at nemnar ikkje er null:
- $x = 2$ : $2^2 - 1 = 3 \neq 0$
- $x = -2$ : $(-2)^2 - 1 = 3 \neq 0$

Svar: $x = -2$ og $x = 2$

Fordjuping (utanfor læreplanen). Skrå asymptotar høyrer ikkje til læreplanen i matematikk S1 (MAT04-02). Du treng det ikkje til S1-eksamen.

Skrå asymptotar

Når graden til teljaren er nøyaktig éin meir enn graden til nemnaren, har funksjonen ein skrå asymptote.

Den skrå asymptoten finn ein ved polynomdivisjon:
$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = ax + b + \frac{R(x)}{Q(x)}$

der $ax + b$ er den skrå asymptoten.

✏️Skrå asymptote (fordjuping)

Finn asymptotene til $f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}$ .

Polynomdivisjon:

$\begin{array}{rrrl} (x^2 & +\,2x & -\,1) & \;:\;(x - 1) = x + 3 \\ -(x^2 & -\,x) & & \\ & 3x & -\,1 & \\ & -(3x & -\,3) & \\ & & 2 & \end{array}$

$f(x) = x + 3 + \frac{2}{x - 1}$

Når $x \to \pm\infty$ , går $\displaystyle \frac{2}{x - 1} \to 0$ , så grafen nærmar seg linja $y = x + 3$ .

Nemnaren er null for $x = 1$ , og teljaren er då $1 + 2 - 1 = 2 \neq 0$ .

Svar: Skrå asymptote $y = x + 3$ og vertikal asymptote $x = 1$ .

Hugs å alltid sjekke om teljar og nemnar har felles faktorar som kan forkortast. Dette kan avsløre "hol" i grafen og forenkle analysen.

Til dømes: $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$ for $x \neq 2$

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Finn definisjonsmengda til $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{x - 4}$ .

Finn definisjonsmengda til $\displaystyle g(x) = \frac{3}{x^2 - 9}$ .

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn vertikal asymptote til $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x + 2}$ .

Finn horisontal asymptote til $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x + 2}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Finn nullpunktet til $\displaystyle f(x) = \frac{x - 3}{x + 1}$ .

Finn nullpunkta til $\displaystyle g(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 2}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Finn alle asymptotar til $\displaystyle f(x) = \frac{3x - 6}{x + 4}$ .

Finn nullpunktet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Finn alle asymptotar til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4}$ .

Har funksjonen nokon nullpunkt?

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Forenkle $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ og finn eventuelle "hol".

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Finn den skrå asymptoten til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$ . (fordjuping)

Finn nullpunkta og vertikal asymptote.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Finn alle asymptotar til $\displaystyle f(x) = \frac{2x^2 + x - 1}{x + 1}$ .

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Finn $k$ slik at grafen til $\displaystyle f(x) = \frac{kx + 3}{x - 2}$ går gjennom punktet $(1, -2)$ .

Med denne verdien av $k$ , finn alle asymptotar.

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Løys ulikskapen $\displaystyle \frac{x + 1}{x - 2} > 0$ .

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Finn ein rasjonal funksjon som har vertikale asymptotar i $x = 1$ og $x = -2$ , horisontal asymptote $y = 3$ , og nullpunkt i $x = 0$ .

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Analyser og skisser grafen til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2}$ . Finn nullpunkt, asymptotar og eventuelle hol.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Rasjonal funksjon: $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ der $P$ og $Q$ er polynom. Ikkje definert der $Q(x) = 0$ .
- Vertikal asymptote: $x = a$ der nemnaren er null (og teljaren ikkje er null).
- Horisontal asymptote: Samanlikn gradane. Lik grad: $\displaystyle y = \frac{a_n}{b_n}$ (forholdet mellom leiande koeffisientar). Lågare grad i teljar: $y = 0$ .
- Skrå asymptote (fordjuping): Når teljaren har grad nøyaktig éin høgare enn nemnaren — finn han med polynomdivisjon.
- Nullpunkt: Der teljaren er null (og nemnaren ikkje er null).

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Vertikal asymptote	Linje $x = a$ grafen nærmar seg når nemnar $\to 0$
Horisontal asymptote	Linje $y = b$ grafen nærmar seg når $x \to \pm\infty$
Skrå asymptote	Skrå linje grafen nærmar seg når $x \to \pm\infty$
Utanfor definisjonsmengda	$x$ -verdi der nemnaren er null, så funksjonen ikkje er definert

Viktige formlar

- Nullpunkt: teljar

= 0

, nemnar

\neq 0

- Vertikal asymptote: nemnar

= 0

, teljar

\neq 0

- Lik grad i teljar og nemnar:

y = \dfrac{\text{leiande koeffisient teljar}}{\text{leiande koeffisient nemnar}}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.