2.3 Eksponentialfunksjoner | Matematikk S1

Eksponentialfunksjoner og deres anvendelser.

55 min

17 oppgaver

EksponentialfunksjonVekstfaktorHalveringDoblinge-funksjonen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.4Logaritmefunksjoner

Hva er en eksponentialfunksjon?

En eksponentialfunksjon er en funksjon der variabelen står i eksponenten:

$f(x) = a \cdot b^x$

der $a \neq 0$ , $b > 0$ og $b \neq 1$ .

Eksponentialfunksjoner brukes til å modellere situasjoner med konstant prosentvis vekst eller nedgang, for eksempel befolkningsvekst, radioaktivt forfall og rentesregning.

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^x

Vekstfaktor og prosentvis endring

Vekstfaktoren $b$ er knyttet til prosentvis endring $p$ per tidsenhet:

$b = 1 + \frac{p}{100}$

Eksempler:
- 5% økning: $b = 1 + 0{,}05 = 1{,}05$
- 3% nedgang: $b = 1 - 0{,}03 = 0{,}97$
- 12% økning: $b = 1 + 0{,}12 = 1{,}12$

✏️Befolkningsvekst

En by har 50 000 innbyggere og vokser med 2% per år.
a) Sett opp en eksponentialfunksjon som beskriver befolkningen.
b) Hvor mange innbyggere vil byen ha etter 10 år?

a) Startverdi

a = 50000

Vekstfaktor

b = 1 + 0{,}02 = 1{,}02

$P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$

der $t$ er antall år.

b) Etter 10 år:
$P(10) = 50000 \cdot 1{,}02^{10} = 50000 \cdot 1{,}219 \approx 60950$

Byen vil ha omtrent 60 950 innbyggere.

Den naturlige eksponentialfunksjonen

Den naturlige eksponentialfunksjonen har grunntall $e \approx 2{,}718$ :

$f(x) = e^x$

Tallet $e$ er definert som:
$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828$

Denne funksjonen er spesielt viktig fordi den er sin egen deriverte: $(e^x)' = e^x$

✏️Radioaktivt forfall

Et radioaktivt stoff har halveringstid på 5 år. Hvis vi starter med 100 gram, hvor mye er igjen etter 15 år?

Ved halveringstid halveres mengden, så vekstfaktoren per halvering er

0{,}5

Etter $n$ halveringer: $m = 100 \cdot 0{,}5^n$

Etter 15 år har det gått $\displaystyle \frac{15}{5} = 3$ halveringstider:

$m = 100 \cdot 0{,}5^3 = 100 \cdot 0{,}125 = 12{,}5 \text{ gram}$

Alternativ metode:
Per år er vekstfaktoren $b = 0{,}5^{1/5} = 0{,}5^{0{,}2} \approx 0{,}871$

$m(t) = 100 \cdot 0{,}871^t$
$m(15) = 100 \cdot 0{,}871^{15} \approx 12{,}5 \text{ gram}$

📊Utforsk: Eksponentialfunksjoner med ulike grunntall

Tre eksponentialfunksjoner: $f(x) = 2^x$ (vekst), $g(x) = e^x$ (naturlig grunntall) og $h(x) = 0{,}5^x$ (avtagende). Alle går gjennom $(0, 1)$ . Se hvordan grunntallet styrer formen.

Grafiske egenskaper

Alle eksponentialfunksjoner $f(x) = a \cdot b^x$ med $a > 0$ har:
- Definisjonsmengde: alle reelle tall
- Verdimengde: $(0, \infty)$ (alltid positive verdier)
- Skjæring med $y$ -aksen: $(0, a)$
- Ingen nullpunkter (grafen krysser aldri $x$ -aksen)
- Horisontal asymptote: $y = 0$

For $b > 1$ : Grafen er stigende
For $0 < b < 1$ : Grafen er synkende

✏️Skissere grafer

Skisser grafene til $f(x) = 2^x$ og $\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ i samme koordinatsystem.

For $f(x) = 2^x$ :
-

\displaystyle f(-2) = 2^{-2} = \frac{1}{4}

\displaystyle f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}

f(0) = 2^0 = 1

f(1) = 2^1 = 2

f(2) = 2^2 = 4

Stigende graf med horisontal asymptote $y = 0$ mot venstre.

For $\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ :
Dette er speilbildet av $f(x)$ om $y$ -aksen.
- $g(-2) = 4$
- $g(-1) = 2$
- $g(0) = 1$
- $\displaystyle g(1) = \frac{1}{2}$
- $\displaystyle g(2) = \frac{1}{4}$

Synkende graf med horisontal asymptote $y = 0$ mot høyre.

Begge grafene går gjennom punktet $(0, 1)$ .

Kontinuerlig vekst

For kontinuerlig vekst med veksthastighet $k$ bruker vi:
$f(t) = a \cdot e^{kt}$

- $k > 0$ : vekst
- $k < 0$ : nedgang

Sammenhengen med diskret vekstfaktor $b$ :
$b = e^k \quad \text{eller} \quad k = \ln(b)$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn vekstfaktoren når noe øker med 8% per tidsenhet.

Finn vekstfaktoren når noe minker med 15% per tidsenhet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn $f(0)$ og $f(3)$ for $f(x) = 5 \cdot 2^x$ .

Finn $g(0)$ og $g(2)$ for $g(x) = 100 \cdot 0{,}5^x$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Et beløp på 10 000 kr settes i banken med 3% rente. Sett opp en funksjon for beløpet etter $t$ år.

Hvor mye er beløpet etter 5 år?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

En bakteriekultur dobler seg hver time. Hvis det er 1000 bakterier nå, hvor mange er det etter 6 timer?

Etter hvor mange timer er det over 1 million bakterier?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

En bil mister 12% av verdien hvert år. Bilen kostet 400 000 kr ny. Sett opp en funksjon for verdien.

Hva er bilen verdt etter 5 år?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Grafen til en eksponentialfunksjon $f(x) = a \cdot b^x$ går gjennom $(0, 4)$ og $(2, 16)$ . Finn $a$ og $b$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Et radioaktivt stoff har halveringstid 10 dager. Finn vekstfaktoren per dag.

Hvis vi starter med 200 mg, hvor mye er igjen etter 25 dager?

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Løs likningen $3^x = 81$ .

Løs likningen $2^{x+1} = 32$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

En investering vokser fra 50 000 kr til 80 000 kr på 8 år. Finn årlig rente (konstant prosentvis vekst).

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Forklar hvorfor $2^x > 0$ for alle $x$ .

Har likningen $2^x = -1$ noen løsning?

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Vis at $e^{\ln 2 \cdot x} = 2^x$ .

Skriv om $5^x$ på formen $e^{kx}$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En befolkning vokser eksponentielt. I 2020 var den 100 000, og i 2025 var den 115 000. Sett opp en modell og estimer befolkningen i 2030.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Eksponentialfunksjon: $f(x) = a \cdot b^x$ der $a = f(0)$ er startverdien og $b > 0$ er vekstfaktoren.
- Vekst og avtagning: $b > 1$ gir vekst, $0 < b < 1$ gir avtagning. Prosentvis endring per periode: $p = (b - 1) \cdot 100\,\%$ .
- Den naturlige eksponentialfunksjonen: $e^x$ med $e \approx 2{,}718$ , brukes ved kontinuerlig vekst.
- Grafen til $f(x) = a \cdot b^x$ (med $a > 0$ ) ligger alltid over $x$ -aksen og har $y = 0$ som horisontal asymptote.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Startverdi	$a = f(0)$
Vekstfaktor	Tallet $b$ vi ganger med per enhet
Eulertallet $e$	$e \approx 2{,}718$ , grunntall for naturlig eksponentialfunksjon
Kontinuerlig vekst	Vekst som skjer hele tiden, modellert med $e^{kx}$

Viktige formler

f(x) = a \cdot b^x

- Vekstfaktor:

\displaystyle b = 1 \pm \frac{p}{100}

- Kontinuerlig vekst:

f(t) = a \cdot e^{kt}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.