2.3 Eksponentialfunksjoner

Byen som vokser to prosent i året

Kommunestyret i en by med 50 000 innbyggere planlegger skoler og boliger for fremtiden, og demografene melder at befolkningen vokser med omtrent 2 % per år. Hvordan regner vi ut hvor mange som bor der om ti år? Svaret er ikke å legge til 1 000 personer ti ganger — for hvert år vokser også fjorårets vekst. Vi trenger en funksjon der variabelen står i eksponenten: en eksponentialfunksjon.

En eksponentialfunksjon har formen

$$f(x) = a \cdot b^x$$

der $a \neq 0$, $b > 0$ og $b \neq 1$. Tallet $a$ er startverdien — verdien når $x = 0$ — og $b$ er vekstfaktoren. Er $b > 1$, har vi eksponentiell vekst; er $0 < b < 1$, har vi eksponentiell nedgang.

Vekstfaktoren henger direkte sammen med prosentvis endring $p$ per tidsenhet:

$$b = 1 + \frac{p}{100}$$

En økning på 5 % gir $b = 1{,}05$, en nedgang på 3 % gir $b = 0{,}97$, og en økning på 12 % gir $b = 1{,}12$. Eksponentialfunksjoner er derfor det naturlige språket for alt som endrer seg med fast prosent: befolkningsvekst, rentes rente, radioaktivt forfall og verdifall på biler.

For byen vår blir modellen $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$, der $t$ er antall år. Etter ti år: $P(10) = 50000 \cdot 1{,}02^{10} \approx 50000 \cdot 1{,}219 \approx 60\,950$ innbyggere. Nesten 11 000 flere — og det er den typen tall kommunestyret trenger for å vite hvor mange klasserom som må bygges.

Halveringstid, grafen og tallet $e$

Eksponentiell nedgang møter du blant annet i fysikk og medisin. Et radioaktivt stoff på 100 gram har halveringstid på 5 år — hvor mye er igjen etter 15 år? Hver halvering ganger mengden med $0{,}5$, og på 15 år rekker stoffet $\displaystyle \frac{15}{5} = 3$ halveringer:

$$m = 100 \cdot 0{,}5^3 = 12{,}5 \text{ gram}$$

Vil vi ha en modell per år, finner vi vekstfaktoren $b = 0{,}5^{1/5} \approx 0{,}871$ og skriver $m(t) = 100 \cdot 0{,}871^t$ — samme svar, $m(15) \approx 12{,}5$ gram.

Grafene til eksponentialfunksjoner har et umiskjennelig utseende. For $f(x) = a \cdot b^x$ med $a > 0$ er definisjonsmengden alle reelle tall, verdimengden $(0, \infty)$, og grafen skjærer $y$-aksen i $(0, a)$. Den har ingen nullpunkter — den krysser aldri $x$-aksen — men har $y = 0$ som horisontal asymptote. Er $b > 1$ stiger grafen, er $0 < b < 1$ synker den. Sammenlign $f(x) = 2^x$ og $\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$: begge går gjennom $(0, 1)$, og den ene er speilbildet av den andre om $y$-aksen.

Til slutt: blant alle grunntall finnes ett som matematikken selv peker ut. Den naturlige eksponentialfunksjonen $f(x) = e^x$ har grunntall $\displaystyle e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828$, og er spesiell fordi den er sin egen deriverte: $(e^x)' = e^x$. Ved kontinuerlig vekst — vekst som skjer hele tiden, ikke i årlige hopp — bruker vi $f(t) = a \cdot e^{kt}$, der $k > 0$ gir vekst og $k < 0$ nedgang. Sammenhengen med den diskrete vekstfaktoren er $b = e^k$, eller $k = \ln(b)$.

Oppsummering: vekstens grammatikk

Kommunestyret fikk svaret sitt: med 2 % årlig vekst gir modellen $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ omtrent 60 950 innbyggere etter ti år. Underveis har du lært grammatikken som styrer all slik vekst.

En eksponentialfunksjon $f(x) = a \cdot b^x$ har startverdien $a = f(0)$ og vekstfaktoren $b$. Fast prosentvis endring oversettes til vekstfaktor med $\displaystyle b = 1 \pm \frac{p}{100}$: vekst når $b > 1$, nedgang når $0 < b < 1$. Halveringstid er bare nedgang i forkledning — hver halvering ganger med $0{,}5$, og antall halveringer styrer eksponenten.

Grafen til $f(x) = a \cdot b^x$ med $a > 0$ ligger alltid over $x$-aksen, skjærer $y$-aksen i $(0, a)$, har ingen nullpunkter og nærmer seg $y = 0$ som horisontal asymptote. Og bak det hele lurer Eulertallet $e \approx 2{,}718$: den naturlige eksponentialfunksjonen $e^x$ er sin egen deriverte, og kontinuerlig vekst skrives $f(t) = a \cdot e^{kt}$ med broen $b = e^k$ mellom de to skrivemåtene.

Neste gang du hører «prisene steg 3,5 % i år» eller «batterikapasiteten faller 2 % per ladesyklus», vet du nøyaktig hvilken funksjon som ligger under — og i neste kapittel lærer du verktøyet som løser likninger der $x$ sitter fast oppe i eksponenten: logaritmen.