2.2 Rasjonale funksjoner

Kostnaden per enhet

En liten produsent av gjenbruksflasker har faste kostnader og variable kostnader, og økonomiansvarlig vil vite hva hver flaske egentlig koster å lage. Når totalkostnaden deles på antall flasker, oppstår en brøk der både teller og nevner inneholder $x$ — og dermed har vi forlatt polynomenes trygge verden og møtt en rasjonal funksjon.

En rasjonal funksjon er en funksjon på formen

$$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$$

der $P(x)$ og $Q(x)$ er polynomfunksjoner. Definisjonsmengden er alle $x$-verdier der $Q(x) \neq 0$ — vi kan jo ikke dele på null. Den enkleste av dem alle er $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$, men familien rommer alt fra $\displaystyle g(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ og $\displaystyle h(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ til $\displaystyle p(x) = \frac{2x^3 - 5x + 1}{x^2 - 4}$.

Det som gjør rasjonale funksjoner spennende — og litt lumske — er punktene der nevneren blir null. Der kan funksjonen eksplodere mot uendelig, og grafen får asymptoter: linjer som grafen legger seg tettere og tettere inntil uten å nå dem. For flaskeprodusenten betyr det for eksempel at kostnaden per flaske vokser uten grenser når produksjonen går mot null, men flater ut mot et fast nivå når produksjonen blir stor. I dette kapittelet lærer du å finne nullpunkter, vertikale, horisontale og skrå asymptoter — og å avsløre «hull» i grafen der teller og nevner deler en felles faktor.

Asymptoter — grafens usynlige gjerder

Vi begynner med de to viktigste asymptotetypene. En vertikal asymptote er en vertikal linje $x = a$ der funksjonsverdiene går mot $\pm\infty$. De oppstår der nevneren er null, men telleren er ulik null. En horisontal asymptote er en horisontal linje $y = b$ som grafen nærmer seg når $|x|$ blir stor.

For å finne den horisontale asymptoten sammenligner vi graden i teller og nevner. Er graden i telleren lavere enn i nevneren, er asymptoten $y = 0$. Er gradene like, er asymptoten $y$ lik forholdet mellom de ledende koeffisientene. Er graden i telleren høyere, finnes ingen horisontal asymptote.

Ta funksjonen $\displaystyle f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$, som kunne beskrive kostnad per enhet i tusen kroner. Nevneren er null når $x = 3$, og telleren er da $7 \neq 0$, så $x = 3$ er en vertikal asymptote. Teller og nevner har begge grad 1, så den horisontale asymptoten er $\displaystyle y = \frac{2}{1} = 2$. Uansett hvor stor produksjonen blir, kryper kostnaden per enhet mot 2 — men når den aldri helt.

Nullpunktene til en rasjonal funksjon $\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ er der telleren er null og nevneren ikke er null. For $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$ gir telleren $(x-2)(x+2) = 0$, altså $x = \pm 2$. Vi sjekker nevneren: $2^2 - 1 = 3 \neq 0$ og $(-2)^2 - 1 = 3 \neq 0$, så begge er ekte nullpunkter. Den lille kontrollen er viktig — hadde nevneren også vært null der, ville punktet ikke vært et nullpunkt i det hele tatt.

Skrå asymptoter og hull i grafen

Hva om graden i telleren er nøyaktig én mer enn i nevneren? Da finnes ingen horisontal asymptote, men grafen legger seg i stedet inntil en skrå linje — en skrå asymptote. Vi finner den med polynomdivisjon:

$$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = ax + b + \frac{R(x)}{Q(x)}$$

Når $x$ blir stor, forsvinner restleddet, og grafen følger linja $y = ax + b$. For $\displaystyle g(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ gir divisjonen $\displaystyle g(x) = x + \frac{1}{x}$, så den skrå asymptoten er $y = x$.

Noen ganger skjuler det seg en overraskelse i divisjonen. Se på $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}$. Polynomdivisjonen går helt opp: $f(x) = x + 3$ med rest null. Forklaringen ser vi ved å faktorisere telleren: $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$, slik at

$$f(x) = \frac{(x-1)(x+3)}{x-1} = x + 3 \quad \text{for } x \neq 1$$

Grafen er altså en rett linje — men med et hull ved $x = 1$, der funksjonen ikke er definert. Det er ikke en asymptote, for funksjonen eksploderer ikke; den mangler bare ett punkt.

Derfor lønner det seg alltid å sjekke om teller og nevner har felles faktorer som kan forkortes. Et klassisk eksempel: $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$ for $x \neq 2$. Felles faktorer gir hull; nullpunkter i nevneren som ikke forkortes bort, gir vertikale asymptoter. Den forskjellen avgjør hvordan grafen ser ut — og hvordan en kostnadsmodell skal tolkes nær grensene sine.

Oppsummering: brøkenes geografi

Flaskeprodusentens kostnad per enhet viste seg å være en rasjonal funksjon $\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ — en brøk av to polynomer, definert overalt unntatt der nevneren $Q(x)$ er null. Slike funksjoner har en rik geografi som du nå kan kartlegge.

Vertikale asymptoter finner du der nevneren er null og telleren ikke er det; der stikker grafen av mot $\pm\infty$. Horisontale asymptoter avgjøres av gradene: lavere grad i teller gir $y = 0$, lik grad gir $y$ lik forholdet mellom de ledende koeffisientene, og høyere grad i teller gir ingen horisontal asymptote. Er graden i telleren nøyaktig én høyere, finnes i stedet en skrå asymptote, som du graver fram med polynomdivisjon.

Nullpunktene ligger der telleren er null og nevneren ikke er null — husk alltid den siste kontrollen. Og før du konkluderer om noe som helst, bør du sjekke om teller og nevner har felles faktorer: forkortes en faktor bort, får grafen et hull i stedet for en asymptote, slik $\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2} = x + 2$ for $x \neq 2$ viser.

For modellering betyr asymptotene noe helt konkret: den vertikale forteller hvor modellen bryter sammen, og den horisontale forteller hvilket nivå kostnaden eller konsentrasjonen stabiliserer seg på i det lange løp. Den tolkningen får du bruk for både i økonomikapitlene og i prosjektarbeid med reelle data.