2.1 Polynomfunksjoner | Matematikk S1

Egenskaper ved polynomfunksjoner og deres grafer.

55 min

17 oppgaver

PolynomfunksjonGrafNullpunkterEkstremalpunkterVendepunkt

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.2Rasjonale funksjoner

Kva er ein polynomfunksjon?

Ein polynomfunksjon er ein funksjon som kan skrivast på forma:

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$

der $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0$ er konstantar og $a_n \neq 0$ .

Graden til polynomfunksjonen er den høgaste potensen av $x$ , altså $n$ .

Polynomfunksjon

n

Ulike polynomfunksjonar

Grad	Namn	Generell form
0	Konstant funksjon	$f(x) = a_0$
1	Lineær funksjon	$f(x) = ax + b$
2	Kvadratisk funksjon	$f(x) = ax^2 + bx + c$
3	Kubisk funksjon	$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$
4	Kvartisk funksjon	$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$

✏️Identifisere polynomfunksjonar

Avgjer om følgjande funksjonar er polynomfunksjonar, og oppgi eventuelt graden:

a) $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$
b) $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x} + x$
c) $h(x) = \sqrt{x}$
d) $p(x) = 7$

a) $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$ er ein polynomfunksjon av grad 4 (kvartisk).

b) $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x} + x = x^{-1} + x$ er ikkje ein polynomfunksjon fordi $x^{-1}$ har negativ eksponent.

c) $h(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$ er ikkje ein polynomfunksjon fordi eksponenten ikkje er eit heiltal.

d) $p(x) = 7$ er ein polynomfunksjon av grad 0 (konstant funksjon).

Nullpunkt

Eit nullpunkt til ein funksjon $f$ er ein $x$ -verdi der $f(x) = 0$ .

For polynomfunksjonar gjeld:
- Ein polynomfunksjon av grad $n$ har høgst $n$ nullpunkt
- Nullpunkta kan finnast ved faktorisering eller ved numeriske metodar

📜Faktorteoremet

Viss $x = a$ er eit nullpunkt for polynomfunksjonen $f(x)$ , så er $(x - a)$ ein faktor i $f(x)$ .

Det vil seie: $f(a) = 0 \Leftrightarrow f(x) = (x - a) \cdot q(x)$ for ein polynomfunksjon $q(x)$ .

✏️Finne nullpunkt

Finn nullpunkta til $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ .

Vi prøver først å finne eitt nullpunkt ved å teste nokre verdiar:
-

f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0

✓

Sidan $x = 1$ er eit nullpunkt, er $(x - 1)$ ein faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$

Vi faktoriserer vidare:
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Dermed:
$f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$

Nullpunkta er $x = 1$ , $x = 2$ og $x = 3$ .

📊Utforsk: Tredjegradsfunksjon med nullpunkt

Polynomfunksjonen $f(x) = x^3 - 4x$ har tre nullpunkt og to ekstremalpunkt. Endre funksjonsuttrykket og sjå korleis graden bestemmer det maksimale talet på nullpunkt.

Grafiske eigenskapar

Endeåtferd

For store verdiar av

|x|

dominerer leddet med høgast potens:

- Partalsgrad ( $n = 2, 4, 6, \ldots$ ):
- $a_n > 0$ : Grafen går mot $+\infty$ for $x \to \pm\infty$
- $a_n < 0$ : Grafen går mot $-\infty$ for $x \to \pm\infty$

- Oddetalsgrad ( $n = 1, 3, 5, \ldots$ ):
- $a_n > 0$ : Grafen går mot $-\infty$ for $x \to -\infty$ og $+\infty$ for $x \to +\infty$
- $a_n < 0$ : Grafen går mot $+\infty$ for $x \to -\infty$ og $-\infty$ for $x \to +\infty$

✏️Skissere graf

Skisser grafen til $f(x) = -x^3 + 3x$ ved å finne nullpunkt og bestemme endeåtferd.

Nullpunkt:

-x^3 + 3x = 0

-x(x^2 - 3) = 0

x = 0 \text{ eller } x = \pm\sqrt{3}

Nullpunkta er $x = -\sqrt{3} \approx -1{,}73$ , $x = 0$ og $x = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ .

Endeåtferd:
Dette er ein polynomfunksjon av grad 3 (oddetalsgrad) med negativ leiande koeffisient ( $-1$ ).
- For $x \to -\infty$ : $f(x) \to +\infty$
- For $x \to +\infty$ : $f(x) \to -\infty$

Tilleggspunkt:
- $f(-1) = -(-1) + 3(-1) = 1 - 3 = -2$
- $f(1) = -1 + 3 = 2$

Grafen startar oppe til venstre, kryssar $x$ -aksen ved $x = -\sqrt{3}$ , når eit toppunkt rundt $x = -1$ , kryssar i $x = 0$ , når eit botnpunkt rundt $x = 1$ , og held fram nedover mot høgre.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Kva grad har polynomfunksjonen $f(x) = 2x^5 - 3x^3 + x - 7$ ?

Kva er den leiande koeffisienten og konstantleddet?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Er $\displaystyle f(x) = x^2 + \frac{1}{x}$ ein polynomfunksjon?

Er $g(x) = x^3 - \sqrt{2}x + 1$ ein polynomfunksjon?

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Finn nullpunkta til $f(x) = x^2 - 5x + 6$ .

Finn nullpunkta til $g(x) = x^2 - 4$ .

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Vis at $x = 2$ er eit nullpunkt for $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ .

Bruk faktorteoremet til å faktorisere $f(x)$ fullstendig og finn alle nullpunkt.

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Finn nullpunkta til $f(x) = x^3 - x$ ved faktorisering.

Skildr endeåtferda til $f(x)$ .

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Finn alle nullpunkta til $f(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ .

Skildr endeåtferda til $f(x)$ .

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Ein polynomfunksjon har nullpunkt $x = -1$ , $x = 2$ og $x = 3$ . Skriv opp eit mogleg funksjonsuttrykk.

Viss funksjonen i tillegg skal gå gjennom punktet $(0, 12)$ , kva blir funksjonsuttrykket?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Vis at $x = -1$ er eit nullpunkt for $f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ .

Faktoriser $f(x)$ fullstendig.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Kor mange nullpunkt kan ein polynomfunksjon av grad 5 ha? Forklar.

Gi eit døme på ein polynomfunksjon av grad 5 med nøyaktig tre nullpunkt.

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Finn $k$ slik at $x = 3$ er eit nullpunkt for $f(x) = x^3 - kx^2 + 2x - 6$ .

Med verdien av $k$ frå oppgåve a, finn alle nullpunkta til $f(x)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Ein kubisk funksjon $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ har nullpunkt i $x = -2$ , $x = 1$ og $x = 4$ , og $f(0) = -8$ . Bestem $a$ , $b$ , $c$ og $d$ .

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Skisser grafen til $f(x) = x^4 - 4x^3$ ved å finne nullpunkt, forteikn og endeåtferd.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Polynomfunksjon: $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$ . Graden er den høgaste eksponenten.
- Nullpunkt: Ein polynomfunksjon av grad $n$ har høgst $n$ nullpunkt. Faktorteoremet: $(x - a)$ er faktor viss og berre viss $f(a) = 0$ .
- Faktorisert form: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\cdots$ viser nullpunkta direkte.
- Endeåtferd: Blir bestemt av leddet med høgast grad — forteiknet til $a_n$ og om graden er partal eller oddetal.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Grad	Høgaste eksponent i polynomet
Leiande koeffisient	Koeffisienten framfor leddet med høgast grad
Nullpunkt	$x$ -verdi der $f(x) = 0$
Endeåtferd	Kva som skjer med $f(x)$ når $x \to \pm\infty$

Viktige formlar

- Faktorteoremet:

f(a) = 0 \Leftrightarrow (x - a)

er faktor
- Faktorisert form:

f(x) = a_n(x - x_1)(x - x_2)\cdots(x - x_n)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.