2.1 Polynomfunksjoner

Kinoens overskuddsmodell

Tenk deg at du sitter i elevbedriften som driver skolens kinokvelder. Etter et helt semester med billettsalg har dere fått en økonomistudent til å lage en modell for overskuddet, og hun leverer uttrykket $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$, der $x$ er antall hundre solgte billetter. «Det er bare en polynomfunksjon,» sier hun. Men hva betyr egentlig det?

En polynomfunksjon av grad $n$ er en funksjon på formen

$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$$

der $a_n \neq 0$ og $n$ er et ikke-negativt heltall. Tallene $a_n, \ldots, a_0$ kalles koeffisienter. Koeffisienten $a_n$ foran leddet med høyest grad kalles den ledende koeffisienten, og $a_0$ er konstantleddet. Graden er den høyeste potensen av $x$ som forekommer.

Du kjenner allerede flere medlemmer av familien. En konstant funksjon $f(x) = a_0$ har grad 0, en lineær funksjon $f(x) = ax + b$ har grad 1, en kvadratisk funksjon $f(x) = ax^2 + bx + c$ har grad 2, en kubisk har grad 3 og en kvartisk har grad 4. Kinomodellen deres er altså en kubisk funksjon — et tredjegradspolynom.

Men vær på vakt: ikke alt som ser ut som et polynom, er det. Uttrykket $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x} + x$ kan skrives $x^{-1} + x$, og den negative eksponenten diskvalifiserer det. Det samme gjelder $h(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$, der eksponenten ikke er et heltall. Derimot er $p(x) = 7$ et helt lovlig polynom av grad 0. I dette kapittelet skal vi lære å lese slike modeller: finne hvor de er null, og forstå hvordan de oppfører seg når salget blir stort.

Nullpunkter — når går kinoen i null?

Det første styret i elevbedriften vil vite, er når overskuddet er nøyaktig null. Et nullpunkt til en funksjon $f$ er en $x$-verdi der $f(x) = 0$. For polynomfunksjoner finnes en vakker grense: en polynomfunksjon av grad $n$ har høyst $n$ nullpunkter. Kinomodellen deres kan altså maksimalt krysse null tre ganger.

Verktøyet for å finne dem er faktorteoremet: hvis $x = a$ er et nullpunkt for $f(x)$, så er $(x - a)$ en faktor i $f(x)$. Det gjelder også motsatt vei, så vi kan skrive $f(a) = 0 \Leftrightarrow f(x) = (x - a) \cdot q(x)$ for et polynom $q(x)$.

La oss bruke det på modellen $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$. Vi prøver oss fram med små heltall og tester $x = 1$: $f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Treff! Da er $(x - 1)$ en faktor, og polynomdivisjon gir

$$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$$

Andregradsuttrykket faktoriserer vi videre: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Dermed er

$$f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$$

og nullpunktene er $x = 1$, $x = 2$ og $x = 3$. Oversatt til kino: ved 100, 200 og 300 solgte billetter går dere akkurat i null. Den faktoriserte formen $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\cdots$ er gull verdt, for den viser nullpunktene direkte — og mellom nullpunktene kan dere lese av om overskuddet er positivt eller negativt.

Endeoppførsel — hva skjer når salget vokser?

Styret stiller et siste spørsmål: hva sier modellen hvis salget blir veldig stort — eller om vi tenker oss negative verdier i en utvidet modell? Svaret ligger i endeoppførselen, altså hva som skjer med $f(x)$ når $x \to \pm\infty$. For store verdier av $|x|$ dominerer leddet med høyest potens, så det er bare graden og fortegnet til den ledende koeffisienten $a_n$ som teller.

Mønsteret er slik: Har polynomet partallsgrad ($n = 2, 4, 6, \ldots$), peker begge endene samme vei — mot $+\infty$ i begge retninger hvis $a_n > 0$, og mot $-\infty$ i begge hvis $a_n < 0$. Har det oddetallsgrad ($n = 1, 3, 5, \ldots$) med $a_n > 0$, kommer grafen fra $-\infty$ og går mot $+\infty$. Er $a_n < 0$, er det motsatt: ned fra $+\infty$ til venstre og videre mot $-\infty$ til høyre.

La oss skissere $f(x) = -x^3 + 3x$. Nullpunktene finner vi ved å faktorisere: $-x(x^2 - 3) = 0$ gir $x = 0$ og $x = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1{,}73$. Graden er 3 (oddetall) og den ledende koeffisienten er $-1$ (negativ), så grafen starter oppe til venstre og ender nede til høyre. Et par kontrollpunkter bekrefter formen: $f(-1) = 1 - 3 = -2$ og $f(1) = -1 + 3 = 2$. Grafen krysser ved $-\sqrt{3}$, dukker ned til et bunnpunkt rundt $x = -1$, krysser i origo, stiger til et toppunkt rundt $x = 1$, og faller så for godt.

Med grad, nullpunkter og endeoppførsel kan du altså tegne et ganske presist bilde av en hvilken som helst polynommodell — uten å taste et eneste tall inn i GeoGebra.

Oppsummering: modellen er lest

Elevbedriften startet med et kryptisk uttrykk og endte med full kontroll. Dere vet nå at en polynomfunksjon $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$ kjennetegnes av graden $n$ (den høyeste eksponenten), den ledende koeffisienten $a_n$ og konstantleddet $a_0$ — og at uttrykk med negative eksponenter eller røtter faller utenfor familien.

Nullpunktene er stedene der $f(x) = 0$, og en funksjon av grad $n$ har høyst $n$ av dem. Faktorteoremet er nøkkelen: $f(a) = 0$ hvis og bare hvis $(x - a)$ er en faktor, slik at vi kan finne ett nullpunkt ved prøving, dele det bort med polynomdivisjon og faktorisere resten. Den faktoriserte formen $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\cdots$ viser alle nullpunktene direkte.

Endeoppførselen styres av leddet med høyest grad alene: partallsgrad gir ender som peker samme vei, oddetallsgrad gir ender som peker hver sin vei, og fortegnet til $a_n$ avgjør hvilken. Med disse tre verktøyene — grad, nullpunkter og endeoppførsel — kan du skissere og tolke polynommodeller for alt fra kinooverskudd til kostnadsutvikling, og det er nettopp slike modeller du møter igjen når økonomikapitlene senere spør når en bedrift tjener penger.