1.9 Potens- og eksponentialfunksjoner

Potensfunksjoner, eksponentialfunksjoner, vekstfaktor, halvering og dobling.

55 min

11 oppgaver

PotensfunksjonEksponentialfunksjonVekstfaktorHalveringDobling

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Eksponentiell vekst og avtaking

Mange storleikar i røynda veks eller avtek med ein fast prosentdel per tidseining, i staden for eit fast beløp per tidseining. Slik vekst blir kalla eksponentiell.

Døme på eksponentiell vekst/avtaking:
- Folkevekst (t.d. 1,2 % per år)
- Renter på sparekonto (t.d. 3 % per år)
- Radioaktiv nedbryting (t.d. halvering kvart 5730. år for karbon-14)
- Inflasjonseffekt (t.d. 2,5 % per år)

Den viktigaste skilnaden frå lineær vekst er at endringa er proporsjonal med noverande verdi, ikkje konstant.

Potensfunksjonar

f(x) = a \cdot x^n

Vekstfaktor

p\%

Eksponentialfunksjonar

Ein eksponentialfunksjon har forma:

$f(x) = a \cdot b^x, \quad a \neq 0, \quad b > 0, \quad b \neq 1$

Her er:
- $a$ = startverdien ( $f(0) = a$ )
- $b$ = vekstfaktoren (grunntalet)

For $b > 1$ er funksjonen veksande (eksponentiell vekst).
For $0 < b < 1$ er funksjonen avtakande (eksponentiell avtaking).

Viktige eigenskapar:
- Grafen passerer alltid gjennom $(0, a)$
- $x$ -aksen ( $y = 0$ ) er ein horisontal asymptote
- Funksjonen er alltid positiv (når $a > 0$ ) eller alltid negativ (når $a < 0$ )

📜Doblingstid og halveringstid

Doblingstid

T_2

: Tida det tek for verdien å doble seg. Oppfyller

v^{T_2} = 2

$T_2 = \frac{\ln 2}{\ln v} = \frac{\log 2}{\log v}$

Halveringstid $T_{1/2}$ : Tida det tek for verdien å halverast. Oppfyller $\displaystyle v^{T_{1/2}} = \frac{1}{2}$ :

$T_{1/2} = \frac{\ln(1/2)}{\ln v} = \frac{-\ln 2}{\ln v}$

Tommelfingerregel: For låg prosentvis vekst (under ca. 15 %) gjeld tilnærminga $\displaystyle T_2 \approx \frac{70}{p}$ , der $p$ er vekstraten i prosent.

✏️Døme 1: Folkevekst

Ein by har 50 000 innbyggjarar og veks med 2 % per år. a) Set opp ein modell for innbyggjartalet etter $t$ år. b) Kor mange innbyggjarar har byen etter 10 år? c) Finn doblingstida.

Løysing:

a) Vekstfaktor: $\displaystyle v = 1 + \frac{2}{100} = 1{,}02$ .

Modell: $N(t) = 50\,000 \cdot 1{,}02^t$

b) Etter 10 år:
$N(10) = 50\,000 \cdot 1{,}02^{10} = 50\,000 \cdot 1{,}2190 \approx 60\,950$

Byen har ca. 60 950 innbyggjarar etter 10 år.

c) Doblingstid:
$T_2 = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}02} = \frac{0{,}6931}{0{,}0198} \approx 35 \text{ år}$

Tommelfingerregel: $\displaystyle T_2 \approx \frac{70}{2} = 35$ år. ✓

✏️Døme 2: Radioaktiv nedbryting

Eit radioaktivt stoff har ei halveringstid på 8 timar. Ved start er det 200 gram. a) Set opp ein modell for mengda etter $t$ timar. b) Kor mykje stoff er igjen etter 24 timar?

Løysing:

a) Etter éi halveringstid (8 timar) er mengda halvert, altså $\displaystyle v^8 = \frac{1}{2}$ .

Vekstfaktor per time: $\displaystyle v = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/8} = 2^{-1/8} \approx 0{,}9170$

Modell: $M(t) = 200 \cdot 0{,}9170^t$

Alternativt: $\displaystyle M(t) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/8}$

b) Etter 24 timar:
$M(24) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{24/8} = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 200 \cdot \frac{1}{8} = 25 \text{ gram}$

Det er 25 gram igjen etter 24 timar (3 halveringstider).

Lineær vs. eksponentiell vekst

Lineær vekst	Eksponentiell vekst
Formel	$f(x) = ax + b$	$f(x) = a \cdot b^x$
Endring	Konstant tillegg per steg	Konstant faktor per steg
Differanse	$f(x+1) - f(x) = a$	$f(x+1) - f(x)$ varierer
Kvotient	$\displaystyle \frac{f(x+1)}{f(x)}$ varierer	$\displaystyle \frac{f(x+1)}{f(x)} = b$
Grafisk	Rett linje	Kurve (veks/avtek stadig raskare)

Korleis kjenne att veksttype frå data:
- Dersom differansane

f(x+1) - f(x)

er (tilnærma) konstante, er veksten lineær.
- Dersom kvotientane

\displaystyle \frac{f(x+1)}{f(x)}

er (tilnærma) konstante, er veksten eksponentiell.

✏️Døme 3: Lineær eller eksponentiell?

To spareplanar startar med 10 000 kr.

Plan A: Sparer 1 000 kr ekstra kvart år.
Plan B: Beløpet aukar med 8 % per år.

Samanlikn verdiane etter 5, 10 og 20 år.

Løysing:

Plan A (lineær): $A(t) = 10\,000 + 1\,000t$

Plan B (eksponentiell): $B(t) = 10\,000 \cdot 1{,}08^t$

År	Plan A	Plan B
0	10 000	10 000
5	15 000	14 693
10	20 000	21 589
20	30 000	46 610

Konklusjon: Plan A er betre dei første åra, men Plan B tek igjen og veks langt raskare over tid. Etter 20 år er Plan B meir enn 50 % høgare enn Plan A. Dette illustrerer "rentes rente"-effekten.

📊Utforsk: Potensvekst mot eksponentiell vekst

Samanlikn potensfunksjonen $f(x) = x^2$ med eksponentialfunksjonen $g(x) = 1{,}5^x$ . Zoom ut og sjå at eksponentialfunksjonen til slutt veks forbi potensfunksjonen, same kva eksponent.

Når du skal avgjere om data følgjer lineær eller eksponentiell vekst, rekn ut både differansar og kvotientar. Er differansane konstante? Då er veksten lineær. Er kvotientane konstante? Då er veksten eksponentiell.

📝Oppgave 1.9.1

Finn vekstfaktoren.

Ein pris aukar med 5 % per år.

Ein verdi søkk med 12 % per år.

Ei investering gir 0,3 % rente per månad.

Ein populasjon blir redusert med 25 % per tiår.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.9.2

Eit måleri er verdsett til 80 000 kr og verdien aukar med 6 % per år.

Set opp ein modell for verdien $V(t)$ etter $t$ år.

Kva er verdien etter 15 år?

Finn doblingstida.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.9.3

Ein bil kostar 350 000 kr ny og mistar 15 % av verdien per år (verdiforringing).

Set opp ein modell for verdien $V(t)$ til bilen etter $t$ år.

Kva er bilen verd etter 5 år?

Etter kor mange år er bilen verd mindre enn 100 000 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.9.4

Avgjer om tabellen viser lineær eller eksponentiell vekst, og finn funksjonsuttrykket.

$x$	0	1	2	3	4
$f(x)$	5	15	45	135	405

$x$	0	1	2	3	4
$g(x)$	8	14	20	26	32

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.9.5

Ein bakteriekultur doblar seg kvar 3. time. Ved start er det 500 bakteriar.

Set opp ein modell $N(t)$ for talet på bakteriar etter $t$ timar.

Kor mange bakteriar er det etter 12 timar?

Når er det 64 000 bakteriar?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.9.6

Grafen til ein eksponentialfunksjon $f(x) = a \cdot b^x$ går gjennom punkta $(2, 12)$ og $(5, 96)$ . Finn $a$ og $b$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Vekstfaktor: Ved $p\,\%$ auke er vekstfaktoren $\displaystyle 1 + \frac{p}{100}$ , ved $p\,\%$ nedgang er han $\displaystyle 1 - \frac{p}{100}$ .
- Eksponentialfunksjon: $f(x) = a \cdot b^x$ der $a$ er startverdien og $b$ er vekstfaktoren. Vekst når $b > 1$ , avtaking når $0 < b < 1$ .
- Doblingstid og halveringstid: Tida det tek før verdien doblar eller halverar seg — ho er konstant for eksponentiell endring.
- Lineær vs. eksponentiell vekst: Lineær vekst legg til same beløp kvar periode; eksponentiell vekst gangar med same faktor. Eksponentiell vekst tek alltid igjen lineær vekst til slutt.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Vekstfaktor	Talet vi gangar med per periode
Eksponentialfunksjon	$f(x) = a \cdot b^x$
Doblingstid	Tid før verdien er dobla
Halveringstid	Tid før verdien er halvert

Viktige formlar

- Vekstfaktor:

\displaystyle b = 1 \pm \frac{p}{100}

- Eksponentialfunksjon:

f(x) = a \cdot b^x

- Verdi etter

n

periodar: startverdi

\cdot\, b^n

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.